2013福建卷（文）数学试题

2013福建卷（文）数学试题

‎2013·福建卷(文科数学)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1． 复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎1．C　[解析] z＝－1－2i对应的点为P(－1，－2)，故选C.‎ ‎2． 设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2．A　[解析] 当x＝2，y＝－1时，x＋y－1＝0；但x＋y－1＝0不能推出x＝2，y＝－1，故选A.‎ ‎3． 若集合A＝{1，2，3}，B＝{1，3，4}，则A∩B的子集个数为(　　)‎ A．2 B．3‎ C．4 D．16‎ ‎3．C　[解析] A∩B＝{1，3}，子集共有22＝4个，故选C.‎ ‎4． 双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于(　　)‎ A. B. C．1 D. ‎4．B　[解析] 取一顶点(1，0)，一条渐近线x－y＝0，d＝＝，故选B.‎ ‎5． 函数f(x)＝ln(x2＋1)的图像大致是(　　)‎ 图1－1‎ ‎5．A　[解析] f(x)是定义域为的偶函数，图像关于y轴对称，又过点(0，0)，故选A.‎ ‎6． 若变量x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值和最小值分别为(　　)‎ A．4和3 B．4和2‎ C．3和2 D．2和0‎ ‎6．B　[解析] 可行域如图所示，直线z＝2x＋y过点A(1，0)时，zmin＝2，过点B(2，0)时，zmax＝4，故选B.‎ ‎7． 若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是(　　)‎ A．[0，2] B．[－2，0]‎ C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]‎ ‎7．D　[解析] 1＝2x＋2y≥2 ⇒2x＋y≤2－2⇒x＋y≤－2，当且仅当x＝y＝－1时，等号成立，故选D.‎ ‎8． 阅读如图1－2所示的程序框图，运行相应的程序．如果输入某个正整数n后，输出的S∈(10，20)，那么n的值为(　　)‎ 图1－2‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎8．B　[解析] S＝0，k＝1→S＝1，k＝2→S＝3，k＝3→S＝7，k＝4→S＝15，k＝5>4，故选B.‎ ‎9． 将函数f(x)＝sin(2x＋θ)的图像向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图像．若f(x)，g(x)的图像都经过点P，则φ的值可以是(　　)‎ A. B. C. D. ‎9．B　[解析] g(x)＝f(x－φ)＝sin[2(x－φ)＋θ]，由sin θ＝，－<θ<，得θ＝，又sin(θ－2φ)＝，结合选项，知φ的一个值为，故选B.‎ ‎10． 在四边形ABCD中，＝(1，2)，＝(－4，2)，则该四边形的面积为(　　)‎ A. B．2 C．5 D．10‎ ‎10．C　[解析] ∵·＝1×(－4)＋2×2＝0，∴⊥，面积S＝||·||＝××＝5，故选C.‎ ‎11． 已知x与y之间的几组数据如下表：‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎0‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ 假设根据上表数据所得线性回归直线方程为＝x＋.若某同学根据上表中的前两组数据(1，0)和(2，2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是(　　)‎ A.>b′，>a′ B.>b′，a′ D.b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．‎ ‎15.－1　[解析] 如图，△MF1F2中，∠MF1F2＝60°，所以∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°.又|F1F2|＝2c，所以|MF1|＝c，|MF2|＝c.根据椭圆定义得2a＝|MF1|＋|MF2|＝c＋c，得e＝‎ ＝＝－1.‎ ‎16．， 设S，T是的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y＝f(x)满足：‎ ‎(i)T＝{f(x)|x∈S}；(ii)对任意x1，x2∈S，当x1a1a9，求a1的取值范围．‎ ‎17．解：(1)因为数列{an}的公差d＝1，‎ 且1，a1，a3成等比数列，所以a＝1×(a1＋2)，‎ 即a－a1－2＝0，解得a1＝－1或a1＝2.‎ ‎(2)因为数列{an}的公差d＝1，且S5>a1a9，‎ 所以5a1＋10>a＋8a1，‎ 即a＋3a1－10<0，解得－50.‎ 所以圆心C的坐标为或，‎ 从而|CO|2＝，|CO|＝，即圆C的半径为.‎ ‎21．， 如图1－6，在等腰直角△OPQ中，∠POQ＝90°，OP＝2 ，点M在线段PQ上．‎ ‎(1)若OM＝，求PM的长；‎ ‎(2)若点N在线段MQ上，且∠MON＝30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．‎ 图1－6‎ ‎21．解：(1)在△OMP中，∠OPM＝45°，OM＝，OP＝2 ，‎ 由余弦定理得，OM2＝OP2＋MP2－2OP·MP·cos 45°，得MP2－4MP＋3＝0，‎ 解得MP＝1或MP＝3.‎ ‎(2)设∠POM＝α，0°≤α≤60°，‎ 在△OMP中，由正弦定理，得＝，‎ 所以OM＝，同理ON＝.‎ 故S△OMN＝OM·ON·sin∠MON ‎＝× ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝.‎ 因为0°≤α≤60°，30°≤2α＋30°≤150°，所以当α＝30°时，sin(2α＋30°)的最大值为1，此时△OMN的面积取到最小值．即∠POM＝30°时，△OMN的面积的最小值为8－4 .‎ ‎22．， 已知函数f(x)＝x－1＋(a∈，e为自然对数的底数)．‎ ‎(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；‎ ‎(2)求函数f(x)的极值；‎ ‎(3)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)没有公共点，求k的最大值．‎ ‎22．解：(1)由f(x)＝x－1＋，得f′(x)＝1－.‎ 又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，得f′(1)＝0，即1－＝0，解得a＝e.‎ ‎(2)f′(x)＝1－，‎ ‎①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值．‎ ‎②当a>0时，令f′(x)＝0，得ex＝a，x＝ln a.‎ 当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；‎ 当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，‎ 所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝ln a处取得极小值，且极小值为f(ln a)＝ln a，无极大值．‎ 综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；‎ 当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，无极大值．‎ ‎(3)方法一：当a＝1时，f(x)＝x－1＋.‎ 令g(x)＝f(x)－(kx－1)＝(1－k)x＋，‎ 则直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)没有公共点，‎ 等价于方程g(x)＝0在上没有实数解．‎ 假设k>1，此时g(0)＝1>0，g＝－1＋<0，‎ 又函数g(x)的图像连续不断，由零点存在定理，可知g(x)＝0在上至少有一解，与“方程g(x)＝0在上没有实数解”矛盾，故k≤1.‎ 又k＝1时，g(x)＝>0，知方程g(x)＝0在上没有实数解．‎ 所以k的最大值为1.‎ 方法二：当a＝1时，f(x)＝x－1＋.‎ 直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)没有公共点，‎ 等价于关于x的方程kx－1＝x－1＋在上没有实数解，即关于x的方程：‎ ‎(k－1)x＝(*)在上没有实数解．‎ ‎①当k＝1时，方程(*)可化为＝0，在上没有实数解．‎ ‎②当k≠1时，方程(*)化为＝xex.‎ 令g(x)＝xex，则有g′(x)＝(1＋x)ex.‎ 令g′(x)＝0，得x＝－1，‎ 当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(－∞，－1)‎ ‎－1‎ ‎(－1，＋∞)‎ g′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ g(x)‎  ‎－  当x＝－1时，g(x)min＝－，同时当x趋于＋∞时，g(x)趋于＋∞，从而g(x)的取值范围为－，＋∞.‎ 所以当∈时，方程(*)无实数解．‎ 解得k的取值范围是(1－e，1)．‎ 综上①②，得k的最大值为1.‎