人教A数学必修二 解析几何 直线方程的点斜式斜截式两点式和截距式

人教A数学必修二 解析几何 直线方程的点斜式斜截式两点式和截距式

安徽省池州一中新课标高中数学必修2解析几何教案：直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式2　‎ 一、教学目标 ‎(一)知识教学点 在直角坐标平面内，已知直线上一点和直线的斜率或已知直线上两点，会求直线的方程；给出直线的点斜式方程，能观察直线的斜率和直线经过的定点；能化直线方程成截距式，并利用直线的截距式作直线．‎ ‎(二)能力训练点 通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡、两点式方程向截距式方程的过渡，训练学生由一般到特殊的处理问题方法；通过直线的方程特征观察直线的位置特征，培养学生的数形结合能力．‎ ‎(三)学科渗透点 通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识．‎ 二、教材分析 ‎1．重点：由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，截距式方程是两点式方程的特殊情况，教学重点应放在推导直线的斜截式方程和两点式方程上．‎ ‎2．难点：在推导出直线的点斜式方程后，说明得到的就是直线的方程，即直线上每个点的坐标都是方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点在直线上．‎ 的坐标不满足这个方程，但化为y-y1=k(x-x1)后，点P1的坐标满足方程．‎ 三、活动设计 分析、启发、诱导、讲练结合．‎ 四、教学过程 ‎(一)点斜式 已知直线l的斜率是k，并且经过点P1(x1，y1)，直线是确定的，也就是可求的，怎样求直线l的方程(图1-24)？‎ 设点P(x，y)是直线l上不同于P1的任意一点，根据经过两点的斜率公式得 注意方程(1)与方程(2)的差异：点P1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2)，因此，点P1不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称作直线l的方程．‎ 重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆推，可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，所以这个方程就是过点P1、斜率为k的直线l的方程．‎ 这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式．‎ 当直线的斜率为0°时(图1-25)，k=0，直线的方程是y=y1．‎ 当直线的斜率为90°时(图1-26)，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1．‎ ‎(二)斜截式 已知直线l在y轴上的截距为b，斜率为b，求直线的方程．‎ 这个问题，相当于给出了直线上一点(0，b)及直线的斜率k，求直线的方程，是点斜式方程的特殊情况，代入点斜式方程可得：‎ y-b=k(x-0)‎ 也就是 上面的方程叫做直线的斜截式方程．为什么叫斜截式方程？因为它是由直线的斜率和它在y轴上的截距确定的．‎ 当k≠0时，斜截式方程就是直线的表示形式，这样一次函数中k和b的几何意义就是分别表示直线的斜率和在y轴上的截距．‎ ‎(三)两点式 已知直线l上的两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，(x1≠x2)，直线的位置是确定的，也就是直线的方程是可求的，请同学们求直线l的方程．‎ 当y1≠y2时，为了便于记忆，我们把方程改写成 请同学们给这个方程命名：这个方程是由直线上两点确定的，叫做直线的两点式．‎ 对两点式方程要注意下面两点：(1)方程只适用于与坐标轴不平行的直线，当直线与坐标轴平行(x1=x2或y1=y2)时，可直接写出方程；(2)要记住两点式方程，只要记住左边就行了，右边可由左边见y就用x代换得到，足码的规律完全一样．‎ ‎(四)截距式 例1　 已知直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a≠0，b≠0)，求直线l的方程．‎ 此题由老师归纳成已知两点求直线的方程问题，由学生自己完成．‎ 解：因为直线l过A(a，0)和B(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得 就是 学生也可能用先求斜率，然后用点斜式方程求得截距式．‎ 引导学生给方程命名：这个方程是由直线在x轴和y轴上的截距确定的，叫做直线方程的截距式．‎ 对截距式方程要注意下面三点：(1)如果已知直线在两轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程；(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图；(3)与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表示．‎ ‎(五)例题 例2　 三角形的顶点是A(-5，0)、B(3，-3)、C(0，2)(图1-27)，求这个三角形三边所在直线的方程．‎ 本例题要在引导学生灵活选用方程形式、简化运算上多下功夫．‎ 解：直线AB的方程可由两点式得：‎ 即　 3x+8y+15=0‎ 这就是直线AB的方程．‎ BC的方程本来也可以用两点式得到，为简化计算，我们选用下面途径：‎ 由斜截式得：‎ 即　 5x+3y-6=0．‎ 这就是直线BC的方程．‎ 由截距式方程得AC的方程是 即　 2x+5y+10=0．‎ 这就是直线AC的方程．‎ ‎(六)课后小结 ‎(1)直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式的命名都是可以顾名思义的，要会加以区别．‎ ‎(2)四种形式的方程要在熟记的基础上灵活运用．‎ ‎(3)要注意四种形式方程的不适用范围．‎ 五、布置作业 ‎1．(1.5练习第1题)写出下列直线的点斜式方程，并画出图形：‎ ‎(1)经过点A(2，5)，斜率是4；‎ ‎(4)经过点D(0，3)，倾斜角是0°；‎ ‎(5)经过点E(4，-2)，倾斜角是120°．‎ 解：‎ ‎2．(1.5练习第2题)已知下列直线的点斜方程，试根据方程确定各直线经过的已知点、直线的斜率和倾斜角：‎ 解：‎ ‎(1)(1，2)，k=1，α=45°；‎ ‎(3)(1，-3)，k=-1，α=135°；‎ ‎3．(1.5练习第3题)写出下列直线的斜截式方程：‎ ‎(2)倾斜角是135°，y轴上的截距是3．‎ ‎4．(1.5练习第4题)求过下列两点的直线的两点式方程，再化成截距式方程，并根据截距式方程作图．‎ ‎(1)P1(2，1)、P2(0，-3)；‎ ‎(2)A(0，5)、B(5，0)；‎ ‎(3)C(-4，-3)、D(-2，-1)．‎ 解：‎ ‎(图略)‎ 六、板书设计