中考数学试题分类汇编考点29与圆有关的位置关系

中考数学试题分类汇编考点29与圆有关的位置关系

‎2018中考数学试题分类汇编：考点29 与圆有关的位置关系 ‎　‎ 一．选择题（共9小题）‎ ‎1．（2018•宜宾）在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（　　）‎ A． B． C．34 D．10‎ ‎【分析】设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN，则MN、PM的长度是定值，利用三角形的三边关系可得出NP的最小值，再利用PF2+PG2=2PN2+2FN2即可求出结论．‎ ‎【解答】解：设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN取最小值．‎ ‎∵DE=4，四边形DEFG为矩形，‎ ‎∴GF=DE，MN=EF，‎ ‎∴MP=FN=DE=2，‎ ‎∴NP=MN﹣MP=EF﹣MP=1，‎ ‎∴PF2+PG2=2PN2+2FN2=2×12+2×22=10．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．（2018•泰安）如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙‎ M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（　　）‎ A．3 B．4 C．6 D．8‎ ‎【分析】由Rt△APB中AB=2OP知要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，据此求解可得．‎ ‎【解答】解：∵PA⊥PB，‎ ‎∴∠APB=90°，‎ ‎∵AO=BO，‎ ‎∴AB=2PO，‎ 若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，‎ 连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，‎ 过点M作MQ⊥x轴于点Q，‎ 则OQ=3、MQ=4，‎ ‎∴OM=5，‎ 又∵MP′=2，‎ ‎∴OP′=3，‎ ‎∴AB=2OP′=6，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．（2018•滨州）已知半径为5的⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=25°，则劣弧的长为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据圆周角定理和弧长公式解答即可．‎ ‎【解答】解：如图：连接AO，CO，‎ ‎∵∠ABC=25°，‎ ‎∴∠AOC=50°，‎ ‎∴劣弧的长=，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．（2018•自贡）如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A=60°，连接OB、OC，则边BC的长为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】延长BO交圆于D，连接CD，则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°；又BD=2R，根据锐角三角函数的定义得BC=R．‎ ‎【解答】解：延长BO交⊙O于D，连接CD，‎ 则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°，‎ ‎∴∠CBD=30°，‎ ‎∵BD=2R，‎ ‎∴DC=R，‎ ‎∴BC=R，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．（2018•湘西州）已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（　　）‎ A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 ‎【分析】根据圆心到直线的距离5等于圆的半径5，则直线和圆相切．‎ ‎【解答】解：∵圆心到直线的距离5cm=5cm，‎ ‎∴直线和圆相切．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．（2018•徐州）⊙O1和⊙O2的半径分别为5和2，O1O2=3，则⊙O1和⊙O2的位置关系是（　　）‎ A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 ‎【分析】根据两圆圆心距与半径之间的数量关系判断⊙O1与⊙O2的位置关系．‎ ‎【解答】解：∵⊙O1和⊙O2的半径分别为5和2，O1O2=3，‎ 则5﹣2=3，‎ ‎∴⊙O1和⊙O2内切．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．（2018•台湾）如图，两圆外切于P点，且通过P点的公切线为L，过P点作两直线，两直线与两圆的交点为A、B、C、D，其位置如图所示，若AP=10，CP=9，则下列角度关系何者正确？（　　）‎ A．∠PBD＞∠PAC B．∠PBD＜∠PAC C．∠PBD＞∠PDB D．∠PBD＜∠PDB ‎【分析】根据大边对大角，平行线的判定和性质即可判断；‎ ‎【解答】解：如图，∵直线l是公切线 ‎∴∠1=∠B，∠2=∠A，‎ ‎∵∠1=∠2，‎ ‎∴∠A=∠B，‎ ‎∴AC∥BD，‎ ‎∴∠C=∠D，‎ ‎∵PA=10，PC=9，‎ ‎∴PA＞PC，‎ ‎∴∠C＞∠A，‎ ‎∴∠D＞∠B．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．（2018•内江）已知⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2=4cm，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（　　）‎ A．外高 B．外切 C．相交 D．内切 ‎【分析】由⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2为4cm，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．‎ ‎【解答】解：∵⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2为4cm，‎ 又∵2+3=5，3﹣2=1，1＜4＜5，‎ ‎∴⊙O1与⊙O2的位置关系是相交．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．（2018•上海）如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是（　　）‎ A．5＜OB＜9 B．4＜OB＜9 C．3＜OB＜7 D．2＜OB＜7‎ ‎【分析】作半径AD，根据直角三角形30度角的性质得：OA=4，再确认⊙B与⊙A相切时，OB的长，可得结论．‎ ‎【解答】解：设⊙A与直线OP相切时切点为D，连接AD，‎ ‎∴AD⊥OP，‎ ‎∵∠O=30°，AD=2，‎ ‎∴OA=4，‎ 当⊙B与⊙A相内切时，设切点为C，如图1，‎ ‎∵BC=3，‎ ‎∴OB=OA+AB=4+3﹣2=5；‎ 当⊙A与⊙B相外切时，设切点为E，如图2，‎ ‎∴OB=OA+AB=4+2+3=9，‎ ‎∴半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是：5＜OB＜9，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二．填空题（共7小题）‎ ‎10．（2018•临沂）如图．在△ABC中，∠A=60°，BC=5cm．能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是　　cm．‎ ‎【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据圆的相关知识即可求得△ABC外接圆的直径，本题得以解决．‎ ‎【解答】解：设圆的圆心为点O，能够将△ABC完全覆盖的最小圆是△ABC的外接圆，‎ ‎∵在△ABC中，∠A=60°，BC=5cm，‎ ‎∴∠BOC=120°，‎ 作OD⊥BC于点D，则∠ODB=90°，∠BOD=60°，‎ ‎∴BD=，∠OBD=30°，‎ ‎∴OB=，得OB=，‎ ‎∴2OB=，‎ 即△ABC外接圆的直径是cm，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎11．（2018•内江）已知△ABC的三边a，b，c，满足a+b2+|c﹣6|+28=4+10b，则△ABC的外接圆半径=　　．‎ ‎【分析】根据题目中的式子可以求得a、b、c的值，从而可以求得△ABC的外接圆半径的长．‎ ‎【解答】解：∵a+b2+|c﹣6|+28=4+10b，‎ ‎∴（a﹣1﹣4+4）+（b2﹣10b+25）+|c﹣6|=0，‎ ‎∴（﹣2）2+（b﹣5）2+|c﹣6|=0，‎ ‎∴，b﹣5=0，c﹣6=0，‎ 解得，a=5，b=5，c=6，‎ ‎∴AC=BC=5，AB=6，‎ 作CD⊥AB于点D，‎ 则AD=3，CD=4，‎ 设△ABC的外接圆的半径为r，‎ 则OC=r，OD=4﹣r，OA=r，‎ ‎∴32+（4﹣r）2=r2，‎ 解得，r=，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎12．（2018•黄冈）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠CAB=60°，弦AD平分∠CAB，若AD=6，则AC=　2　．‎ ‎【分析】连接BD．在Rt△ADB中，求出AB，再在Rt△ACB中求出AC即可解决问题；‎ ‎【解答】解：连接BD．‎ ‎∵AB是直径，‎ ‎∴∠C=∠D=90°，‎ ‎∵∠CAB=60°，AD平分∠CAB，‎ ‎∴∠DAB=30°，‎ ‎∴AB=AD÷cos30°=4，‎ ‎∴AC=AB•cos60°=2，‎ 故答案为2．‎ ‎　‎ ‎13．（2018•新疆）如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为2，则图中阴影部的面积是　　．‎ ‎【分析】根据等边三角形性质及圆周角定理可得扇形对应的圆心角度数，再根据扇形面积公式计算即可．‎ ‎【解答】解：∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴∠C=60°，‎ 根据圆周角定理可得∠AOB=2∠C=120°，‎ ‎∴阴影部分的面积是=π，‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎14．（2018•扬州）如图，已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，则AB=　2　．‎ ‎【分析】根据圆内接四边形对角互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得∠AOB的度数，然后根据勾股定理即可求得AB的长．‎ ‎【解答】解：连接AD、AE、OA、OB，‎ ‎∵⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，‎ ‎∴∠ADB=45°，‎ ‎∴∠AOB=90°，‎ ‎∵OA=OB=2，‎ ‎∴AB=2，‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎15．（2018•泰安）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BC=4，则⊙O的直径为　4　．‎ ‎【分析】连接OB，OC，依据△BOC是等腰直角三角形，即可得到BO=CO=BC•cos45°=2，进而得出⊙O的直径为4．‎ ‎【解答】解：如图，连接OB，OC，‎ ‎∵∠A=45°，‎ ‎∴∠BOC=90°，‎ ‎∴△BOC是等腰直角三角形，‎ 又∵BC=4，‎ ‎∴BO=CO=BC•cos45°=2，‎ ‎∴⊙O的直径为4，‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎16．（2018•大庆）已知直线y=kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为　m＜　．‎ ‎【分析】‎ 利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标轴交点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答．‎ ‎【解答】解：把点（12，﹣5）代入直线y=kx得，‎ ‎﹣5=12k，‎ ‎∴k=﹣；‎ 由y=﹣x平移平移m（m＞0）个单位后得到的直线l所对应的函数关系式为y=﹣x+m（m＞0），‎ 设直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，（如下图所示）‎ 当x=0时，y=m；当y=0时，x=m，‎ ‎∴A（m，0），B（0，m），‎ 即OA=m，OB=m；‎ 在Rt△OAB中，‎ AB=，‎ 过点O作OD⊥AB于D，‎ ‎∵S△ABO=OD•AB=OA•OB，‎ ‎∴OD•=×，‎ ‎∵m＞0，解得OD=，‎ 由直线与圆的位置关系可知＜6，解得m＜．‎ 故答案为：m＜．‎ ‎　‎ 三．解答题（共4小题）‎ ‎17．（2018•福建）如图，D是△ABC外接圆上的动点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F．BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC=PB．‎ ‎（1）求证：BG∥CD；‎ ‎（2）设△ABC外接圆的圆心为O，若AB=DH，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．‎ ‎【分析】（1）根据等边对等角得：∠PCB=∠PBC，由四点共圆的性质得：∠BAD+∠BCD=180°，从而得：∠BFD=∠PCB=∠PBC，根据平行线的判定得：BC∥DF，可得∠ABC=90°，AC是⊙O的直径，从而得：∠ADC=∠AGB=90°，根据同位角相等可得结论；‎ ‎（2）先证明四边形BCDH是平行四边形，得BC=DH，根据特殊的三角函数值得：∠ACB=60°，∠BAC=30°，所以DH=AC，分两种情况：‎ ‎①当点O在DE的左侧时，如图2，作辅助线，构建直角三角形，由同弧所对的圆周角相等和互余的性质得：∠AMD=∠ABD，则∠ADM=∠BDE，并由DH=OD，可得结论；‎ ‎②当点O在DE的右侧时，如图3，同理作辅助线，同理有∠ADE=∠BDN=20°，∠ODH=20°，得结论．‎ ‎【解答】（1）证明：如图1，∵PC=PB，‎ ‎∴∠PCB=∠PBC，‎ ‎∵四边形ABCD内接于圆，‎ ‎∴∠BAD+∠BCD=180°，‎ ‎∵∠BCD+∠PCB=180°，‎ ‎∴∠BAD=∠PCB，‎ ‎∵∠BAD=∠BFD，‎ ‎∴∠BFD=∠PCB=∠PBC，‎ ‎∴BC∥DF，‎ ‎∵DE⊥AB，‎ ‎∴∠DEB=90°，‎ ‎∴∠ABC=90°，‎ ‎∴AC是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADC=90°，‎ ‎∵BG⊥AD，‎ ‎∴∠AGB=90°，‎ ‎∴∠ADC=∠AGB，‎ ‎∴BG∥CD；‎ ‎（2）由（1）得：BC∥DF，BG∥CD，‎ ‎∴四边形BCDH是平行四边形，‎ ‎∴BC=DH，‎ 在Rt△ABC中，∵AB=DH，‎ ‎∴tan∠ACB==，‎ ‎∴∠ACB=60°，∠BAC=30°，‎ ‎∴∠ADB=60°，BC=AC，‎ ‎∴DH=AC，‎ ‎①当点O在DE的左侧时，如图2，作直径DM，连接AM、OH，则∠DAM=90°，‎ ‎∴∠AMD+∠ADM=90°‎ ‎∵DE⊥AB，‎ ‎∴∠BED=90°，‎ ‎∴∠BDE+∠ABD=90°，‎ ‎∵∠AMD=∠ABD，‎ ‎∴∠ADM=∠BDE，‎ ‎∵DH=AC，‎ ‎∴DH=OD，‎ ‎∴∠DOH=∠OHD=80°，‎ ‎∴∠ODH=20°‎ ‎∵∠AOB=60°，‎ ‎∴∠ADM+∠BDE=40°，‎ ‎∴∠BDE=∠ADM=20°，‎ ‎②当点O在DE的右侧时，如图3，作直径DN，连接BN，‎ 由①得：∠ADE=∠BDN=20°，∠ODH=20°，‎ ‎∴∠BDE=∠BDN+∠ODH=40°，‎ 综上所述，∠BDE的度数为20°或40°．‎ ‎　‎ ‎18．（2018•温州）如图，D是△ABC的BC边上一点，连接AD，作△ABD的外接圆，将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在BD上．‎ ‎（1）求证：AE=AB．‎ ‎（2）若∠CAB=90°，cos∠ADB=，BE=2，求BC的长．‎ ‎【分析】（1）由折叠得出∠AED=∠ACD、AE=AC，结合∠ABD=∠AED知∠ABD=∠ACD，从而得出AB=AC，据此得证；‎ ‎（2）作AH⊥BE，由AB=AE且BE=2知BH=EH=1，根据∠ABE=∠AEB=∠ADB知cos∠ABE=cos∠ADB==，据此得AC=AB=3，利用勾股定理可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）由折叠的性质可知，△ADE≌△ADC，‎ ‎∴∠AED=∠ACD，AE=AC，‎ ‎∵∠ABD=∠AED，‎ ‎∴∠ABD=∠ACD，‎ ‎∴AB=AC，‎ ‎∴AE=AB；‎ ‎（2）如图，过A作AH⊥BE于点H，‎ ‎∵AB=AE，BE=2，‎ ‎∴BH=EH=1，‎ ‎∵∠ABE=∠AEB=∠ADB，cos∠ADB=，‎ ‎∴cos∠ABE=cos∠ADB=，‎ ‎∴=．‎ ‎∴AC=AB=3，‎ ‎∵∠BAC=90°，AC=AB，‎ ‎∴BC=3．‎ ‎　‎ ‎19．（2018•天门）如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM．‎ ‎（1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）若∠ECF=2∠A，CM=6，CF=4，求MF的长．‎ ‎【分析】（1）连接OC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB=90°，再根据斜边上的中线性质得MC=MG=ME，所以∠G=∠1，接着证明∠1+∠2=90°，从而得到∠OCM=90°，然后根据直线与圆的位置关系的判断方法可判断CM为⊙O的切线；‎ ‎（2）先证明∠G=∠A，再证明∠EMC=∠4，则可判定△EFC∽△ECM，利用相似比先计算出CE，再计算出EF，然后计算ME﹣EF即可．‎ ‎【解答】解：（1）CM与⊙O相切．理由如下：‎ 连接OC，如图，‎ ‎∵GD⊥AO于点D，‎ ‎∴∠G+∠GBD=90°，‎ ‎∵AB为直径，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ ‎∵M点为GE的中点，‎ ‎∴MC=MG=ME，‎ ‎∴∠G=∠1，‎ ‎∵OB=OC，‎ ‎∴∠B=∠2，‎ ‎∴∠1+∠2=90°，‎ ‎∴∠OCM=90°，‎ ‎∴OC⊥CM，‎ ‎∴CM为⊙O的切线；‎ ‎（2）∵∠1+∠3+∠4=90°，∠5+∠3+∠4=90°，‎ ‎∴∠1=∠5，‎ 而∠1=∠G，∠5=∠A，‎ ‎∴∠G=∠A，‎ ‎∵∠4=2∠A，‎ ‎∴∠4=2∠G，‎ 而∠EMC=∠G+∠1=2∠G，‎ ‎∴∠EMC=∠4，‎ 而∠FEC=∠CEM，‎ ‎∴△EFC∽△ECM，‎ ‎∴==，即==，‎ ‎∴CE=4，EF=，‎ ‎∴MF=ME﹣EF=6﹣=．‎ ‎　‎ ‎20．（2018•泰州）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠‎ ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E．‎ ‎（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）过点D作DF⊥AB于点F，若BE=3，DF=3，求图中阴影部分的面积．‎ ‎【分析】（1）直接利用角平分线的定义结合平行线的判定与性质得出∠DEB=∠EDO=90°，进而得出答案；‎ ‎（2）利用勾股定理结合扇形面积求法分别分析得出答案．‎ ‎【解答】解：（1）DE与⊙O相切，‎ 理由：连接DO，‎ ‎∵DO=BO，‎ ‎∴∠ODB=∠OBD，‎ ‎∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，‎ ‎∴∠EBD=∠DBO，‎ ‎∴∠EBD=∠BDO，‎ ‎∴DO∥BE，‎ ‎∵DE⊥BC，‎ ‎∴∠DEB=∠EDO=90°，‎ ‎∴DE与⊙O相切；‎ ‎（2）∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BE，DF⊥AB，‎ ‎∴DE=DF=3，‎ ‎∵BE=3，‎ ‎∴BD==6，‎ ‎∵sin∠DBF==，‎ ‎∴∠DBA=30°，‎ ‎∴∠DOF=60°，‎ ‎∴sin60°===，‎ ‎∴DO=2，‎ 则FO=，‎ 故图中阴影部分的面积为：﹣××3=2π﹣．‎ ‎　‎