备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题37 难舍难分的an与Sn——求数列的通项公式

备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题37 难舍难分的an与Sn——求数列的通项公式

专题37 难舍难分的与 ----求数列的通项公式 ‎【热点聚焦与扩展】‎ 关于求数列的通项公式问题，在高考中很少独立命题，但数列的通项公式、猜想、归纳、递推意识却融入数列的试题之中，特别是题目中给定与的关系，通过确定数列的通项公式进一步解题，常见于各类考试题中.本专题举例说常见类型的求解方法.‎ ‎1、累加（累乘法）‎ ‎（1）累加法：如果递推公式形式为：，则可利用累加法求通项公式 ‎① 等号右边为关于的表达式，且能够进行求和 ‎② 的系数相同，且为作差的形式 ‎（2）累乘法：如果递推公式形式为：，则可利用累加法求通项公式 ‎2、构造辅助数列：通过对递推公式进行变形，变形为相邻项同构的特点，进而将相同的结构视为一个整体，即构造出辅助数列.通过求出辅助数列的通项公式，便可算出原数列的通项公式 ‎（1）形如的形式：通常可构造出等比数列，进而求出通项公式.‎ ‎（2）形如，此类问题可先处理，两边同时除以，得，进而构造成，设，从而变成，从而将问题转化为第（1）个问题 小结：对于以上两个问题，还有一个通用的方法：对于形如（其中为关于的表达式），可两边同时除以，.设，即，进而只要可进行求和，便可用累加的方法求出，进而求出.‎ ‎（3）形如：，可以考虑两边同时除以，转化为的形式，进而可设，递推公式变为，转变为上面的类型求解 ‎（4）形如 20‎ ‎，即中间项的系数与两边项的系数和互为相反数，则可根据两边项的系数对中间项进行拆分，构造为：的形式，将，进而可转化为上面所述类型进行求解 ‎ ‎4、已知数列的前项和，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：‎ ‎(1)先利用求出；‎ ‎(2)用替换中的得到一个新的关系，利用 便可求出当时的表达式；‎ ‎(3)对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写．‎ ‎5、构造相减：当所给递推公式无法直接进行变形，则可考虑根据递推公式的形式再构造出下一组相邻项的递推公式，通过两式相减可构造出新的递推公式，再尝试解决.尤其是处理递推公式一侧有求和特征的问题，这种做法可构造出更为简单的递推公式. ‎ ‎6、先通过数列前几项找到数列特点，从而猜出通项公式（教科书的基本要求：根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用或来调整．‎ ‎），必要时再利用数学归纳法证明.‎ ‎【经典例题】‎ 例1.（1）数列满足：，且，求.‎ ‎（2）已知数列满足：，且，求 ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）‎ ‎ ‎ 累加可得：‎ ‎ ‎ 20‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ 例2.（1）数列中，，，求数列的通项公式.‎ ‎（2）在数列中，，，求数列的通项公式.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ 是公比为的等比数列 ‎ ‎ ‎（2）‎ 是公差为2的等差数列 20‎ 例3.已知数列满足， ，若，则数列的通项（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 , , ,‎ 例4.【2019届甘肃省兰州第一中学上学期第二次月考】已知正项数列的首项，前n项和为，若以为坐标的点在曲线上，则数列的通项公式为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为以为坐标的点在曲线上，所以，即，两式相减，得，‎ 即，即，即，‎ 即，又，即数列是以1为首项，公差为1的等差数列，则数列的通项公式为 20‎ ‎；故填.‎ 例5.【2019届四川省绵阳市三诊】已知正项数列的前项和满足： ．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】【试题分析】(1)令求得,然后利用,求得通项公式.(2) 化简得,为等差数列,利用等差数列前项和公式,求得.‎ ‎【试题解析】‎ ‎∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故.‎ ‎∴数列的通项公式为.‎ ‎（2）∵，代入化简得，显然是等差数列，‎ ‎∴其前项和.‎ 例6.【2019届河北省武邑中学高三下期中】已知数列的前项和为，且满足.‎ 20‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，记数列的前项和为，证明： .‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎ ‎【解析】分析：（1）利用项和公式求数列的通项公式. （2）先求出，再裂项求和，再证明不等式.‎ 详解：(1)当时，有，解得，‎ 当时，有，则 整理得 ‎∴数列是以为公比，以为首项的等比数列 易知数列为递增数列，‎ ‎∴，即.‎ 20‎ 例7.【2019届河北省衡水金卷一模】已知数列的前项和为，且，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记，数列的前项和为，求.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】分析：（1）由，得到即为常数列，从而得到数列的通项公式；（2），利用裂项相消法求和.‎ 详解：（1）由，得，‎ 例8. 已知数列的各项均为正数，且，求.‎ ‎【答案】‎ 20‎ ‎【解析】思路：所给为的关系，先会想到转为递推公式，，两式相减可得：，很难再往下进行.从而考虑化为的递推式：时，，从而为公差是1的等差数列，可求出，进而求出 解：，当，有 点睛：在处理的式子时，两种处理方向如果一个没有进展，则立刻尝试另一个方向.本题虽然表面来看消去方便，但通过运算发现递推公式无法再进行处理.所以立刻调转方向，去得到的式子，迂回一下再求出. ‎ 例9.【2019届福建省龙岩市4月检测】已知数列的前项和是，且.‎ ‎（1）若，求的通项公式；‎ 20‎ ‎（2）在（1）的条件下，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2).‎ ‎【解析】分析：（1）由，得，整理得 ，所以是一个公差为2的等差数列，可得，由可得结果；（2）由（1）可知，‎ ‎ ，利用裂项相消法可得数列的前项和.‎ 详解：（1）当时，，即，‎ 整理得，所以 ‎ 所以是一个公差为2的等差数列，‎ 所以 ‎ ‎（2）由（1）可知，‎ ‎ ， ‎ 所以 ．‎ 点睛：本题主要考查等差数列的定义、公式的应用以及裂项相消法求和，属于难题.‎ 20‎ 已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.‎ 例10.【2019届天津市十二校二模联考】已知数列的前项和满足：，（为常数，，）.‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，若数列为等比数列，求的值；‎ ‎（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，.若数列的前项和为，且对任意满足，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ;(2) ;(3) .‎ ‎【解析】分析：（1）可得 ，两式相减，可化为 且 ，可得数列是以为首项，为公比的等比数列，从而可得结果；(2)算出数列的前三项，利用等比中项的性质列方程，可求得的值；(3)由，利用裂项相消法即可求得，于是，从而可得结果.‎ ‎（2）由得，‎ 20‎ ‎ ‎ 因为数列为等比数列，所以，‎ 解得.‎ ‎(3)由（2）知 ‎ ‎ ‎ 所以 ‎ ‎，‎ 所以，‎ 解得.‎ ‎【精选精练】‎ ‎1．【2019届浙江省宁波市5月模拟】记为数列的前项和．“任意正整数，均有”是“为递增数列”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎∴“an＞0”是“数列{Sn}是递增数列”的不必要条件．‎ 20‎ ‎∴“an＞0”是“数列{Sn}是递增数列”的充分不必要条件．‎ 故答案为：A．‎ 点睛：说明一个命题是真命题，必须证明才严谨.要说明一个命题是一个假命题，只要举一个反例即可.‎ ‎2．【2019届福建省三明市5月检测】若为数列的前项和，且，则等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由题意首先求得数列的通项公式，然后结合通项公式求解前n项和即可.‎ 详解：当时，，据此可得：，‎ 点睛：给出 与 的递推关系，求an，常用思路是：一是利用转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.‎ ‎3．【2019届辽宁省丹东市测试二】设为数列的前项和，若，则 A. 93 B. 62 C. 45 D. 21‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据与的关系求得数列的通项公式，然后再求出即可．‎ 详解：∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 整理得 ，‎ 20‎ 又，解得．‎ ‎∴数列是首项为3，公比为2的等比数列，‎ ‎∴．‎ 故选A．‎ 点睛：已知与的关系解题时，要注意联系与的纽带：，运用这一关系时要注意使用的前提是，对于的情形要进行检验，看是否满足一般的规律．‎ ‎4．【2019届河南省南阳市第一中学第十四次考】已知数列的前项和为，，且，则所有满足条件的数列中，的最大值为（ ）‎ A. 3 B. 6 C. 9 D. 12‎ ‎【答案】B ‎【解析】 当时，，即，‎ 当时，取得最大值，当时，取得最小值为，‎ 所以当时，取得最大值，对应取得最大值为，故选B.‎ 点睛：本题主要考查数列的递推关系，等差数列与等比数列的通项公式及不等式及其应用，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力，属于难题．解答中利用数列的递推关系式，化简得到数列从第三项开始，每一项是由前一项加1或乘以得到时解得关键.‎ 20‎ ‎5．【2019届广东省模拟二】已知数列的前项和为，，且满足，已知，，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：首先对题中所给的数列的递推公式进行变形，整理得出数列为等差数列，确定首项和公差，从而得到新数列的通项公式，接着得到的通项公式，利用其通项公式，可以得出哪些项是正的，哪些项是负的，哪些项等于零，从而能够判断出在什么情况下取得最小值，并求出最小值的结果.‎ 详解：根据题意可知，‎ 式子的每一项都除以，可得，‎ 即，‎ 点睛：该题考查的是数列的有关问题，需要对题中所给的递推公式变形，构造出新的等差数列，从而借助于等差数列求出的通项公式，而题中要求的的值表示的是连续若干项的和，根据通项公式判断出项的符号，从而确定出哪些项，最后求得结果.‎ ‎6．【2019届河北省衡水金卷二】已知数列的前项和为，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为①，所以当时，②，由①②得，‎ 20‎ 即，即，又当时，，所以，符合上式，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，所以，所以，故选C.‎ ‎7．【2019届河南省南阳市第一中学第十五次考】已知数列的前项和为，，若数列是公差为2的等差数列，则数列的通项公式为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由，求得数列是公差的等差数列，再求得，‎ ‎，则，得，‎ 所以数列的通项公式为. ‎ 点睛：本题考查了等差数列的前项公式以及等差数列的通项公式的应用，在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；二是利用等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现有时经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.‎ ‎8.【2019届新疆乌鲁木齐市三诊】设正项数列的前项和为，，，则__________．‎ 20‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：将与已知等式相结合化简可得，利用累加求和方法可得最后结果.‎ 详解：∵，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎，∴，故答案为.‎ ‎9．【2019届湖南省株洲市检测二】已知数列的前项和为，且满足，数列满足，则数列中第__________项最小．‎ ‎【答案】4‎ ‎ 进而得到数列为等差数列，首项为1，公差为1． 数列满足 时， ‎ 时也成立． ‎ 20‎ 则数列中第4项最小．‎ 即答案为4.‎ ‎10．【2019届山西省太原市3月模拟】已知数列满足，为数列的前项和，则的值为__________．‎ ‎【答案】2016‎ ‎11．【2019届福建省南平市5月检测】设为数列的前项和，已知，，．‎ ‎（Ⅰ）求证：是等差数列；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）当时，，带入可得：，从而得证；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，进而得，，利用错位相减即可得解.‎ 详解：（Ⅰ）证：当时，，‎ 代入已知得，，‎ 所以，‎ 因为，所以，‎ 20‎ 所以，故是等差数列；‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知是以1为首项，1为公差的等差数列，‎ 所以 从而，当时，‎ ‎ - ‎ ‎ 点睛：弄清错位相减法的适用条件及解题格式是关键，在应用错位相减法求和时，一定要抓住数列的特征，即数列的项可以看作是由一个等差数列和一个公比不为1的等比数列对应项相乘所得，所谓“错位”就是找“同类项”相减．‎ ‎12．【2019届福建省莆田市第二次检测】已知正项数列的前项和为，且，等比数列的首项为1，公比为（），且，，成等差数列．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】分析：第一问首先将代入题中所给的式子，求得，之后类比着写出时对应的式子，两式相减求得，从而确定出数列 20‎ 是首项为3，公差为2的等差数列，进一步求得其通项公式；第二问利用题中条件求得其公比，借助其首项，利用等比数列求得其通项公式，之后观察是由一个等差数列和一个等比数列对应项积所构成的新数列，利用错位相减法求和即可.‎ 详解：（1）当时，，‎ 即，‎ 因为，所以，‎ 所以，即，所以，‎ 又因为，所以，‎ 所以，则，‎ ‎，①‎ 则，②‎ 由①②得 ，‎ 所以．‎ 20‎ 点睛：该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式、等比数列的通项公式、数列的项与和的关系以及错位相减法求和，在解题的过程中，需要对基础知识牢固掌握，再者就是根据题的条件，对所求出的量进行取舍，最后在求和时，最后对应的那个等比数列一定要明确项数.‎ 20‎