上海高考数学试题及答案理科

上海高考数学试题及答案理科

‎2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）‎ 数 学（理工农医类）‎ 第Ⅰ卷 （共110分）‎ 一、填空题（本大题满分48分）‎ ‎1．函数的最小正周期T= .‎ ‎2．若 .‎ ‎3．在等差数列中，a5=3, a6=－2,则a4+a5+…+a10= ‎ ‎4．在极坐标系中，定点A点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标是 ‎ ‎5．在正四棱锥P—ABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA与BC所成 于 .（结果用反三角函数值表示）‎ ‎6．设集合A={x||x|<4},B={x|x2－4x+3>0}, 则集合{x|x∈A且= .‎ ‎7．在△ABC中，sinA;sinB:sinC=2:3:4,则∠ABC= .（结果用反三角函数值表示）‎ ‎8．若首项为a1，公比为q的等比数列的前n项和总小于这个数列的各项和，则首项a1，公比q的一组取值可以是（a1，q）= .‎ ‎9．某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成.现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 .（结果用分数表示）‎ ‎10．方程x3+lgx=18的根 .（结果精确到0.1）‎ ‎11．已知点其中n的为正整数.设Sn表示△ABC外接圆的面积，则= .‎ ‎12．给出问题：F1、F2是双曲线=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF1|－|PF2||=8，即|9－|PF2||=8，得|PF2|=1或17.‎ ‎ 该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内 .‎ 二、选择题（本大题满分16分）‎ ‎13．下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是 （ ）‎ ‎ A．y=tg|x|. B．y=cos(－x). C． D．.‎ ‎14．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是 （ ）‎ ‎ A．α、β都垂直于平面r； B．α内存在不共线的三点到β的距离相等.‎ ‎ C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥β； D．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α, l∥β，m∥β.‎ ‎15．a1、b1、c1、a2、b2、c2均为非零实数，不等式a1x2+b1x+c1>0和a2x2+b2x+c2>0‎ 的解集分别为集合M和N，那么“”是“M=N”的 （ ）‎ ‎ A．充分非必要条件. B．必要非充分条件. C．充要条件 D．既非充分又非必要条件.‎ ‎16．f()是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象如图所示：令g（）=af（）+b，则下列关于函数g（）的叙述正确的是 （ ）‎ ‎ A．若a<0,则函数g（）的图象关于原点对称.‎ ‎ B．若a=－1，－20,且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：‎ ‎ f(x)=ax∈M；‎ ‎ （3）若函数f(x)=sinkx∈M ,求实数k的取值范围.‎ ‎2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）‎ 数学（理工农医类）答案 一、（第1题至第12题）‎ ‎1．π. 2．. 3．－49 . 4．. 5．arctg2. 6．[1,3].‎ ‎7． 8．的一组数）. 9． ‎ ‎10．‎2.6 . 11‎．4π 12．|PF2|=17.‎ 二、（第13题至第16题）‎ 题 号 ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 代 号 C D D B 三、（第17题至第22题）‎ ‎17．[解]‎ ‎ 故的最大值为最小值为.‎ ‎18．[解]连结BD，因为B1B⊥平面ABCD，B1D⊥BC，所以BC⊥BD.‎ 在△BCD中，BC=2，CD=4，所以BD=.‎D1‎ C1‎ B1‎ A1‎ D A B C 又因为直线B1D与平面ABCD所成的角等于30°，所以 ‎∠B1DB=30°，于是BB1=BD=2.‎ 故平行六面体ABCD—A1B‎1C1D1的体积为SABCD·BB1=.‎ ‎19．[解]（1）‎ ‎ （2）归纳概括的结论为：‎ 若数列是首项为a1，公比为q的等比数列，则 ‎20．[解]（1）如图建立直角坐标系，则点P（11，4.5）， 椭圆方程为.‎ 将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得.因此隧道的拱宽约为‎33.3米.‎ ‎（2）[解一]‎ 由椭圆方程，得 故当拱高约为‎6.4米、拱宽约为‎31.1米时，土方工程量最小.‎ ‎[解二]由椭圆方程，得 于是 得以下同解一.‎ ‎21．[解]（1）设得 ‎ ‎ ‎ 所以v－3>0,得v=8,故={6，8}.‎ ‎（2）由={10，5}，得B（10，5），于是直线OB方程：‎ 由条件可知圆的标准方程为：(x－3)2+y(y+1)2=10, 得圆心（3，－1），半径为.‎ 设圆心（3，－1）关于直线OB的对称点为（x ,y）则 故所求圆的方程为(x－1)2+(y－3)2=10.‎ ‎（3）设P (x1,y1), Q (x2,y2) 为抛物线上关于直线OB对称两点，则 故当时，抛物线y=ax2－1上总有关于直线OB对称的两点.‎ ‎22．[解]（1）对于非零常数T，f(x+T)=x+T, Tf(x)=Tx. 因为对任意x∈R，x+T= Tx不能恒成立，所以f(x)=‎ ‎（2）因为函数f(x)=ax（a>0且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点，‎ 所以方程组：有解，消去y得ax=x,‎ 显然x=0不是方程ax=x的解，所以存在非零常数T，使aT=T. ‎ 于是对于f(x)=ax有 故f(x)=ax∈M.‎ ‎（3）当k=0时，f(x)=0，显然f(x)=0∈M.‎ 当k≠0时，因为f(x)=sinkx∈M，所以存在非零常数T，对任意x∈R，有 f(x+T)=T f(x)成立，即sin(kx+kT)=Tsinkx .‎ 因为k≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+kT∈R，‎ 于是sinkx ∈[－1，1]，sin(kx+kT) ∈[－1，1]，‎ 故要使sin(kx+kT)=Tsinkx .成立，‎ 只有T=，当T=1时，sin(kx+k)=sinkx 成立，则k=‎2mπ, m∈Z . ‎ 当T=－1时，sin(kx－k)=－sinkx 成立，‎ 即sin(kx－k+π)= sinkx 成立，‎ 则－k+π=‎2mπ, m∈Z ，即k=－2(m－1) π, m∈Z .‎ 综合得，实数k的取值范围是{k|k= mπ, m∈Z}‎