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文档介绍
全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全04导数及其应用
2009年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全 （04导数及其应用） 一、选择题： 1.（2009安徽文、理）设＜b,函数的图像可能是（ C ） 高.考.资.源.网 1. [解析]：，由得，∴当时，取极大值0，当时取极小值且极小值为负。故选C。 或当时，当时，选C 2.（2009安徽理）已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是高.考.资.源.网 （A） （B） （C） （D）高.考.资.源.网 2. [解析]：由得， 即，∴∴，∴切线方程为 ，即选A 3. （2009安徽文）设函数，其中，则导数的取值范围是 A. B. C. D. 3.【解析】 ，选D。 4. (2009福建理)等于 A． B. 2 C. -2 D. +2 4． [解析]∵.故选D 5. (2009广东文)函数的单调递增区间是 A. B.（0，3） C. （1，4） D. 5．解：，令，解得x>2,故答D。 6．(2009广东理)已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为（如图2所示）．那么对于图中给定的，下列判断中一定正确的是 A．在时刻，甲车在乙车前面 B．时刻后，甲车在乙车后面 C．在时刻，两车的位置相同 D．时刻后，乙车在甲车前面 6. 解：因为速度函数是路程函数的导函数，即，所以， 根据定积分的定义，比较图中速度曲线分别与x轴及直线， 围成的图形的面积，即可看出，应选A。 7. (2009湖北理)设球的半径为时间t的函数。若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径 A.成正比，比例系数为C B. 成正比，比例系数为2C C.成反比，比例系数为C D. 成反比，比例系数为2C 7. 【解析】由题意可知球的体积为，则，由此可得，而球的表面积为， 所以， 即，故选D 8．(2009湖南文)若函数的导函数在区间上是增函数， 则函数a b a b a o x o x y b a o x y o x y b 在区间上的图象可能是【 A 】 y A ． B． C． D． 8. 解: 因为函数的导函数在区间上是增函数，即在区间上 各点处的斜率是递增的，由图易知选A. 注意C中为常数噢. 9. (2009湖南理) 设函数在（，+）内有定义。对于给定的正数K，定义函数 取函数=。若对任意的，恒有=，则w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A．K的最大值为2 B. K的最小值为2 C．K的最大值为1 D. K的最小值为1 【D】 9.【解析】由知，所以时，，当时，，所以即的值域是，而要使在上恒成立，结合条件分别取不同的值，可得D符合，此时。故选D项。 10．(2009江西文)若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于 A．或 B．或 C．或 D．或 10. 【解析】设过的直线与相切于点，所以切线方程为 即，又在切线上，则或， 当时，由与相切可得， 当时，由与相切可得，所以选. 11．(2009江西理)设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为 A． B． C． D． 11.【解析】由已知，而，所以故选A 12. (2009辽宁理)曲线y= 在点（1，－1）处的切线方程为 （A）y=x－2 (B) y=－3x+2 (C)y=2x－3 (D)y=－2x+1 12.【解析】y’＝,当x＝1时切线斜率为k＝－2 【答案】D 13. (2009全国Ⅰ理) 已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为( B ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2 13. 解:设切点，则,又 .故答案选B w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 14. (2009全国Ⅱ理)曲线在点处的切线方程为w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A. B. C. D. 14. 解：, 故切线方程为,即 故选B. 15．(2009陕西文)设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,则的值为 (A) (B) (C) (D) 1 15. 解析: 对,令得在点（1，1）处的切线的斜率,在点 （1，1）处的切线方程为,不妨设,则, 故选 B. 16. (2009天津文)设函数f(x)在R上的导函数为f’(x),且2f(x)+xf’(x)>x,x下面的不等式在R内恒成立的是 A B C D 16.【答案】A 【解析】由已知，首先令 ，排除B，D。然后结合已知条件排除C,得到A 【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用。通过分析解析式的特点，考查了分析问题和解决问题的能力。 17. (2009天津理)设函数则 A在区间内均有零点。 B在区间内均无零点。 C在区间内有零点，在区间内无零点。 D在区间内无零点，在区间内有零点。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 17. 【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。 解析：由题得，令得；令得；得，故知函数在区间上为减函数，在区间为增函数，在点处有极小值；又，故选择D。 二、填空题： 1．(2009北京理)_________. 1.【解析】本题主要考极限的基本运算，其中重点考查如何约去“零因子”. 属于基础知识、基本运算的考查. ，故应填. 2．(2009北京理)设是偶函数，若曲线在点处的切线的斜率为1，则该曲线在处的切线的斜率为_________. 2.【解析】本题主要考查导数与曲线在某一点处切线的斜率 的概念. 属于基础知识、基本运算的考查. 取，如图，采用数形结合法， 易得该曲线在处的切线的斜率为. 故应填. 3. (2009福建文)若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 . 3. 解析 解析：由题意该函数的定义域，由。因为存在垂直于轴的切线，故此时斜率为，问题转化为范围内导函数存在零点。 解法1 （图像法）再将之转化为与存在交点。当不符合题意，当时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当如图2，此时正好有一个交点，故有应填 或是。 解法2 （分离变量法）上述也可等价于方程在内有解，显然可得 4. (2009福建理)若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_____________. 4. 【答案】： 解析：由题意可知，又因为存在垂直于轴的切线， 所以。 5. (2009海南、宁夏文)曲线在点（0,1）处的切线方程为 。 5．【答案】 【解析】，斜率k＝＝3，所以，y－1＝3x，即 6. (2009江苏)函数的单调减区间为 ▲ . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 6. 【解析】 考查利用导数判断函数的单调性。 ， 由得单调减区间为。亦可填写闭区间或半开半闭区间。 7. (2009江苏)在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 ▲ . 7. 【解析】 考查导数的几何意义和计算能力。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ，又点P在第二象限内，点P的坐标为（-2，15） 8. (2009辽宁文)若函数在处取极值，则 8.【解析】f’(x)＝ f’(1)＝＝0 Þ a＝3 【答案】3 9．(2009陕西理)设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,令，则的值为 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 9. 答案：-2 三、解答题： 1．(2009安徽文)（本小题满分14分） 已知函数，a＞0， （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）设a=3，求在区间{1，}上值域。期中e=2.71828…是自然对数的底数。 1.【解析】(1)由于 令 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ①当,即时, 恒成立. 在(－∞,0)及(0,＋∞)上都是增函数. ②当,即时 由得或 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 或或 又由得 综上①当时, 在上都是增函数. ②当时, 在上是减函数, 在上都是增函数. (2)当时,由(1)知在上是减函数. 在上是增函数. 又 函数在上的值域为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2. （2009安徽理）（本小题满分12分） 已知函数，讨论的单调性. 本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。本小题满分12分。 2. 解：的定义域是(0,+), 设,二次方程的判别式. ① 当，即时，对一切都有,此时在上是增函数。 ② 当,即时，仅对有,对其余的都有,此时在上也是增函数。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ③ 当，即时， 方程有两个不同的实根,,. + 0 _ 0 + 单调递增 极大 单调递减 极小 单调递增 此时在上单调递增, 在是上单调递减, 在上单调递增. 3．(2009北京文)（本小题共14分） 设函数。 （Ⅰ）若曲线在点处与直线相切，求的值； （Ⅱ）求函数的单调区间与极值点。 3.【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力． （Ⅰ）, ∵曲线在点处与直线相切， ∴ （Ⅱ）∵, 当时，，函数在上单调递增， 此时函数没有极值点. 当时，由， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， ∴此时是的极大值点，是的极小值点. 4．(2009北京理)（本小题共13分） 设函数 （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求函数的单调区间；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （Ⅲ）若函数在区间内单调递增，求的取值范围. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 4.【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力． （Ⅰ）, 曲线在点处的切线方程为. （Ⅱ）由，得， 若，则当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 若，则当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （Ⅲ）由（Ⅱ）知，若，则当且仅当， 即时，函数内单调递增， 若，则当且仅当， 即时，函数内单调递增，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 综上可知，函数内单调递增时，的取值范围是. 5．(2009福建文)（本小题满分12分） 已知函数且 （I）试用含的代数式表示； （Ⅱ）求的单调区间；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （Ⅲ）令，设函数在处取得极值，记点，证明：线段与曲线存在异于、的公共点； 5. 解法一： （I）依题意，得 由得 （Ⅱ）由（I）得（ 故 令，则或 ①当时， 当变化时，与的变化情况如下表： + — + 单调递增 单调递减 单调递增 由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为 ②由时，，此时，恒成立，且仅在处，故函数的单调区间为R ③当时，，同理可得函数的单调增区间为和，单调减区间为 综上： 当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为； 当时，函数的单调增区间为R； 当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为 （Ⅲ）当时，得 由，得 由（Ⅱ）得的单调增区间为和，单调减区间为 所以函数在处取得极值。 故 所以直线的方程为 由得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 令 易得，而的图像在内是一条连续不断的曲线， 故在内存在零点，这表明线段与曲线有异于的公共点 解法二： （I）同解法一 （Ⅱ）同解法一。 （Ⅲ）当时，得，由，得 由（Ⅱ）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值， 故 所以直线的方程为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由得 解得 所以线段与曲线有异于的公共点 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 6、(2009福建理)（本小题满分14分） 已知函数,且 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (1) 试用含的代数式表示b,并求的单调区间； （2）令,设函数在处取得极值，记点M (,)，N(, )，P(), ,请仔细观察曲线在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题： （I）若对任意的m (, x)，线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论； （II）若存在点Q(n ,f(n)), x n< m,使得线段PQ与曲线f(x)有异于P、Q的公共点，请直接写出m的取值范围（不必给出求解过程）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 6.解法一: (Ⅰ)依题意,得 由. 从而 令 ①当a>1时, 当x变化时，与的变化情况如下表： x + － + 单调递增 单调递减 单调递增 由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为。 ②当时，此时有恒成立，且仅在处，故函数的单调增区间为R ③当时，同理可得，函数的单调增区间为和，单调减区间为 综上： 当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为； 当时，函数的单调增区间为R； 当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为. (Ⅱ)由得令得 由（1）得增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，故M（）N（）。 观察的图象，有如下现象： ①当m从-1（不含-1）变化到3时，线段MP的斜率与曲线在点P处切线的斜率之差Kmp-的值由正连续变为负。 ②线段MP与曲线是否有异于H，P的公共点与Kmp－的m正负有着密切的关联； ③Kmp－=0对应的位置可能是临界点，故推测：满足Kmp－的m就是所求的t最小值，下面给出证明并确定的t最小值.曲线在点处的切线斜率； 线段MP的斜率Kmp 当Kmp－=0时，解得 直线MP的方程为 令 当时，在上只有一个零点，可判断函数在上单调递增，在上单调递减，又，所以在上没有零点，即线段MP与曲线 没有异于M，P的公共点。 当时，. 所以存在使得 即当MP与曲线有异于M,P的公共点 综上，t的最小值为2. （2）类似（1）于中的观察，可得m的取值范围为 解法二： （1）同解法一. （2）由得，令，得 由（1）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值。故M().N() (Ⅰ) 直线MP的方程为 由 得 线段MP与曲线有异于M,P的公共点等价于上述方程在(－1,m)上有根,即函数 上有零点. 因为函数为三次函数,所以至多有三个零点,两个极值点. 又.因此, 在上有零点等价于在内恰有一个极大值点和一个极小值点,即内有两不相等的实数根. 等价于 即 又因为,所以m 的取值范围为(2,3) 从而满足题设条件的r的最小值为2. 7．(2009广东文、理)（本小题满分14分） 已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值。设函数 （1） 若曲线上的点P到点的距离的最小值为，求的值； （2） 如何取值时，函数存在零点，并求出零点。 7.解：设二次函数的解析式为 则它的导函数为， ∵ 函数的图像与直线平行， ∴ 2a=2，解得a=1, 所以 ， ∵在处取得极小值 ∴，即，解得。 所以 ，=（） （1）设点点P（，）为曲线上的任意一点 则点P到点的距离为 由基本不等式定理可知， 当且仅当时，等号“=”成立，此时= 又已知点P到点的距离的最小值为，所以令 两边平方整理， 得 当时，，解得 当时，，解得 所以，的值为或者； （2）函数令=（） 令，即（）， 整理，得（），① 函数存在零点，等价于方程①有非零实数根， 由可知，方程①不可能有零根， 当k=1 时，方程①变为，解得，方程①有唯一实数根， 此时， 函数存在唯一的零点； 当k≠1 时，方程①根的判别式为， 令=0，解得， 方程①有两个相等的实数根， 此时， 函数存在唯一的零点； 令>0，得m(1-k)<1 , 当m>0时，解得， 当m<0时，解得， 以上两种情况下，方程①都有两个不相等的实数根 ， 此时， 函数存在两个零点 ， 综上所述，函数存在零点的情况可概括为 当k=1 时，函数存在唯一的零点； 当时，函数存在唯一的零点； 当 m>0且，或者m<0且时，函数存在两个零点 ，。 8. (2009海南、宁夏文)（本小题满分12分） 已知函数. (1) 设，求函数的极值； (2) 若，且当时，12a恒成立，试确定的取值范围. 请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 8. 解： （Ⅰ）当a=1时，对函数求导数，得 令 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 列表讨论的变化情况： （-1，3） 3 + 0 — 0 + 极大值6 极小值-26 所以，的极大值是，极小值是 （Ⅱ）的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称. 若上是增函数，从而w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 上的最小值是最大值是 由于是有w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由 所以 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 若a>1,则不恒成立. 所以使恒成立的a的取值范围是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 9. (2009海南、宁夏理)（本小题满分12分） 已知函数 （I） 如，求的单调区间； （II） 若在单调增加，在单调减少，证明 ＜6. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 9. 解： （Ⅰ）当时，，故w.w.w.k.s.5.u.c.o.m w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当 当 从而单调减少. (Ⅱ) 由条件得：从而 因为所以 将右边展开，与左边比较系数得，故 又由此可得 于是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 10. (2009湖北文)（本小题满分14分）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 已知关于x的函数f(x)＝＋bx2＋cx＋bc,其导函数为f+(x).令g(x)＝∣f+(x) ∣,记函数g(x)在区间[-1、1]上的最大值为M. (Ⅰ)如果函数f(x)在x＝1处有极值-，试确定b、c的值： （Ⅱ）若∣b∣>1,证明对任意的c,都有M>2: w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (Ⅲ)若M≧K对任意的b、c恒成立，试求k的最大值。 10．本小题主要考察函数、函数的导数和不等式等基础知识，考察综合运用数学知识进行推理论证的能力和份额类讨论的思想（满分14分） （I）解：，由在处有极值 可得 解得或 若，则，此时没有极值； 若，则 当变化时，，的变化情况如下表： 1 0 + 0 极小值 极大值 当时，有极大值，故，即为所求。 （Ⅱ）证法1： 当时，函数的对称轴位于区间之外。 在上的最值在两端点处取得 故应是和中较大的一个 即 证法2（反证法）：因为，所以函数的对称轴位于区间之外， 在上的最值在两端点处取得。 故应是和中较大的一个 假设，则 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 将上述两式相加得： ，导致矛盾， （Ⅲ）解法1： （1）当时，由（Ⅱ）可知； （2）当时，函数）的对称轴位于区间内，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 此时 由有 ①若则， 于是 ②若，则 于是 综上，对任意的、都有 而当时，在区间上的最大值 故对任意的、恒成立的的最大值为。 解法2： （1）当时，由（Ⅱ）可知；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）当时，函数的对称轴位于区间内， 此时 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ，即 下同解法1 11. (2009湖北理) (本小题满分14分) （注意：在试题卷上作答无效） 在R上定义运算（b、c为实常数）。记，，.令. 如果函数在处有极什,试确定b、c的值； 求曲线上斜率为c的切线与该曲线的公共点； 记的最大值为.若对任意的b、c恒成立，试示的最大值。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 11. 当解: 得对称轴x=b位于区间之外 此时 由 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ① 若 于是 ② 若，则， 于是 综上，对任意的b、c都有 而当，时，在区间上的最大值 故对任意的b，c恒成立的k的最大值为 w.w.w.k.s.5 12．(2009湖南文)（本小题满分13分） 已知函数的导函数的图象关于直线x=2对称. （Ⅰ）求b的值； （Ⅱ）若在处取得最小值，记此极小值为，求的定义域和值域。 12. 解: （Ⅰ）.因为函数的图象关于直线x=2对称， 所以，于是 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，. （ⅰ）当c 12时，，此时无极值。 （ii）当c<12时，有两个互异实根,.不妨设＜，则＜2＜. 当x＜时，， 在区间内为增函数； 当＜x＜时，，在区间内为减函数; 当时，，在区间内为增函数. 所以在处取极大值，在处取极小值. 因此，当且仅当时，函数在处存在唯一极小值，所以. 于是的定义域为.由 得. 于是 . 当时，所以函数 在区间内是减函数，故的值域为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 13. (2009湖南理)（本小题满分13分） 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元。 （Ⅰ）试写出关于的函数关系式； （Ⅱ）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？ 13. 解 :（Ⅰ）设需要新建个桥墩， 所以 （Ⅱ） 由（Ⅰ）知， 令，得，所以=64 当0<<64时<0， 在区间（0，64）内为减函数；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当时，>0. 在区间（64，640）内为增函数， 所以在=64处取得最小值，此时， 故需新建9个桥墩才能使最小。 14．(2009江西文)（本小题满分12分） 设函数． （1）对于任意实数，恒成立，求的最大值； （2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围． 14. 解：(1) , 因为,, 即 恒成立, 所以 , 得，即的最大值为 (2) 因为 当时, ;当时, ;当时, ; 所以 当时,取极大值 ; 当时,取极小值 ; 故当 或时, 方程仅有一个实根. 解得 或. 15．(2009江西理)（本小题满分12分） 设函数 （1） 求函数的单调区间；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2） 若，求不等式的解集． 15. 解： (1) , 由,得 . 因为 当时,； 当时,； 当时,； 所以的单调增区间是:； 单调减区间是: . (2) 由 , 得：. 故：当 时, 解集是：； 当 时，解集是： ； 当 时, 解集是：. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 16. (2009辽宁理)（本小题满分12分） 已知函数f(x)=x－ax+(a－1)，。 （1）讨论函数的单调性；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）证明：若，则对任意x，x，xx，有。 16. 解：(1)的定义域为。 2分 （i）若即,则 故在单调增加。 (ii)若,而,故,则当时，; 当及时， 故在单调减少，在单调增加。 (iii)若,即,同理可得在单调减少，在单调增加. (II)考虑函数 则 由于1查看更多
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