道正高考数学解题5

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道正高考数学解题5

道正高考数学解题5‎ ‎【范例1】集合若则( )‎ A.{2,3,4} B.{2 ,4} C.{2,3} D.{1,2,3,4}‎ 答案:A ‎【错解分析】此题主要考查对集合的交集的理解。‎ ‎【解题指导】,.‎ ‎【练习1】已知集合,,则集合的充要条件是 ‎ A.a≤-3 B.a≤‎1 C.a>-3 D.a>1 ‎ ‎ 【范例2】函数的定义域为( )‎ A. B. C. D.‎ 答案:C ‎【错解分析】此题容易错选为A,容易漏掉的情况。‎ ‎【解题指导】求具体函数的定义域时要是式子每个部分都有意义.‎ ‎【练习2】若函数的定义域为,且,‎ 则函数的定义域是( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【范例3】如果执行右面的程序框图,那么输出的( )‎ A.1275 B.2550 ‎ C.5050 D.2500‎ 答案:B.‎ ‎【错解分析】此题容易错选为C,应该认真分析流程图中的信息。‎ ‎【解题指导】‎ ‎【练习3】下面是一个算法的程序框图,当输 入的值为8时,则其输出的结果是( )‎ A. B. 1 ‎ C.2 D.4‎ ‎【范例4】已知集合,集合,若命题“”是命题“”的充分不必要条件,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ 答案: A ‎【错解分析】此题容易错选为B,请注意是充分不必要条件,而不是充要条件。‎ ‎【解题指导】由题意,画数轴易知.‎ ‎【练习4】已知下列三组条件:‎ ‎(1),;(2),(为实常数);‎ ‎(3)定义域为上的函数满足,定义域为的函数是单调减函数.其中A是B的充分不必要条件的有 ( )‎ A.(1) B.(1)(2) C.(1)(3) D.(1)(2)(3)‎ ‎【范例5】已知为虚数单位,则复数对应的点位于 ( )‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 答案:C ‎【错解分析】此题主要考查复数的四则运算,必须熟练掌握。‎ ‎【解题指导】‎ ‎【练习5】在复平面内,复数 对应的点与原点的距离是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【范例6】设函数,若对于任意实数x恒成立,则实数b的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ 答案:D ‎【错解分析】此题容易错选为B,错误原因是没有注意是单调减函数。‎ ‎【解题指导】由即可得 即恒成立,由,解得.‎ ‎【练习6】已知,当时,有,则的大小关系是( )‎ A. B. C. D.‎ 二.填空题 ‎【范例7】已知数列的通项公式是,其前n项和是,则对任意的(其中*),的最大值是 .‎ 答案:10 ‎ ‎【错解分析】此题容易错选认为求最大项。‎ ‎【解题指导】由得,即在数列中,前三项以及从第9项起后的各项均为负且,因此的最大值是.‎ ‎【练习7】已知等差数列的前n项和是,且,且存在自然数使得,则当时,与的大小关系是 .‎ ‎【范例8】函数的最小值是 .‎ 答案:‎ ‎【错解分析】此题容易在化简上出错,对于三角变换的公式一定要熟练掌握,一定要化到三个一的形式:。‎ ‎【解题指导】∵‎ ‎,此函数的最小值为 ‎【练习8】已知,,则等于 .‎ ‎【范例9】已知圆上任一点,其坐标均使得不等式≥0恒成立,则实数的取值范围是 .‎ 答案:‎ ‎【错解分析】此题容易忘记数形结合思想的使用。‎ ‎【解题指导】求出圆的斜率为-1的两条切线,画图研究他们和=0的关系.‎ ‎【练习9】为不共线的向量,设条件;条件对一切,不等式恒成立.则是的 条件.‎ ‎【范例10】圆的过点的切线方程为 .‎ 答案:‎ ‎【错解分析】此题容易忘记判断点与圆的位置关系。‎ ‎【解题指导】(一)易知点在圆上,故切线只有一条,且斜率为,‎ ‎ (二)借助结论:过圆上一点的切线为。‎ ‎【练习10】过点P(4,2)作圆的两条切线,切点分别为A、B,O为坐标原点,则的外接圆方程为 .‎ ‎【范例11】在平面直角坐标系中,椭圆的焦距为,以为圆心,为半径的圆做圆,若过点,所作圆的两切线互相垂直,则该椭圆的离心率为 ‎ 答案:‎ ‎【错解分析】此题容易错在对图中椭圆,及圆的性质提取不全。‎ ‎【解题指导】过点作圆的两切线互相垂直,如图,这说明四边形是一个正方形,即圆心到点的距离等于圆的半径的倍,即,故.‎ ‎【练习11】已知椭圆的中心在O,右焦点为F,右准线为L,若在L上存在点M,使线段OM的垂直平分线经过点F,则椭圆的离心率的取值范围是 .‎ ‎【范例12】如图,正三角形P1P2P3,点A、B、C分别为边P1P2,P2P3,P3P1的中点,沿AB、BC、CA折起,使P1、P2、P3三点重合后为点P,则折起后二面角P—AB—C的余弦值为 .‎ 答案:‎ ‎【错解分析】此题容易出现的错误有多种,主要原因是没有认真地画出折叠后的三棱锥。‎ ‎【解题指导】取AB的中点D,连接CD,PD,则∠PDC为二面角P—AB—C的平面角.‎ ‎【练习12】正方形的夹角的余弦值是 .‎ 三.解答题 ‎【范例13】已知的展开式中前三项的系数成等差数列.‎ ‎(1)求n的值;‎ ‎(2)求展开式中系数最大的项.‎ ‎【错解分析】此题容易错在:审题不清楚,误用前三项的二项式系数成等差。‎ 解:(1)由题设,得 , 即,解得n=8,n=1(舍去).‎ ‎(2)设第r+1的系数最大,则即 解得r=2或r=3. ‎ 所以系数最大的项为,.‎ 说明:掌握二项式定理,展开式的通项及其常见的应用.‎ ‎【练习13】函数(为实数且是常数)‎ ‎(1)已知的展开式中的系数为,求的值;‎ ‎(2)是否存在的值,使在定义域中取任意值时恒成立?若存在,求出的值,若不存在,请说明理由。‎ ‎【范例14】已知函数,设。‎ ‎(1)求F(x)的单调区间;‎ ‎(2)若以图象上任意一点为切点的切线的斜率 恒成立,求实数的最小值。‎ ‎(3)是否存在实数,使得函数的图象与的图象恰好有四个不同的交点?若存在,求出的取值范围,若不存在,说名理由。‎ ‎【错解分析】(1)在F(x)的定义域内才能求单调区间。‎ ‎(2)对恒成立问题的解决理解不清楚 解:(1) ‎ 由。‎ ‎ ‎ ‎(2)‎ ‎ 当 ‎ …………………………………………4分 ‎(3)若的图象与 的图象恰有四个不同交点,‎ 即有四个不同的根,亦即 有四个不同的根。‎ 令,‎ 则。‎ 当变化时的变化情况如下表:‎ ‎(-1,0)‎ ‎(0,1)‎ ‎(1,)‎ 的符号 ‎+‎ ‎-‎ ‎+‎ ‎-‎ 的单调性 ‎↗‎ ‎↘‎ ‎↗‎ ‎↘‎ 由表格知:。‎ 画出草图和验证可知,当时,‎ ‎【练习14】已知.‎ ‎⑴ 求函数在上的最小值;‎ ‎⑵ 对一切,恒成立,求实数a的取值范围;‎ ‎⑶ 证明对一切,都有成立. ‎ ‎【范例15】某工厂在试验阶段大量生产一种零件。这种零件有、两项技术指标需要检测,设各项技术指标达标与否互不影响。若有且仅有一项技术指标达标的概率为,至少一项技术指标达标的概率为.按质量检验规定:两项技术指标都达标的零件为合格品.‎ ‎(1)求一个零件经过检测为合格品的概率是多少?‎ ‎(2)任意依次抽出5个零件进行检测,求其中至多3个零件是合格品的概率是多少?‎ ‎【错解分析】遇到“至多”,“至少”问题我们通常求其对立事件的概率。‎ 解:(1)设、两项技术指标达标的概率分别为、‎ 由题意得: ‎ 解得:或,∴. ‎ 即,一个零件经过检测为合格品的概率为. ‎ ‎(2)任意抽出5个零件进行检查,其中至多3个零件是合格品的概率为 ‎ ‎ ‎【练习15】某工厂为了保障安全生产,每月初组织工人参加一次技能测试. 甲、乙两名工人通过每次测试的概率分别是. 假设两人参加测试是否通过相互之间没有影响.‎ ‎ (1)求甲工人连续3个月参加技能测试至少1次未通过的概率;‎ ‎ (2)求甲、乙两人各连续3个月参加技能测试,甲工人恰好通过2次且乙工人恰好通过1次的概率;‎ ‎ (3)工厂规定:工人连续2次没通过测试,则被撤销上岗资格. 求乙工人恰好参加4次测试后被撤销上岗资格的概率.‎ 练习题参考答案:‎ ‎1.C 2.D 3.C 4.B 5.B 6.C 7. 8. 9.充要 ‎ ‎ 10. 11. 12. ‎ ‎13. 解:(1)‎ ‎(2)依题意,得,而要,只要 对于,‎ 时满足题意。‎ ‎14.解:⑴ ,‎ 当,,单调递减,当,,单调递增.‎ ‎① ,t无解;‎ ‎② ,即时,;‎ ‎③ ,即时,在上单调递增,;‎ 所以.‎ ‎⑵ ,则,‎ 设,则,‎ 当,,单调递增,,,单调递减,‎ 所以,‎ 因为对一切,恒成立,所以;‎ ‎⑶ 问题等价于证明,‎ 由⑴可知的最小值是,当且仅当时取到,‎ 设,则,‎ 易得,当且仅当时取到,‎ 从而对一切,都有成立.‎ ‎15.解:(1)记“甲工人连续3个月参加技能测试,至少有1次未通过”为事件A1,‎ ‎ ‎ ‎ (2)记“连续3个月参加技能测试,甲工人恰好通过2次”为事件A2,“连续3个月参加技能测试,乙工人恰好通过1次”为事件B1,则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 两人各连续3月参加技能测试,甲工人恰好2次通过且乙工人恰好1次通过的概率为 ‎ (3)记“乙恰好测试4次后,被撤销上网资格”为事件A3,‎ ‎ ‎ ‎.‎ 所以,谷物饲料和动物饲料应按5:1的比例混合,此时成本最低.‎
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