高考数学专题——与导数有关的构造函数

高考数学专题——与导数有关的构造函数

一．命题陷阱：‎ ‎1.图形考虑不周陷阱；‎ ‎2.思维定式陷阱（与等式有关的构造函数）；‎ ‎3. 已知条件中含有导函数值而无从下手；‎ ‎4.恒成立中的最值陷阱 ‎5. 含有导函数的式子中的和差构造陷阱 ‎6.与三角函数有关的构造函数 ‎7.忽视分母造成解集不完备 ‎8.与指数函数对数函数有关的构造 二．典例分析及练习 ‎（一）图形考虑不周陷阱 例1.已知，若关于的方程恰好有 4 个不相等的实数解，则实数的取值范围为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 化简可得=‎ 当时，，‎ 当0≤x＜1时，，当时，‎ ‎∴在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；‎ 当x＜0时，＜0，f（x）为减函数，‎ ‎∴函数在（0，+∞）上有一个最大值为，作出函数的草图如图：‎ 则方程等价为，‎ 要使关于x的方程恰好有4个不相等的实数根，‎ 等价为方程有两个不同的根m1＞且0＜m2＜，‎ 设，‎ 则 解得1＜t＜1+，‎ 故答案选：C.‎ 陷阱预防：这类问题根据已知条件画出函数的图象，利用图象求解时注意切线等特殊位置 练习1. 已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】画出函数f（x）的图象，‎ 练习2. 已知函数，关于的不等式只有1个整数解，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由得。‎ ‎∴当时，单调递增；当时，单调递减。‎ ‎∴当时，有最大值，且，‎ 且时，；时，；‎ 故在(0,1)上，，在(1,+∞)上，，‎ 作出函数f(x)的图象如下：‎ ‎①当时，由得，解集为(0,1)∪(1,+∞)，‎ 所以不等式的整数解有无数多个，不合题意；‎ ‎②当时，由得或。‎ 当时，解集为(1,+∞)，有无数个整数解；‎ 当时，解集为(0,1)的子集，不含有整数解。‎ 故不合题意。‎ 综上，选D。‎ ‎【方法规律】函数图象在研究零点个数、解的个数中的应用 ‎（1）研究两函数图象的交点个数：在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解；‎ ‎（2）确定方程根的个数：当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)图象与x轴的交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标；‎ ‎（3）研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．‎ ‎（二）思维定式陷阱（与等式有关的函数构造）‎ 例2. 若函数满足，则当时，（ ）‎ A. 有极大值，无极小值 B. 有极小值，无极大值 C. 既有极大值又有极小值 D. 既无极大值又无极小值 ‎【答案】C ‎【解析】由题设知，当时，，‎ 可得为常数），又，得C=0‎ 所以.‎ 故选B.‎ 陷阱预防：这类问题在构造函数是，注意逆向思维，构造出的函数的导函数与已知条件相同，或者能够利用已知条件求解.‎ 练习1. 函数的导函数为，满足，且，则的极值情况为（ ）‎ A. 有极大值无极小值 B. 有极小值无极大值 C. 既有极大值又有极小值 D. 既无极大值也无极小值 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 将代入可得：‎ 则 ‎=‎ 令则，当时，，当时，‎ ‎，故当时，取最大值0，故恒成立，故恒成立，故既无极大值也无极小值，故选 练习2. 若函数在上可导，且，则(　 )．‎ A. B. C. D. 以上都不对 ‎【答案】C ‎【方法规律】常用的构造函数有：‎ ‎，构造xf(x)；‎ ‎2xf(x)+x2f′(x)，构造x2f(x)；‎ ‎，构造;‎ ‎，构造；‎ ‎，构造.等等.‎ ‎（三）已知条件中含有导函数值陷阱 例3.已知函数在R上可导，且，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由可得：，令得，所以令代入原式得：‎ 陷阱预防：根据已知条件先求特殊值的导函数值后再求解 练习1.若函数在上可导，且，则(　 )．‎ A. B. C. D. 以上都不对 ‎【答案】C 练习2. 若函数满足，则等于(　 　)‎ A. －1 B. －2‎ C. 2 D. 0‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵，∴，令函数，可得，即函数为奇函数，∴，故选B.‎ ‎（四）恒成立中的最值陷阱 例4. 已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】画出函数f（x）的图象，‎ 由y=可得直线在y轴上的截距为4，‎ 若4恒成立，图像恒在分段函数的上方，故 故选：D．‎ 陷阱预防：恒成立问题中要分清求的是最大值还是最小值 练习1. 函数在实数集上连续可导，且在 上恒成立，则以下不等式一定成立的是（　　）‎ A. B. C. f（-2）＞e3f（1） D. f（-2）＜e3f（1）‎ ‎【答案】A 练习2. 设函数的导函数为，且在上恒成立，则，，的大小关系为（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设函数，则，因为在上恒成立，故当时，恒成立，所以函数在时，单调递减，所以，即成立，故选D.‎ ‎【方法规律】‎ 函数恒成立求参的问题，方法一般有：变量分离，转化成函数最值问题；直接构造函数，使函数最值和0比较；分离成两个函数，让其中一个函数在另一个的上方或者下方.‎ ‎（五）含有导函数的式子中的和差构造 例5.函数在其定义域内满足，（其中为函数的导函数），‎ ‎，则函数 A. 有极大值，无极小值 B. 有极小值，无极大值 C. 既有极大值又有极小值 D. 既无极大值又无极小值 ‎【答案】B 故选：B 陷阱预防：根据含有导函数式子中和差，一般情况下，和考虑构造函数的积，差考虑函数的商，余弦函数正好相反.‎ 练习1. 已知定义在上的奇函数的导函数为，当时，满足，，则在上的零点个数为（ ）‎ A. 5 B. 3 C. 1或3 D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意可构造函数 则 由题当时，满足，，，‎ 即函数 在 时是增函数， 又 ‎ ‎∴当 成立， ∵对任意是奇函数， ∴ 时， 即只有一个根就是0． 故选D。‎ 练习2. 设是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由，即，令，则当时，得，即在上是增函数，，，即不等式等价为，在上是增函数，由得，，即，又因为是定义在，所以，故，不等式的解集为故选C.‎ ‎（六）与三角函数有关的构造函数 例6.定义在上可导函数的导数为，且，则下列判断中，一定正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 故选A.‎ 陷阱预防：构造函数时注意正弦、余弦的导数公式，尤其注意余弦的导数公式的符号 练习1.定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成 立，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】构造函数,则,即g(x)在上单调递增,所以,即,故选B.‎ 练习2.定义在上的函数满足：恒成立，则下列不等式中成立的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A 故答案选A.‎ ‎【方法规律】根据含导函数的不等式构造原函数时要注意从以下几种类型考虑：‎ ① 原函数是函数和差的组合；‎ ② 原函数是函数乘除的组合；‎ ③ 原函数是函数与的乘除的组合；‎ ④ 原函数是函数与的乘除的组合；‎ ⑤ 原函数是函数与的乘除的组合；‎ ⑥ 原函数是函数与的乘除的组合.‎ ‎（七）忽视分母造成解集不完备 例7. 已知函数是定义在的可导函数，为其导函数，当且时，，若曲线在处的切线的斜率为，则（）‎ A. 0 B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】当 且 时，，可得：‎ ‎ 时，‎ ‎ 时，‎ 令 可得： 时， ； 时，‎ 可得：函数在处取得极值，‎ ‎ ． 故答案为 陷阱预防：解答时讨论分母的正负 练习1. 对于上可导的任意函数，若满足，则必有（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由题意时， ， 递减， 时， ， 递增，因此， ，所以．故选A．‎ 练习2. 设为定义在上的函数的导函数，且恒成立，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，即，设，则，当时，恒成立，即在上单调递增，，，故选A.‎ ‎【方法规律】求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题根据①，联想到函数，再结合条件判断出其单调性，进而得出正确结论.‎ ‎（八）与指数函数对数函数有关的构造 例8.定义在上的函数与其导函数满足，则下列不等式一定成立的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由可得。‎ 令，则。‎ ‎∴函数在在上为增函数，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴.选A.‎ 陷阱预防：构造函数时注意原函数是函数与的乘除的组合,原函数是函数与的乘除的组合 练习1.定义域为 的可导函数的导函数为,满足,且则不等式 的解集为(      )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 练习2.已知定义在上的函数的导数为，且满足，则（）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】令g（x）=，则g′（x） ,‎ 故g（x）在（0，+∞）递增，‎ 故g（e）＜g（e2）＜g（e3），‎ 故6f（e）＜3f（e2）＜2f（e3），‎ 故选：B．‎ 练习3.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，，即，设，则即，则当时，‎ 得，即在上是减函数，，，即不等式等价为，在是减函数，可得，，即，又因为定义在，所以, 不等式 的解集为,故选C.‎ ‎【方法规律】解答这类题的关键是构造函数，主要考查导数运算法则的逆用.根据含导函数的不等式构造原函数时要注意从以下几种类型考虑：①原函数是函数和差的组合；②原函数是函数乘除的组合；③原函数是函数与的乘除的组合；④原函数是函数与的乘除的组合；⑤原函数是函数与的乘除的组合；⑥原函数是函数与的乘除的组合.‎ 三．高考真题体验 ‎1.若是函数的极值点，则的极小值为（）‎ A. B. C. D.1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由题可得 因为，所以，，故 令，解得或，所以在单调递增，在单调递减 所以极小值为，故选A。‎ ‎2.函数y=f(x)的导函数的图像如图所示，则函数y=f(x)的图像可能是 ‎【答案】D ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值点大于0，因此选D．‎ ‎3.已知函数有唯一零点，则a=‎ A． B． C． D．1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：函数的零点满足，‎ 设，则，‎ 当时，，当时，，函数 单调递减，‎ 当时，，函数 单调递增，‎ 当时，函数取得最小值，‎ 设 ，当时，函数取得最小值 ，‎ 若，函数与函数没有交点，‎ 当时，时，此时函数和有一个交点，‎ 即，解得 .故选C.‎ ‎4.设函数=,其中a1，若存在唯一的整数，使得0，则的取值范围是（ ）‎ ‎(A)[-，1） (B)[-，） (C)[，） (D)[，1）‎ ‎【答案】D 当时，=-1，，直线恒过（1,0）斜率且，故，且，解得≤＜1，故选D.‎ ‎5.设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（）‎ A．　　　B．‎ C．　　　D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】记函数，则，因为当时，，故当时，，所以在单调递减；又因为函数是奇函数，故函数是偶函数，所以在单调递减，且．当时，，则；当时，，则，综上所述，使得成立的的取值范围是，故选A．‎ ‎6.对二次函数（为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（）‎ A．是的零点 B．1是的极值点 C．3是的极值 D. 点在曲线上 ‎【答案】A ‎【解析】若选项A错误时，选项B、C、D正确，，因为是的极值点，是的极值，所以，即，解得：，因为点在曲线上，所以，即，解得：，所以，，所以，因为，所以不是的零点，所以选项A错误，选项B、C、D正确，故选A．‎ ‎7.曲线与直线所围成的封闭图形的面积为.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在同一坐标系内作出两个函数的图象，解议程组得两曲线的交点坐标为，由图可知峡谷曲线所围成的封闭图形的面积 ‎.‎ ‎8.若定义在上的函数满足，其导函数满足，则下列结论中一定错误的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C