2017年度高考数学快速命中考点18

2017年度高考数学快速命中考点18

‎2014高考数学快速命中考点18‎ ‎1．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于，则C的方程是(　　)‎ A.－＝1　　　　　　 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ ‎【解析】　右焦点为F(3,0)说明两层含义：双曲线的焦点在x轴上；c＝3.又离心率为＝，故a＝2，b2＝c2－a2＝32－22＝5，故C的方程为－＝1，选B.‎ ‎【答案】　B ‎2．设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F‎1F2，∠PF‎1F2＝30°，则C的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】　因为PF2⊥F‎1F2，∠PF‎1F2＝30°，‎ 所以|PF2|＝2ctan 30°＝c，|PF1|＝c.‎ 又|PF1|＋|PF2|＝c＝‎2a，则e＝＝＝.‎ ‎【答案】　D ‎3．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是(　　)‎ A.　　　 B.　　　 C．1　　　 D. ‎【解析】　由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，‎ 双曲线的渐近线方程为x±y＝0，‎ 则焦点到渐近线的距离d＝＝.‎ ‎【答案】　B ‎4．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是(　　)‎ A．(0,2) B．[0,2]‎ C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)‎ ‎【解析】　∵x2＝8y，∴焦点F的坐标为(0,2)，准线方程为y＝－2.由抛物线的定义知|MF|＝y0＋2.以F为圆心、|FM|为半径的圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝(y0＋2)2.‎ 由于以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交，又圆心F到准线的距离为4，故42.‎ ‎【答案】　C ‎5．抛物线C1：y＝x2(p＞0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝‎ ‎(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎【解析】　∵双曲线C2：－y2＝1，‎ ‎∴右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y＝±x.‎ 抛物线C1：y＝x2(p＞0)，焦点为F′(0，)．‎ 设M(x0，y0)，则y0＝x.‎ ‎∵kMF′＝kFF′，∴＝.①‎ 又∵y′＝x，∴y′|x＝x0＝x0＝.②‎ 由①②得p＝.‎ ‎【答案】　D 二、填空题 ‎6．已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．‎ ‎【解析】　由y2＝8x,2p＝8，p＝4，∴其准线方程为x＝－2.双曲线的左焦点为(－2,0)，c＝2.‎ 又e＝＝＝2，∴a＝1，b2＝3.‎ 故双曲线的方程为x2－＝1.‎ ‎【答案】　x2－＝1‎ ‎7．已知点Q(0,2)及抛物线y2＝4x上一动点P(x，y)，则x＋|PQ|的最小值是________．‎ ‎【解析】　由抛物线y2＝4x得焦点为F(1,0)，准线为x＝－1，过点P作PM⊥‎ 准线x＝－1于点M，‎ 则|PM|＝|PF|＝x＋1.‎ ‎∴x＋|PQ|＝|PM|＋|PQ|－1＝|PF|＋|PQ|－1.‎ ‎∵当F，P，Q三点共线时，|PF|＋|PQ|最小，(|PF|＋|PQ|)min＝|FQ|＝＝3，‎ ‎∴(x＋|PQ|)min＝(|PF|＋|PQ|－1)min＝3－1＝2.‎ ‎【答案】　2‎ ‎8．椭圆Γ：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为‎2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF‎1F2＝2∠MF‎2F1，则该椭圆的离心率等于________．‎ ‎【解析】　已知F1(－c,0)，F2(c,0)，‎ 直线y＝(x＋c)过点F1，且斜率为，‎ ‎∴倾斜角∠MF‎1F2＝60°.‎ ‎∵∠MF‎2F1＝∠MF‎1F2＝30°，‎ ‎∴∠F1MF2＝90°，∴|MF1|＝c，|MF2|＝c.‎ 由椭圆定义知|MF1|＋|MF2|＝c＋c＝‎2a，‎ ‎∴离心率e＝＝＝－1.‎ ‎【答案】　－1‎ 三、解答题 ‎9．已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．‎ ‎(1)求椭圆C2的方程；‎ ‎(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，＝2，求直线AB的方程．‎ ‎【解】　(1)由已知可设椭圆C2的方程为＋＝1(a>2)，其离心率为，故＝，解得a＝4.‎ 故椭圆C2的方程为＋＝1.‎ ‎(2)A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，‎ 由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.‎ 将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，‎ 所以x＝.‎ 将y＝kx代入＋＝1中，得(4＋k2)x2＝16，‎ 所以x＝.‎ 又由＝2，得x＝4x，即＝，‎ 解得k＝±1.故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.‎ ‎10．如图5－2－3，拋物线E：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A.点C在拋物线E上，以C为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N.‎ 图5－2－3‎ ‎ (1)若点C的纵坐标为2，求|MN|；‎ ‎(2)若|AF|2＝|AM|·|AN|，求圆C的半径．‎ ‎【解】　(1)拋物线y2＝4x的准线l的方程为x＝－1.‎ 由点C的纵坐标为2，得点C的坐标为(1,2)，‎ 所以点C到准线l的距离d＝2.又|CO|＝，‎ 所以|MN|＝2＝2＝2.‎ ‎(2)设C，则圆C的方程为2＋(y－y0)2＝＋y，即x2－x＋y2－2y0y＝0.‎ 由x＝－1，得y2－2y0y＋1＋＝0.‎ 设M(－1，y1)，N(－1，y2)，则 由|AF|2＝|AM|·|AN|，得|y1y2|＝4，‎ 所以＋1＝4，解得y0＝±，此时Δ>0.所以圆心C的坐标为或，从而|CO|2＝，‎ ‎|CO|＝，即圆C的半径为.‎ ‎11．如图5－2－4，点F1(－c,0)，F2(c,0)分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1作x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点F2作直线PF2的垂线交直线x＝于点Q.‎ 图5－2－4‎ ‎ (1)如果点Q的坐标是(4,4)，求此时椭圆C的方程；‎ ‎(2)证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点．‎ ‎【解】　(1)由条件知，P(－c，)，故直线PF2的斜率为kPF2＝＝－.‎ 因为PF2⊥F2Q，所以直线F2Q的方程为y＝x－，‎ 故Q(，‎2a)．‎ 由题设知，＝4,‎2a＝4，解得a＝2，c＝1.‎ 故椭圆方程为＋＝1.‎ ‎(2)证明　直线PQ的方程为＝，‎ 即y＝x＋a.‎ 将上式代入＋＝1得x2＋2cx＋c2＝0，‎ 解得x＝－c，y＝.‎ 所以直线PQ与椭圆C只有一个交点．‎