2020_2021学年新教材高中数学第6章幂函数指数函数和对数函数6

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文档介绍

2020_2021学年新教材高中数学第6章幂函数指数函数和对数函数6

‎6.2 指数函数 第1课时 指数函数的概念、图象与性质 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1.理解指数函数的概念.(重点)‎ ‎2.掌握指数函数的图象和性质.(重点)‎ ‎3.能够利用指数函数的图象和性质解题.(重点、难点)‎ ‎4.掌握函数图象的平移变换和对称变换.‎ 通过学习本节内容,培养学生的逻辑推理和直观想象的数学核心素养.‎ 某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂1次(1个分裂成2个),那么经过3 h,这种细菌由1个可分裂为几个?经过x h,这种细菌由1个可分裂为几个?‎ ‎1.指数函数的概念 一般地,函数y=ax(a>0,a≠1)叫作指数函数,它的定义域是R.‎ ‎2.指数函数的图象和性质 a>1‎ ‎00时,y>1;x<0时,00时,01‎ 单调性 在(-∞,+∞)上是增函数 在(-∞,+∞)上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 ‎1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)函数y=3·2x是指数函数. (  )‎ ‎(2)指数函数的图象与x轴永不相交. (  )‎ - 9 -‎ ‎(3)函数y=2-x在R上为增函数. (  )‎ ‎(4)当a>1时,对于任意x∈R总有ax>1. (  )‎ ‎[提示] (1)y=3·2x的系数为3,故y=3·2x不是指数函数.‎ ‎(2)指数函数的值域为(0,+∞),故它与x轴不相交.‎ ‎(3)y=2-x=是减函数.‎ ‎(4)a>1时,若x<0,则ax<1.‎ ‎[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×‎ ‎2.下列函数中,是指数函数的为    .(填序号)‎ ‎(1)y=2x+2;(2)y=(-2)x;(3)y=-2x;(4)y=πx;‎ ‎(5)y=x2;(6)y=(a-1)x(a>1,且a≠2).‎ ‎(4)(6) [只有(4)(6)是指数函数,因它们满足指数函数的定义;(1)中解析式可变形为y=2x·22=4·2x,不满足指数函数的形式;(2)中底数为负,所以不是;(3)中解析式中多一负号,所以不是;(5)中指数为常数,所以不是;(6)中令b=a-1,则y=bx,b>0且b≠1,所以是.]‎ ‎3.若函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象过点(2,9),则f(x)=    .‎ ‎3x [由于a2=9,∴a=±3.∵a>0,∴a=3,‎ ‎∴f(x)=3x.]‎ 指数函数的概念 ‎【例1】 (1)下列函数中,是指数函数的个数是(  )‎ ‎①y=(-8)x;②y=2;③y=ax;④y=2·3x.‎ A.1 B.2 ‎ C.3 D.0‎ ‎(2)已知函数f(x)为指数函数,且f=,则f(-2)=    .‎ ‎(1)D (2) [(1)①中底数-8<0,所以不是指数函数;‎ ‎②中指数不是自变量x,而是x的函数,‎ 所以不是指数函数;‎ ‎③中底数a,只有规定a>0且a≠1时,才是指数函数;‎ ‎④中3x前的系数是2,而不是1,所以不是指数函数,故选D.‎ - 9 -‎ ‎(2)设f(x)=ax(a>0且a≠1),由f=得a=,所以a=3,又f(-2)=a-2,所以f(-2)=3-2=.]‎ 指数函数具有以下特征:①底数a为大于0且不等于1的常数,不含有自变量x;②指数位置是自变量x,且x的系数是1;③ax的系数是1.‎ ‎1.若指数函数f(x)的图象过点(3,8),则f(x)的解析式为(  )‎ A.f(x)=x3 B.f(x)=2x C.f(x)= D.f(x)=x B [设f(x)=ax(a>0且a≠1),则由f(3)=8得 a3=8,∴a=2,∴f(x)=2x,故选B.]‎ ‎2.已知y=(‎2a-1)x是指数函数,则a的取值范围是    .‎  [要使y=(‎2a-1)x是指数函数,则‎2a-1>0且‎2a-1≠1,‎ ‎∴a>且a≠1.]‎ 利用单调性比较大小 ‎【例2】 比较下列各组数的大小:‎ ‎(1)与;(2)与1;(3)0.6-2与;(4)与3-0.2;(5)‎0.20.6‎与0.30.4;‎ ‎(6) , ,.‎ ‎[思路点拨] 观察底数是否相同(或能化成底数相同),若相同用单调性,否则结合图象或中间值来比较大小.‎ ‎[解] (1)∵0<<1,y=在定义域R内是减函数,‎ ‎-1.8>-2.6,‎ ‎∴<.‎ - 9 -‎ 在进行指数式的大小比较时,可以归纳为以下三类:‎ (1)底数同、指数不同:利用指数函数的单调性解决.‎ (2)底数不同、指数同:利用幂函数的单调性解决.‎ (3)底数不同、指数也不同:采用介值法.以其中一个的底为底,以另一个的指数为指数.比如ac与bd,可取ad,前者利用单调性,后者利用图象.‎ ‎3.比较下列各组数的大小:‎ ‎(1)1.9-π与1.9-3;‎ ‎(2)0.60.4与0.40.6;‎ - 9 -‎ ‎(3),2,,.‎ ‎[解] (1)由于指数函数y=1.9x在R上单调递增,而-π<-3,‎ ‎∴1.9-π<1.9-3.‎ ‎(2)∵y=0.6x在R上递减,‎ ‎∴0.60.4>0.60.6.‎ 又在y轴右侧,函数y=0.6x的图象在y=0.4x图象的上方,‎ ‎∴0.60.6>0.40.6,∴0.60.4>‎0.40.6‎.‎ ‎(3)∵<0,>1,2>1,0<<1,‎ 又在y轴右侧,函数y=的图象在y=4x的下方,‎ ‎∴<4=2,‎ ‎∴<<<2.‎ 利用单调性解指数不等式 ‎【例3】 (1)已知4≥2x+1>2,求x的取值范围;‎ ‎(2)已知0.3x>,求x+y的符号;‎ ‎(3)解不等式ax>3(a>0且a≠1).‎ ‎[思路点拨] 化为同底,利用指数函数的单调性求解.‎ ‎[解] (1)∵4=22,∴原式化为22≥2x+1>2.‎ ‎∵y=2x是单调递增的,∴2≥x+1>,‎ ‎∴-==0.3-y.‎ ‎∵y=0.3x是减函数,∴x<-y,∴x+y<0.‎ ‎(3)由ax>3得ax>a 当a>1时,x>loga3‎ 当01时,原不等式的解集为(loga3,+∞),当0ay的不等式,借助y=ax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况讨论.‎ ‎2.形如ax>b的不等式,注意将b化为以a为底的指数幂的形式,再借助y=ax的单调性求解.‎ ‎4.解关于x的不等式a3x-2≤ax+2,(a>0且a≠1).‎ ‎[解] ①当a>1时,3x-2≤x+2,∴x≤2.‎ ‎②当01时,不等式的解集为{x|x≤2},‎ 当00)的图象经过的定点是什么?‎ ‎[提示] ‎ 结论:y=2x-1,y=3x-1,y=-1都过定点(0,0),且y=ax-1也总过定点(0,0).y=2x+1-1,y=3x+1-1,y=-1都过定点(-1,0),且y=ax+1-1也总过定点(-1,0).综上得y=ax+m+n的图象经过定点(-m,1+n).‎ ‎3.除去用图象变换的方法外,还有无其它方式寻找定点.如y=‎4a2x-4+3是否过定点?‎ ‎[提示] 还可以整体代换.‎ 将y=‎4a2x-4+3变形为=a2x-4.‎ 令⇒即y=‎4a2x-4+3过定点(2,7).‎ ‎【例4】 (1)函数y=3-x的图象是    .(填序号)‎ ‎(2)已知0<a<1,b<-1,则函数y=ax+b的图象必定不经过第    象限.‎ ‎(3)函数f(x)=2ax+1-3(a>0且a≠1)的图象恒过定点    .‎ ‎[思路点拨] 题(1)中可将y=3-x转化为y=.‎ 题(2)中,函数y=ax+b的图象过点(0,1+b),‎ 因为b<-1,所以点(0,1+b)在y轴负半轴上.‎ 题(3)应该根据指数函数经过定点求解.‎ ‎(1)② (2)一 (3)(-1,-1) [(1)y=3-x=为单调递减的指数函数,其图象为②.‎ ‎(2)函数y=ax(0<a<1)在R上单调递减,图象过定点(0,1),所以函数y=ax+b的图象在R上单调递减,且过点(0,1+b).因为b<-1,所以点(0,1+b)在y - 9 -‎ 轴负半轴上,故图象不经过第一象限.‎ ‎(3)令x+1=0,得x=-1,此时y=‎2a0-3=-1,故图象恒过定点(-1,-1).]‎ ‎1.处理函数图象问题的策略 ‎(1)抓住特殊点:指数函数的图象过定点(0,1).‎ ‎(2)巧用图象变换:函数图象的平移变换(左右平移、上下平移).‎ ‎(3)利用函数的性质:奇偶性与单调性.‎ ‎2.指数型函数图象过定点问题的处理方法 求指数型函数图象所过的定点时,只要令指数为0,求出对应的y的值,即可得函数图象所过的定点.‎ ‎5.(一题两空)函数y=f(x)=ax+2-(a>1)的图象必过定点  ,其图象必不过第   象限.‎  四 [y=ax(a>1)在R上单调递增,必过(0,1)点,故求f(x)所过的定点时可以令⇒即定点坐标为.结合图象(图略)可知,f(x)的图象必不在第四象限.]‎ ‎1.判断一个函数是不是指数函数,关键是看解析式是否符合y=ax(a>0且a≠1)这一结构形式,即ax的系数是1,指数是x且系数为1.‎ ‎2.指数函数y=ax(a>0且a≠1)的性质分底数a>1,0ay的不等式,可借助y=ax的单调性求解.如果a的值不确定,需分01两种情况进行讨论.‎ ‎(2)形如ax>b的不等式,注意将b化为以a为底的指数幂的形式,即b=a,再借助y=ax的单调性求解.‎ ‎5.在y轴右侧,底数a越大,图象越靠近y轴.‎ - 9 -‎ ‎1.下列所给函数中为指数函数的是(  )‎ ‎①y=4x;②y=x4;③y=-4x;④y=(-4)x;⑤y=4x2;⑥y=x2;⑦y=(‎2a-1)x.‎ A.①③ B.②④⑥‎ C.①⑦ D.①④⑦‎ C [形如y=ax(a>0且a≠1)的函数为指数函数,故①⑦是指数函数.]‎ ‎2.指数函数y=(2-a)x在定义域内是减函数,则a的取值范围是    .‎ ‎(1,2) [由题意可知,0<2-a<1,即10且a≠1).‎ ‎[解] (1)由指数函数性质得,1.70.2>1.70=1,0.92.1<0.90=1,‎ 所以1.70.2>0.92.1.‎ ‎(2)当a>1时,y=ax在R上是增函数,故a1.1>a0.3;‎ 当0
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