高中人教a版数学必修4：模块综合测试卷 word版含解析

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模块综合测试卷 班级____ 姓名____ 考号____ 分数____ 本试卷满分 150分，考试时间 120分钟． 一、选择题：本大题共 12题，每题 5分，共 60分．在下列各题的四个选项中，只有一 个选项是符合题目要求的． 1．－3290°角是( ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 答案：D 解析：－3290°＝－360°×10＋310° ∵310°是第四象限角 ∴－3290°是第四象限角 2．在单位圆中，一条弦 AB的长度为 3，则该弦 AB所对的弧长 l为( ) A.2 3 π B.3 4 π C.5 6 π D．π 答案：A 解析：设该弦 AB所对的圆心角为α，由已知 R＝1， ∴sinα 2 ＝ AB 2 R ＝ 3 2 ，∴ α 2 ＝ π 3 ，∴α＝2 3 π，∴l＝αR＝2 3 π. 3．下列函数中周期为 π 2 的偶函数是( ) A．y＝sin4x B．y＝cos22x－sin22x C．y＝tan2x D．y＝cos2x 答案：B 解析：A中函数的周期 T＝2π 4 ＝ π 2 ，是奇函数．B可化为 y＝cos4x，其周期为 T＝2π 4 ＝ π 2 ， 是偶函数．C中 T＝π 2 ，是奇函数，D中 T＝2π 2 ＝π，是偶函数．故选 B. 4．已知向量 a，b 不共线，实数 x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)·b＝6a＋3b，则 x－y的 值为( ) A．3 B．－3 C．0 D．2 答案：A 解析：由原式可得 3x－4y＝6， 2x－3y＝3， 解得 x＝6， y＝3. ∴x－y＝3. 5．在四边形 ABCD中，AB→＝a＋2b，BC→＝－4a－b，CD→＝－5a－3b，则四边形 ABCD 是( ) A．长方形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形 答案：D 解析：AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝－8a－2b＝2BC→， 且|AD→ |≠|BC→ | ∴四边形 ABCD是梯形． 6．已知向量 a＝(1,0)，b＝(cosθ，sinθ)，θ∈ － π 2 ， π 2 ，则|a＋b|的取值范围是( ) A．[0， 2] B．[0,2] C．[1,2] D．[ 2，2] 答案：D 解析：|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝2＋2cosθ，因为θ∈ － π 2 ， π 2 ，所以 2＋2cosθ∈[2,4]，所 以|a＋b|的取值范围是[ 2，2]． 7．已知 cosα＝－ 4 5 ，且α∈ π 2 ，π ，则 tan π 4 －α ＝( ) A．－ 1 7 B．7 C.1 7 D．－7 答案：B 解析：∵α∈ π 2 ，π ，cosα＝－ 4 5 ，∴sinα＝3 5 ，tanα＝－ 3 4 ， tan π 4 －α ＝ 1－ － 3 4 1＋ － 3 4 ＝7. 8．函数 f(x)＝2sin |x－ π 2|的部分图象是( ) 答案：C 解析：∵f(x)＝2sin|x－ π 2|， ∴f(π－x)＝2sin|π－x－π 2|＝2sin| π 2 －x| ＝f(x)， ∴f(x)的图象关于直线 x＝π 2 对称．排除 A、B、D. 9．y＝2cos π 4 －2x 的单调减区间是( ) A. kπ＋π 8 ，kπ＋5 8 π (k∈Z) B. － 3 8 π＋kπ，π 8 ＋kπ (k∈Z) C. π 8 ＋2kπ，5 8 π＋2kπ (k∈Z) D. － 3 8 π＋2kπ，π 8 ＋2kπ (k∈Z) 答案：A 解析：y＝2cos π 4 －2x ＝2cos 2x－π 4 .由 2kπ≤2x－π 4 ≤π＋2kπ，(k∈Z) 得 π 8 ＋kπ≤x≤5 8 π＋kπ(k∈Z)时，y＝2cos 2x－π 4 单调递减．故选 A. 10．已知ω>0,0<φ<π，直线 x＝π 4 和 x＝5π 4 是函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称 轴，则φ的值为( ) A.π 4 B.π 3 C.π 2 D.3π 4 答案：A 解析：因为直线 x＝π 4 和 x＝5π 4 是函数图象中相邻的两条对称轴，所以 5π 4 － π 4 ＝ T 2 ，即 T 2 ＝π， T＝2π.又 T＝2π ω ＝2π，所以ω＝1，所以 f(x)＝sin(x＋φ)．因为直线 x＝π 4 是函数图象的对称轴， 所以 π 4 ＋φ＝π 2 ＋kπ，k∈Z，所以φ＝π 4 ＋kπ，k∈Z.因为 0<φ<π，所以φ＝π 4 ，检验知，此时直线 x＝5π 4 也为对称轴．故选 A. 11．若向量 a＝(2x－1,3－x)，b＝(1－x,2x－1)，则|a＋b|的最小值为( ) A. 2－1 B．2－ 2 C. 2 D．2 答案：C 解析：|a＋b|＝ 2x2＋2x＋2≥ 2. 12．若 0<α<π 2 ，－ π 2 <β<0，cos π 4 ＋α ＝ 1 3 ，cos π 4 － β 2 ＝ 3 3 ，则 cos α＋β 2 ＝( ) A. 3 3 B．－ 3 3 C.5 3 9 D．－ 6 9 答案：C 解析：∵α＋β 2 ＝ α＋π 4 － π 4 － β 2 ， ∴cos α＋β 2 ＝cos α＋π 4 － π 4 － β 2 ＝cos α＋π 4 cos π 4 － β 2 ＋sin α＋π 4 sin π 4 ＋ β 2 ＝ 1 3 × 3 3 ＋ 2 2 3 × 6 3 ＝ 3＋4 3 9 ＝ 5 3 9 . 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分．把答案填在题中横线上． 13．已知|a|＝4，a 与 b 的夹角为 π 6 ，则 a 在 b 方向上的投影为__________． 答案：2 3 解析：由投影公式计算：|a|cosπ 6 ＝2 3. 14．函数 y＝2sinxcosx－1，x∈R 的值域是______． 答案：[－2,0] 解析：y＝2sinxcosx－1＝sin2x－1，∵x∈R， ∴sin2x∈[－1,1]，∴y∈[－2,0]． 15．已知函数 f(x)＝3sin ωx－π 6 (ω>0)和 g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1 的图象的对称轴完全相 同．若 x∈ 0，π 2 ，则 f(x)的取值范围是________． 答案： － 3 2 ，3 解析：由 f(x)与 g(x)的图像的对称轴完全相同，易知：ω＝2，因为 x∈ 0，π 2 ，所以 2x － π 6 ∈ － π 6 ， 5π 6 ，则 f(x)的最小值为 3sin － π 6 ＝－ 3 2 ，最大值为 3sinπ 2 ＝3， 所以 f(x)的取值范围是 － 3 2 ，3 . 16．下列判断正确的是________．(填写所有正确判断序号) ①若 sinx＋siny＝1 3 ，则 siny－cos2x的最大值是 4 3 ②函数 y＝sin π 4 ＋2x 的单调增区间是 kπ－π 8 ，kπ＋3π 8 (k∈Z) ③函数 f(x)＝ 1＋sinx－cosx 1＋sinx＋cosx 是奇函数 ④函数 y＝tanx 2 － 1 sinx 的最小正周期是π 答案：①④ 解析：①siny－cos2x＝sin2x－sinx－2 3 ，∴sinx＝－1时，最大值为 4 3 . ②2kπ－π 2 ≤2x＋π 4 ≤2kπ＋π 2 ，∴kπ－3π 8 ≤x≤kπ＋π 8 . ③定义域不关于原点对称． ④y＝tanx 2 － 1 sinx ＝－ 1 tanx ，∴T＝π. 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)已知角α终边上一点 P(－4,3)，求 cos π 2 ＋α sin－π－α cos 11π 2 －α sin 9π 2 ＋α 的值． 解：∵tanα＝y x ＝－ 3 4 ∴ cos π 2 ＋α sin－π－α cos 11π 2 －α sin 9π 2 ＋α ＝ －sinα·sinα －sinα·cosα ＝tanα＝－ 3 4 . 18．(12分)已知向量 m＝(sinA，cosA)，n＝(1，－2)，且 m·n＝0. (1)求 tanA的值； (2)求函数 f(x)＝cos2x＋tanA·sinx(x∈R)的值域． 解：(1)∵m·n＝0， ∴sinA－2cosA＝0. ∴tanA＝sinA cosA ＝2. (2)f(x)＝cos2x＋tanAsinx＝cos2x＋2sinx ＝1－2sin2x＋2sinx＝－2 sinx－1 2 2＋ 3 2 . ∵－1≤sinx≤1 ∴sinx＝1 2 时，f(x)取最大值 3 2 ， sinx＝－1时，f(x)取最小值－3， ∴f(x)的值域为 －3，3 2 . 19．(12分)已知 a，b，c 是同一平面内的三个向量，其中 a＝(1,2)． (1)若|c|＝2 5，且 c∥a，求 c 的坐标； (2)若|b|＝ 5 2 ，且 a＋2b 与 2a－b 垂直，求 a 与 b 的夹角θ. 解：(1)设 c＝(x，y)． ∵|c|＝2 5，∴ x2＋y2＝2 5，即 x2＋y2＝20.① ∵c∥a，a＝(1,2) ∵2x－y＝0，即 y＝2x，② 联立①②得 x＝2 y＝4 或 x＝－2 y＝－4， ∴c＝(2,4)或(－2，－4)． (2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)， ∴(a＋2b)·(2a－b)＝0， ∴2|a|2＋3a·b－2|b|2＝0. ∵|a|2＝5，|b|2＝5 4 ，代入上式得 a·b＝－ 5 2 ， ∴cosθ＝ a·b |a|·|b| ＝ － 5 2 5× 5 2 ＝－1. 又∵θ∈[0，π]， ∴θ＝π. 20．(12分)已知函数 f(x)＝cos2 x－π 6 －sin2x. (1)求 f π 12 的值； (2)若对于任意的 x∈ 0，π 2 ，都有 f(x)≤c，求实数 c的取值范围． 解：(1)f π 12 ＝cos2 － π 12 －sin2 π 12 ＝cosπ 6 ＝ 3 2 . (2)f(x)＝1 2 1＋cos 2x－π 3 － 1 2 (1－cos2x) ＝ 1 2 cos 2x－π 3 ＋cos2x ＝ 1 2 3 2 sin2x＋3 2 cos2x ＝ 3 2 sin 2x＋π 3 . 因为 x∈ 0，π 2 ，所以 2x＋π 3 ∈ π 3 ， 4π 3 ， 所以当 2x＋π 3 ＝ π 2 ，即 x＝ π 12 时，f(x)取得最大值 3 2 . 所以对任意 x∈ 0，π 2 ，f(x)≤c等价于 3 2 ≤c. 故当对任意 x∈ 0，π 2 ，f(x)≤c时，c的取值范围是 3 2 ，＋∞ . 21．(12分)已知 sinα＋cosα＝3 5 5 ，α∈ 0，π 4 ，sin β－π 4 ＝ 3 5 ，β∈ π 4 ， π 2 . (1)求 sin2α和 tan2α的值； (2)求 cos(α＋2β)的值． 解：(1)由题意得(sinα＋cosα)2＝9 5 ，即 1＋sin2α＝9 5 ，∴sin2α＝4 5 . 又 2α∈ 0，π 2 ，∴cos2α＝ 1－sin22α＝3 5 ， ∴tan2α＝sin2α cos2α ＝ 4 3 . (2)∵β∈ π 4 ， π 2 ，β－π 4 ∈ 0，π 4 ， ∴cos β－π 4 ＝ 4 5 ， 于是 sin2 β－π 4 ＝2sin β－π 4 cos β－π 4 ＝ 24 25 . 又 sin2 β－π 4 ＝－cos2β，∴cos2β＝－ 24 25 . 又 2β∈ π 2 ，π ，∴sin2β＝ 7 25 ，又 cos2α＝1＋cos2α 2 ＝ 4 5 ， ∴cosα＝ 2 5 ，∴sinα＝ 1 5 α∈ 0，π 4 . ∴cos(α＋2β)＝cosαcos2β－sinαsin2β＝2 5 5 × － 24 25 － 5 5 × 7 25 ＝－ 11 5 25 . 22．(12分)如图，点 P 0，A 2 是函数 y＝Asin 2π 3 x＋φ (其中 A>0，φ∈[0，π))的图象与 y 轴的交点，点 Q，点 R是它与 x轴的两个交点． (1)求φ的值； (2)若 PQ⊥PR，求 A的值． 解：(1)∵函数经过点 P 0，A 2 ，∴sinφ＝1 2 ， 又∵φ∈[0，π)，且点 P在递增区间上，∴φ＝π 6 . (2)由(1)可知 y＝Asin 2π 3 ＋ π 6 . 令 y＝0，得 sin 2π 3 x＋π 6 ＝0， ∴ 2π 3 x＋π 6 ＝kπ，(k∈Z)，∴可得 x＝－ 1 4 ， 5 4 ， ∴Q － 1 4 ，0 ，R 5 4 ，0 . 又∵P 0，A 2 ，∴PQ→＝ － 1 4 ，－ A 2 ，PR→＝ 5 4 ，－ A 2 . ∵PQ⊥PR，∴PQ→ ·PR→＝－ 5 16 ＋ 1 4 A2＝0，解得 A＝ 5 2 .