2018-2019学年安徽省蚌埠市第二中学高一下学期期中考试数学试题（解析版）

2018-2019学年安徽省蚌埠市第二中学高一下学期期中考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年安徽省蚌埠市第二中学高一下学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先根据诱导公式化角，再根据两角和正弦公式求结果.‎ ‎【详解】‎ ‎,选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查诱导公式以及两角和正弦公式，考查基本求解能力，属基础题.‎ ‎2．已知是公差为的等差数列，为的前n项和，若，，成等比数列，则（ ）‎ A． B．35 C． D．25‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据条件求首项，再根据等差数列求和公式得结果,‎ ‎【详解】‎ 因为，，成等比数列，所以，‎ 因此,选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列通项公式与求和公式，考查基本求解能力，属基础题.‎ ‎3．在中，已知，，，则的度数是　　‎ A． B． C． D．或 ‎【答案】B ‎【解析】根据正弦定理求解.‎ ‎【详解】‎ 由正弦定理得，‎ 因为,所以B为锐角，即，选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎4．若 ，则（ ）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由，得或，所以，故选A．‎ ‎【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式．‎ ‎【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．‎ ‎5．已知数列中，，且，则数列通项公式为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：∵an=3an-1+4，∴an+2=3（an-1+2），‎ ‎∵a1+2=3，∴an+2是公比为3首项是3的等比数列，即an+2=3×3n-1，‎ an=3n-2．‎ ‎【考点】数列的性质和应用．‎ ‎6．函数在区间上的最小值是（ ）‎ A． B． C．-1 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由同角三角函数关系将其转化为关于的函数问题，运用二次函数求出最小值 ‎【详解】‎ ‎,‎ ‎,故 故当时，函数取得最小值 即当时，‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题考查了同角三角函数关系，将其转化为关于的二次函数问题，注意的取值范围，较为基础 ‎7．若是等差数列，首项，，，则使前n项和成立的最大自然数n是　　‎ A．46 B．47 C．48 D．49‎ ‎【答案】A ‎【解析】首先判断出a23＞0，a24＜0，进而a1+a46=a23+a24＞0，所以可得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎∵{an}是等差数列，并且a1＞0，a23+a24＞0，a23•a24＜0‎ 可知{an}中，a23＞0，a24＜0，∴a1+a46=a23+a24＞0‎ 所以，‎ 故使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是46，‎ 故答案为：A ‎【点睛】‎ 等差数列的性质灵活解题时技巧性强，根据等差数列的概念和公式，可以推导出一些重要而便于使用的变形公式．“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果．‎ ‎8．中有：若，则；若，则定为等腰三角形；若，则定为直角三角形；若，，且该三角形有两解，则b 的范围是以上结论中正确的个数有  ‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】B ‎【解析】根据正弦定理以及三角形内角范围判断选择.‎ ‎【详解】‎ 若，则；‎ 若，则或，即或，为等腰三角形或直角三角形；‎ 若，则所以,即定为直角三角形；‎ 由正弦定理得，因为三角形有两解，所以，‎ 所以结论中正确的个数有两个，选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理以及诱导公式，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎9．对函数的表述错误的是     ‎ A．最小正周期为 B．函数向左平移个单位可得到 C．在区间上递增 D．点是的一个对称中心 ‎【答案】D ‎【解析】先根据二倍角公式以及辅助角公式化函数为基本三角函数形式，再根据正弦函数性质判断选择.‎ ‎【详解】‎ 因为,‎ 所以最小正周期为，‎ 向左平移个单位可得到,‎ 因为,所以，即递增，‎ 因为时，，所以点不是的对称中心，‎ 综上选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二倍角公式、辅助角公式以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎10．已知数列，满足，，，则数列的前10项的和为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由等差数列和等比数列的通项公式求得an和bn，从而得，进而利用等比数列求和公式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 由an+1﹣an2，‎ 所以数列{an}是等差数列，且公差是2，{bn}是等比数列，且公比是2．‎ 又因为＝1，所以an＝+（n﹣1）d＝2n﹣1．‎ 所以b2n﹣1＝•22n﹣2＝22n﹣2．‎ 设，所以＝22n﹣2，‎ 所以4，所以数列{∁n}是等比数列，且公比为4，首项为1．‎ 由等比数列的前n项和的公式得：‎ 其前10项的和为（410﹣1）．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式的应用，属于基础题.‎ ‎11．已知等比数列的前项和为，若，，且，则实数的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先求得等比数列的首项和公比，得到，分析数列的单调性得到 的最值，从而列不等式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 由 ，得，‎ 当时，取最大值1，当时，取最小值，‎ 所以，，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等比数列的单调性，结合首项和公比即可判断，属于中档题.‎ ‎12．已知函数，若在区间内有零点，则的取值范围是 ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】将化简可得，由得，当时，，由题意知存在，，即，所以，由知，当时，，，，…，所以选D.‎ 点睛：本题主要考查了三角函数的化简，考查了三角函数的零点问题以及学生计算能力，难度一般；考查其性质时，首先应将其化为三角函数的一般形式，在化简过程中应注意降幂公式及辅助角公式的熟练运用，易得，由的范围，可得，即的取值范围，解出，根据可得结果.‎ 二、填空题 ‎13．在中，若，，，则_______．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】由题意，，‎ 整理可得：，解得．‎ ‎14．在公比为q且各项均为正数的等比数列中，为的前n项和若，且，则q的值为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 , , ,‎ ‎ .‎ ‎15．如图，半圆的直径为2，为直径延长线上的一点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边.则四边形的面积最大值为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，利用表示出四边形面积，并根据三角函数的性质求得面积的最大值.‎ ‎【详解】‎ 设，由余弦定理得，所以四边形的面积 ，故当，时，面积取得最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查辅助角公式以及三角函数求最值的方法，属于中档题.‎ ‎16．已知数列满足：，数列的前n项和为，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得，两式相减化为，则 ，由裂项相消法可得 ，然后利用累乘法可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.‎ 三、解答题 ‎17．（1）已知，求的值； ‎ ‎（2）已知，，且，求的值。‎ ‎【答案】（1）（2），‎ ‎【解析】（1）先求得，然后对除以，再分子分母同时除以，将表达式变为只含的形式，代入的值，从而求得表达式的值.（2）利用诱导公式化简已知条件，平方相加后求得的值，进而求得的值，接着求得的值，由此求得的大小.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ ‎ ‎ ‎（2）由已知条件，得 ，两式求平方和得，即，所以。又因为，所以，。‎ 把代入得。考虑到，得。因此有，。‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用齐次方程来求表达式的值，考查利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式化简求值，考查特殊角的三角函数值.形如，或者的表达式，通过分子分母同时除以或者，转化为的形式.‎ ‎18．已知是等边三角形，D在BC的延长线上，且，．‎ Ⅰ求AB的长；‎ Ⅱ求的值．‎ ‎【答案】（1）4（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）用等边三角形边长表示三角形面积：．解方程可得的长；（2）先根据余弦定理，解出．再根据正弦定理解出 试题解析：（Ⅰ）设．因为是等边三角形，所以．因为，所以．即，所以，（舍）．所以．‎ ‎（Ⅱ）因为 ，所以 ．所以．在中，因为，所以 ．‎ ‎19．已知数列中，，数列中，其中 ．‎ Ⅰ求证：数列是等差数列；‎ Ⅱ设是数列的前n项和，求；‎ Ⅲ设是数列的前n项和，求证：．‎ ‎【答案】解:（1）, 而,‎ ‎∴．‎ ‎∴ {}是首项为,公差为1的等差数列 ‎（2）由（1）可知,‎ ‎,‎ 于是=‎ 故有 =6‎ ‎（3）证明:由（1）可知 ,‎ 则 则++ ,‎ ‎∴ ‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由条件可得到，由此证得结论 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）=，用裂项法求出 的值．‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅰ）可知=，求出Tn的解析式，可得Tn的解析式，用错位相减法求出Tn的解析式，从而可得要证的不等式成立．‎ ‎【考点】数列与不等式的综合。‎ 点评：本题主要考查了等差数列与等比数列公式的应用，用裂项法、错位相减法对数列求和。‎ ‎20．已知函数， ‎ 若的最小值为，求m的值；‎ 当时，若对任意，都有恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）或；（2）.‎ ‎【解析】（1）利用函数的公式化简后换元，转化为二次函数问题求解最小值，可得的值；‎ ‎（2）根据恒成立，转化为函数的最值问题求解；‎ ‎【详解】‎ 解：（1）函数f（x）=-sin2x+mcosx-1=cos2x+mcosx-2=（cosx+）2-2-．‎ 当cosx=时，则2+，‎ 解得：m=±‎ 那么cosx=显然不成立．‎ x∈[]．‎ ‎∴≤cosx≤1．‎ 令cosx=t．‎ ‎∴≤t≤1．‎ ‎①当＞时，即m＞1，f（x）转化为g（t）min=（）2-2-=-4‎ 解得：m=4.5，满足题意；‎ ‎②当1＜时，即m＜-2，f（x）转化为g（t）min=（1）2-2-=-4‎ 解得：m=-3，满足题意；‎ 故得f（x）的最小值为-4，m的值4.5或-3；‎ ‎（2）当m=2时，f（x）=（cosx+1）2-3，‎ 令cosx=t．‎ ‎∴≤t≤1．‎ ‎∴f（x）转化为h（t）=（t+1）2-3，‎ 其对称轴t=-1，‎ ‎∴t∈[，1]上是递增函数．‎ h（t）∈[，1]．‎ 对任意x1，x2∈[-]都有|f（x1）-f（x2）|恒成立，‎ ‎|f（x1）-f（x2）|max=‎ 可得：a≥2．‎ 故得实数a的取值范围是[2，+∞）．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的有界性，二次函数的最值，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．‎ ‎21．如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道（，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口是的中点，分别落在线段上．已知米，米，记．‎ ‎（1）试将污水净化管道的长度表示为的函数，并写出定义域；‎ ‎（2）若，求此时管道的长度；‎ ‎（3）当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．‎ ‎【答案】(1)，．(2) 米 (3)或时，污水净化效果最好，此时管道的长度为米 ‎【解析】根据直角三角形表示，，，即得结果，‎ 根据同角三角函数关系求得，即得结果，利用同角三角函数关系，将函数转化为一元函数，根据单调性得结果.‎ ‎【详解】‎ 解：，，．‎ 由于，，‎ 所以，所以．所以，．‎ 当时，，‎ 米．‎ ‎，设，则，‎ 所以．由于，所以．‎ 由于在上单调递减，‎ 所以当，即或时，L取得最大值米 答：当或时，污水净化效果最好，此时管道的长度为米 ‎【点睛】‎ 本题考查函数应用以及同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎22．已知常数，数列的前n项和为，，．‎ ‎1求数列的通项公式；‎ ‎2若，且是单调递增数列，求实数a的取值范围；‎ ‎【答案】(1) (2)‎ ‎【解析】（1）根据和项与通项关系得，再根据等差数列定义以及通项公式得结果，（2）先根据单调性得不等式，再分奇偶讨论，利用变量分离法将不等式恒成立问题转化为对应数列最值问题，最后根据最值可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），‎ ‎．‎ 是以为首项，为公差的等差数列，‎ ‎；‎ ‎（2），即 若n为奇数，则恒成立，‎ 考察，‎ 即，；‎ 若n为偶数，则恒成立，‎ 考察，‎ 即，‎ ‎；综上所述，；‎ ‎【点睛】‎ 本题考查和项与通项关系、等差数列定义以及数列单调性，考查综合分析求解能力，属中档题.‎