高中数学讲义微专题57 放缩法证明数列不等式

高中数学讲义微专题57 放缩法证明数列不等式

微专题 57 放缩法证明数列不等式 一、基础知识： 在前面的章节中，也介绍了有关数列不等式的内容，在有些数列的题目中，要根据不等 式的性质通过放缩，将问题化归为我们熟悉的内容进行求解。本节通过一些例子来介绍利用 放缩法证明不等式的技巧 1、放缩法证明数列不等式的理论依据——不等式的性质： （1）传递性：若 ，则 （此性质为放缩法的基础，即若要证明 ，但无 法直接证明，则可寻找一个中间量 ，使得 ，从而将问题转化为只需证明 即可 ） （2）若 ，则 ，此性质可推广到多项求和： 若 ，则: （3）若需要用到乘法，则对应性质为：若 ，则 ，此性质也可推 广到多项连乘，但要求涉及的不等式两侧均为正数 注：这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同 2、放缩的技巧与方法： （1）常见的数列求和方法和通项公式特点： ① 等差数列求和公式： ， （关于 的一次函数或常值函数） ② 等比数列求和公式： ， （关于 的指数类函数） ③ 错位相减：通项公式为“等差 等比”的形式 ④ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消， 进而在求和后式子中仅剩有限项 （2）与求和相关的不等式的放缩技巧： ① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手 ② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与 所证的不等号同方向） ③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可 裂项相消的数列进行靠拢。 ④ 若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微调： 看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩。从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式； ,a b b c  a c a c b a b b c ,a b c d  a c b d        1 21 , 2 , , na f a f a f n        1 2 1 2na a a f f f n        0, 0a b c d    ac bd 1 2 n n a aS n  na kn m  n    1 1 11 n n a q S qq    n na k q  n  第二个方法就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式再进行尝试。 （3）放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧： ① 裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视 为同一数列的相邻两项（或等距离间隔项） ② 等比数列：所面对的问题通常为“ 常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要满足 ，如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手，，常数可 视为 的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项公式， 再与原通项公式进行比较，看不等号的方向是否符合条件即可。例如常数 ，即可猜 想该等比数列的首项为 ，公比为 ，即通项公式为 。 注：此方法会存在风险，所猜出的等比数列未必能达到放缩效果，所以是否选择利用等比数 列进行放缩，受数列通项公式的结构影响 （4）与数列中的项相关的不等式问题： ① 此类问题往往从递推公式入手，若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形 ②在有些关于项的不等式证明中，可向求和问题进行划归，即将递推公式放缩变形成为可“累 加”或“累乘”的形式，即 或 （累乘时要求不等式两侧均为正 数），然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为 ，另一侧为求和的结果，进而完成证明 3、常见的放缩变形： （1） ，其中 ：可称 为“进可攻，退可守”，可依照 所证不等式不等号的方向进行选择。 注：对于 ，可联想到平方差公式，从而在分母添加一个常数，即可放缩为符合裂项相消特 征的数列，例如： ，这种放缩的尺度要小于 （1）中的式子。此外还可以构造放缩程度更小的，如： nS   0,1q  1 1 a q 1 2 2= 13 1 4 1 2 1 4 12 4 n     1n na a f n    1n n a f na   na    2 1 1 1 1 1n n n n n   2,n n N  2 1 n 2 1 n   2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1n n n n n n            （2） ，从而有： 注：对于 还可放缩为： （3）分子分母同加常数： 此结论容易记混，通常在解题时，这种方法作为一种思考的方向，到了具体问题时不妨先构 造出形式再验证不等关系。 （4） 可推广为： 二、典型例题： 例 1：已知数列 的前 项和为 ，若 ，且 （1）求证：数列 是等差数列，并求出 的通项公式 （2）设 ，数列 的前 项和为 ，求证： 解：（1）   2 2 2 1 1 4 1 1 1 1 1 4 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 4 n n n n n nn            1 2 n n n      2 1 22 1 2 1 1 1 n n n n n n n n n             1 n 1 2, 2,n n n n N n         0, 0 , 0, 0b b m b b mb a m a b ma a m a a m                      1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 12 1 n n n n n n n n n nn            1 1 1 2,2 1 2 1n n n n N                  1 2 11 1 1 1 11 n n n n n n n n n nn k k k k k k k k k k kk            1 1 1 2, 2, ,1 1n n n k k n Nk k         na n nS   14 2 1 1n nS n a    1 1a   na  na 1 n n n b a S   nb n nT 3 2nT    14 2 1 1n nS n a       14 2 3 1 2n nS n a n        14 2 1 2 3n n na n a n a      2n  即 即 ，由 令 可得： ，验证 符合上式 （2） 由（1）得： 可知当 时， 不等式得证 例 2：设数列 满足： ，设 为数列 的前 项和，已知 ， （1）求数列 的通项公式 （2）求证：对任意的 且 ，有 解：（1） 为公比是 的等比数列     1 1 2 12 1 2 1 2 1 n n n n a nn a n a a n         1 3 1 2 2 2 1 2 3 5, , ,2 3 2 5 3 n n n n a n a n a a n a n a           1 3 1 2 2 2 1 2 3 5 2 3 2 5 3 n n n n a a a n n a a a n n                 2 2 1 23 na n na   2 2 1 3n na a    14 2 1 1n nS n a    1n  1 2 24 1 3S a a     2 1 2na n n    1 1a  2 1na n   2 nS n    2 1 1 2 12 1nb n nn n    1 1b  2n        1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1nb n n n n n n n n            1 2 1 1 1 1 1 1 112 2 2 3 1n nT b b b b n n                                 1 1 31 12 2n         na 1 11, 3 ,n na a a n N     nS  nb n 1 0b  1 12 ,n nb b S S n N        ,n na b n N  2n  2 2 3 3 1 1 1 3 2n na b a b a b      1 3n na a   na 3 1 1 1 3 3n n na a      在 中，令 ， 是公比为 的等比数列 （2）证明： 例 3：已知正项数列 的前 项和为 ，且 （1）求证：数列 是等差数列 （2）记数列 ，证明： 解：（1） 为等差数列 （2）思路：先利用（1）可求出 的公式进而求出 ，则 ，考虑进行放 缩求和，结合不等号的方向向裂项相消的形式进行放缩。 解：令 代入 可得：  nb 1n  1 1 1 1 12 1b b S S b     2 1n nb S   1 12 1n nb S    1 12 2 2 2n n n n nb b b n b b        nb 2 1 1 1 2 2n n nb b      1 1 2 1 1 1 3 2 3n n n n na b      2 2 3 3 1 1 1 n na b a b a b     1 1 2 11 1 31 1 3 1 31 113 3 2 3 21 3 n n n                               na n nS 1 2 ,n n n a S n Na     2 nS 3 1 2 1 1 12 ,n n n n b S T b b b     1 3 11 21 nT n n       1 1 1 12 2 2n n n n n n n n a S S S S na S S         1 1 1 n n n n S SS S      2 2 1 1n nS S     2 nS nS 2nb n n 1 1 2nb n n  1n  1 2n n n a Sa  即 由 为等差数列可得： 考虑先证 时 时， 再证 综上所述： 小炼有话说：本题在证明中用到一个常见的根式放缩： 例 4：已知数列 满足 1 1 1 1 1 2 1a a aa    1 1S   2 nS  2 2 1 1nS S n n    nS n  2nb n n  1 1 2nb n n   3 1 2nT n        1 1 1 1 1 1 1 2 2 111n n n n n nb nn n n nn nn n n              2n  1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 11 12 22 2 3 1nT b n n n n                            1n  1 1 3 12 2T    3 1 2nT n    11 1nT n        1 1 1 1 1 1 1 2 111n n n n n b nn n n nn nn n n             1 1 1 1 1 11 1 2 2 3 1 1nT n n n                          1 3 11 21 nT n n      1 1 11 1 1 2 1 n n n n n n n n n              na 2 1 1 12, 2 1 ,n na a a n Nn         （1）求证：数列 是等比数列，并求出数列 的通项公式 （2）设 ，求证： 解：（1） 是公比为 的等比数列 （2）思路： ，无法直接求和，所以考虑放缩成为可求和的通项公式（不等号： ），若要放缩为裂项相消的形式，那么需要构造出“顺序同构”的特点。观察分母中有 ， 故分子分母通乘以 ，再进行放缩调整为裂项相消形式。 解： 而 所以 小炼有话说：（1）本题先确定放缩的类型，向裂项相消放缩，从而按“依序同构”的目标进 行构造，在构造的过程中注意不等号的方向要与所证一致。 （2）在求和过程中需要若干项不动，其余进行放缩，从而对求和的项数会有所要求（比如本 2 na n      na n n nc a 1 2 17 24nc c c     22 1 2 112 1 2n n n na a an n          1 2 22 1 n na a nn     2 na n     2 11 2 2 2 21 n nna a n        2 2n na n   1 2n n n nc a n    n  1n    1 1 2 1 2n n n n n nc a n n n            1 2 11 1 1 1 2 2 1 2 1 2n n n n n n n n n n n n n                1 1 1 1 1 21 2 1 2 1 2 2n n n n n n nc nn n n n n n           1 2 1 2 3 3 4 4 5 1 1 1 1 1 1 1 3 2 4 2 4 2 5 2 1 2 2n n nc c c c c c n n                        1 1 1 1 1 17 1 17 2 8 24 24 2 24 2 24n nn n          3n  0nc  1 1 2 1 2 3 16 17 24 24c c c c c c        题中 才会有放缩的情况），对于较少项数要进行验证。 例：已知数列 的前 项和 ，且 （1）求 （2）求数列 的前 项和 （3）设数列 的前 项和 ，且满足 ，求证： 解：（1）在 中，令 可得： （2） ① ② ① ②可得： 是公差为 6 的等差数列 （3）由（2）可得： 3n   na n  3 1 ,n nS na n n n N     3 17a  1a  na n nS  nb n nT n n nb S 2 3 23nT n   3 1 ,n nS na n n n N     2, 3n n  1 2 2 2 1 1 2 3 3 1 2 2 6 6 3 18 16 a a a a a a a a a a a             1 25, 11a a    3 1n nS na n n       1 11 3 1 2n nS n a n n                1 11 6 1 1 1 6 1n n n n na na n a n n a n a n             2n  1 6n na a     na  1 6 1 6 1na a n n            23 1 6 1 3 1 3 2n nS na n n n n n n n n          2 1 3 2 3 2n nb n n n     1 2 2 3 3 2 3 123 2 2 3 2 3 2 3 1nb n n n n n n                   1 2 2 5 2 8 5 3 2 3 13n nT b b b n n                2 23 2 2 3 23 3n n     例 6：已知数列 满足 （1）试判断数列 是否为等比数列，并说明理由 （2）设 ，数列 的前 项和为 ，求证：对任意的 解：（1） 为公比是 的等比数列 （2）思路：首先由（1）可求出 的通项公式 ，对于 可发现 为奇数时， ， 为偶数时， ，结合 通项公 式可将其写成 ，从而求出 ，无法直接求和，所以考虑 对通项公式进行放缩，可联想到等比数列，进而 ，求和后与所证不 等式右端常数比较后再进行调整（需前两项不动）即可。 解： ，由（1）可得： 而  na    1 1 1 1 , 2,4 1 2 n n n n aa a n n N a          1 1 n na        2 1sin 2n n nb a   nb n nT 4, 7nn N T       11 1 11 1 21 21 1 2 n nnn n n n n nn aaa a a aa                       1 1 1 1 2 1 21 2 1 1 2 1n n n n n n n na a a a                       1 1 n na        2  na    1 1 3 2 1n n na        2 1sin 2 n  n  2 1sin 12 n   n  2 1sin 12 n     na     12 1sin 12 nn     1 1 3 2 1n nc    1 1 1 1 3 2 1 3 2n n nc       1 1 1 1 3a           1 1 1 1 1 11 1 2 3 2n n n na a                  1 1 3 2 1n n na           12 1sin 12 nn             1 1 1 2 1 1 1sin 2 3 2 13 2 1 n n n n n n nb a                1 1 1 1 3 2 1 3 2n n nb       当 时， 因为 为正项数列 例 7：已知数列 满足： ，且 （1）求数列 的通项公式 （2）证明：对于一切正整数 ，均有 解：（1） 设 即 为公比是 的等比数列 而 （2）思路：所证不等式可化简为： ，由于是连乘形式，所以考虑 放缩为分子分母可相消的特点，观察分母的形式为 ，所以结合不等号方向，将分子向 该形式转化： ，再根据右边的值对左边放缩的程度进行 调整即可。 3n   1 2 1 2 2 3 1 1 1 1 3 2 3 2 3 2n n nT b b b b b              21 1112 21 1 1 1 1 47 4 14 7 4 7 6 84 71 2 n                 nb 1 2 3 nT T T T     4, 7nn N T    na 1 3 2a   1 1 3 2,2 1 n n n naa n n Na n        na n 1 2 2 !na a a n     1 1 3 2 1 n n n naa a n      1 1 1 1 1 2 1 2 11 2 1 3 3 3 3 n n n n n n n n a n a nn n n a na a a a a                 n n nb a 1 2 1 3 3n nb b    1 11 13n nb b      1nb  1 3   1 1 11 1 3 n nb b         1 1 1 2 3b a  11 3 n nb       3 3 1 n n n n n na b     1 2 1 2 3 3 3 23 1 3 1 3 1 n n       3 1n   1 3 3 2 3 1 3 1 3 3 3 3 1 n n n n n n       2n  证明：所证不等式为： 等价于证明： 设 即不等式得证 小炼有话说：（1）对于一侧是连乘形式的表达式，在放缩时可考虑通过分子分母相消达到化 简式子的目的。与裂项相消相似按照“依序同构”的原则构造。 （2）本题中用到了分式放缩的常用方法：通过分子分母加上相同的数达到放缩目的，但要注 意不等号的方向（建议验证），常用的放缩公式为： （分子小与 分母）， （分子大于分母） 例 8：已知函数 （1）若函数 在 处切线斜率为 ， ，已知 ， 求证： （2）在（1）的条件下，求证： 解：（1） 1 2 1 2 3 3 3! 2 !3 1 3 1 3 1 n nn n        1 2 1 2 3 3 3 23 1 3 1 3 1 n n      3 3 1 n n nc      1 3 3 2 3 1 23 1 3 3 3 3 1 n n n n n n nc n               3 4 1 2 1 2 2 3 1 3 1 3 1 3 1 3 3 1 3 3 1 3 3 1 n n nc c c c c                   2 2 3 9 3 1 3 9 3 243 2 32 8 8 3 2 8 8 3 128 n n n n n            1 1 2 3 3 9 272, 22 2 8 16c c c       0, 0 b b ca b c a a c       0, 0 a a ca b c b b c          2ln , 1 0bf x ax x fx     f x 1x  0 ' 2 1 1 11n n a f na n        1 4a  2 2na n  1 2 1 1 1 2 1 1 1 5na a a       ' 2 2bf x a x x      ' 1 0 0 1 2 0 11 0 f a b a a b bf                  2 2 1 1 1 2 1 1n n na a n a n n          整理后可得： 下面用数学归纳法证明： 当 时， 成立 假设 成立，则 时 时，不等式成立 （2） 由（1）可知 例 9 ： 已 知 数 列 的 各 项 均 为 正 值 ， 对 ， ，且  2 2 1 1n na a n n     2 1 2 1n n na a na    2 2na n  1n  1 4 2 2a n    n k k N   1n k   1 2 1k k ka a a k    2 2ka k     1 2 2 2 1 4 5 2 1 2ka k k k          1n k   , 2 2nn N a n     2 1 2 1 2 1n n n n na a na a a n       2 2na n  1 2 1n na a    1 1 1 1 11 2 1 1 2 1n n n n a a a a          2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1n n n na a a a              1 2 1 1 1 1 1 1 111 1 1 1 2 2 n na a a a                      1 11 21 2 1 2111 5 2 51 2 n n a                        na n N      2 1 21 4 1 , log 1n n n n na a a b a      1 1a  （1）求数列 的通项公式 （2）当 且 时，证明对 ，都有 成立 解：（1） 由 可得： 为公比是 的等比数列 （2）思路：所证不等式为： 左边含有两个变量，考虑通过 消元简化所证不等式。设 ，则只需证明： ，易知 为 递增数列。所以只需证明 ，即 ，左边共 项，结合 的特 点可考虑将 项分为 3 组： ，再求和即证不等式 解：所证不等式 由（1）可得： 只需证： 设 ,n na b 7k  k N  n N   1 2 1 1 1 1 1 3 2n n n nkb b b b         2 1 1 4 1n n na a a     22 2 2 1 14 4 1 2 1n n n n na a a a a        0na  1 2 1n na a    1 1 2 1n na a     1na  2   1 11 1 2 2n n na a       2 1n na   nb n 1 1 1 1 3 1 2 1 2n n n nk       1 1 1 1 1kT n n nk      min 3 2kT  kT 8k  1 1 1 3 1 8 1 2n n n     7n 3 2 7n 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 n n n n n n n n n           个 个 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 4 1 4 4 2 n n n n n n n          个 个 4 4 1 1 1 1 1 1 4 4 1 8 1 8 8 2 n n n n n n n          个 个 1 2 1 1 1 1 1 3 2n n n nkb b b b        1 1 1 1 3 1 2 1 2n n n nk       min 1 1 1 1 3 1 2 1 2n n n nk           1 1 1 1 1kT n n nk     1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 1 1k kT T n n n k n n nk                        为递增数列 只需证 而 例 10：数列 是公差不为零的等差数列， ，数列 满足： （1）当 时，求证： （2）当 且 时， 为等比数列 ① 求 ② 当 取最小值时，求证： 解：（1）由 可得： 两式相除可得： （ 2 ） ① 思 路 ： 本 题 的 突 破 口 在 于 既 在 等 差 数 列 中 ， 又 在 等 比 数 列 中，从而在两个不同风格的数列中 均能够用 进行表示，然后便 1 1 1 01 1nk nk nk n        kT 8k    8min 1 1 1 1 8 1kT T n n n        1 1 1 3 1 8 1 2n n n     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 8 1 2 1 2 4 1 4 8 1n n n n n n n n n                                   1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 n n n n n n n n n           个 个 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 4 1 4 4 2 n n n n n n n          个 个 4 4 1 1 1 1 1 1 4 4 1 8 1 8 8 2 n n n n n n n          个 个 1 1 1 1 1 1 3 1 8 1 2 2 2 2n n n          na 5 6a   nb 1 1 1 23, 1n nb b b b b   2n  1 1 1 n n n b bb    3 1a  3a N  1 23 5, , , , , ,nk k ka a a a a  3a 3a 1 21 2 3 1 1 1 1 1 1 14 1 1 1nn k k kb b b b a a a                  1 1 2 1n nb b b b   1 1 21n nb b b b     1 2 11 2,n nb b b b n n N       1 1 1 n n n b bb    nka  na 1 23 5, , , , , ,nk k ka a a a a  nka 3a 得到 与 的关系式，抓住 的特点即可求出 的值 为等差数列 另一方面， 为等比数列 可视为以 为首项， 为公比的等比数列前 项和 能够被 6 整除 且 或 经检验： 或 均符合题意 ② 思路：所证不等式两侧均为数列求和的形式，所以先观察两侧是否有能直接求和的式子， 从而化简一侧的表达式，由（1）和（2）①可知， ， ，所以对于右 侧， 显然无法直接找到求和方法。而对于 ，虽然没有通项公式，但可 nk 3a 3,nk a N  3a  na 5 3 36 2 2 a a ad         3 3 3 63 3 2nk n n aa a k d a k         1 23 5, , , , , ,nk k ka a a a a   5 3 3 6aq a a   1 1 3 3 3 6 n n n ka a q a a              1 3 3 3 3 6 63 2 n n aa a ka           1 1 1 3 3 3 3 3 3 3 3 6 6 61 2 1 1 3 3 3 26 66 12 n n n n a aa a a k a a a                                                  1 3 3 6 1 6 1 n a a            1 3 6 a  1n  3 3 3 3 6 6 6 63 2 1 5 2 n n nk a a a a                                   nk N  3 3 6 6,2 n n N Na a               3a N  3a 3 1a  3 5 6a a  3 2a  3 3a  3 2a  3 3a  1 1 1 n n n b bb    12 3n n ka   1 1 1 1 2 3 1n n ka    1 nb 对 向可求和的方式进行变形，得到 ，从而可想到利 用 裂 项 相 消 的 方 式 进 行 求 和 ， 得 到 。 对 于 右 侧 只能考虑进行放缩，针对 的特点可向等比 数 列 靠 拢 ， 结 合 不 等 号 方 向 可 得 ： 。 所 以 。 于 是 所 证 的 不 等 式 就 变 为 只 需 证 明 ，即证明 ，考虑对 进行放缩，抓住 这个特点，由已知可得 为递增数列，则 ，但右侧为 ，无法直接放缩 证 明 ， 所 以 要 对 的 放 缩 进 行 调 整 ， 计 算 出 可 得 ， 进 而 ，但此时只能证明 时，不等式成立。对于 有限的项，逐次验证即可。 由（1）可得： 1 1 1 n n n b bb      1 1 1 1 21 1n n n nb b b      1 2 3 1 2 1 1 1 1 2 1 3n nb b b b b b b       1 2 1 1 1 1 1 1nk k ka a a     1 1 1 1 2 3 1n n ka    1 1 1 1 1 1 2 3 1 3n n n ka      1 2 1 1 1 1 111 1 1 6 3n n k k ka a a                 1 1 2 2 1 2 2 3 3 3n nb b b     1 1 2 1 2 3n nb b b   1 2 1 nb b b 1 3b   nb 3nb  1 2 2 1 3 3 3n n   1 2 1 nb b b 1 2 3, ,b b b 4 1 2 3 1 2 3b b b  4 3 1 1 2 1 2 3 4 1 1 1 2 1 2 3 3 3n n n nb b b b b b b b         4n  1,2,3n  1 1 1 n n n b bb       1 1 1 11 1 1 1n n n n n n b b b b b b        1 1 1 1 1 1n n nb b b      1 1 1 1 1 1n n nb b b      2n  1 2 3 1 1 1 1 nb b b b     当 时， 只需证明： 即可 即证明： 由 可知 为递增数列 由 可得： 1 2 3 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1n nb b b b b b b                              1 2 1 1 1 1 1 1nb b b      1 1 1 23, 1n nb b b b b    1 1 21n nb b b b    1 2 3 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 3n n nb b b b b b b b b b b b            3 2a  12 3n n ka   1 1 1 1 1 1 2 3 1 3n n n ka       1 2 2 3 1 1 119 31 1 1 1 1 1 11 1 1 3 3 3 1 3 n n n k k ka a a                            1 116 3 n         1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 24 4 1 11 1 1 6 3 3 3 3 3n n n n k k ka a a                                  1 1 2 2 1 2 2 33 3 3n n nb b b      1 1 2 1 2 3n nb b b   1 1 1 23, 1n nb b b b b    nb  1 3 2nb b n    1 1 1 23, 1n nb b b b b   2 1 3 1 21 4, 1 13b b b b b      4 1 2 3 3 813 4 13 156 2 2b b b       时， 时， 当 时，可知 成立 得证 时， 成立 当 时， 当 时， ， 综上所述： 恒成立 4 1 2 3 1 2 3b b b  3n  3nb  1 1 3nb  3n  4 3 1 1 2 1 2 3 4 1 1 1 2 1 2 3 3 3n n n nb b b b b b b b         3n  4 1 2 3 1 2 3b b b  1 1 2 1 2 3n nb b b    3n   1 1 2 2 1 2 2 33 3 3n n nb b b      1 21 2 3 1 1 1 1 1 1 14 1 1 1nn k k kb b b b a a a                   1n  11 1 1 1 4,43 1 17kb a   1 1 4 17b  2n  1 2 1 1 7 12b b  1 2 1 1 1 14 41 1 17 53k ka a               1 21 2 1 1 1 14 1 1k kb b a a           1 21 2 3 1 1 1 1 1 1 14 1 1 1nn k k kb b b b a a a                 