【数学】2021届一轮复习北师大版（理）第2章第4节函数性质的综合问题学案

【数学】2021届一轮复习北师大版（理）第2章第4节函数性质的综合问题学案

第四节 函数性质的综合问题 考点 1 函数的单调性与奇偶性 函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路 (1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上 具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性． (2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成 f(x1) ＞f(x2)或 f(x1)＜f(x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要 注意函数定义域对参数的影响． (1)(2019·全国卷Ⅲ)设 f(x)是定义域为 R 的偶函数，且在(0，＋∞)单 调递减，则( ) A．f log3 1 4 ＞f(2 )＞f(2 ) B．f log3 1 4 ＞f(2 )＞f(2 ) C．f(2 )＞f(2 )＞f log3 1 4 D．f(2 )＞f(2 )＞f log3 1 4 (2)(2017·全国卷Ⅰ)函数 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若 f(1) ＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1 的 x 的取值范围是( ) A．[－2,2] B．[－1,1] C．[0,4] D．[1,3] (1)C (2)D [(1)∵f(x)是定义域为 R 的偶函数， ∴f(－x)＝f(x)． ∴f log3 1 4 ＝f(－log34)＝f(log34)． 又∵log34＞log33＝1，且 1＞2 ＞2 ＞0， ∴log34＞2 ＞2 ＞0. ∵f(x)在(0，＋∞)上单调递减， ∴f(2 )＞f(2 )＞f(log34)＝f log3 1 4 .故选 C. (2)∵f(x)为奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)． ∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1. 故由－1≤f(x－2)≤1， 得 f(1)≤f(x－2)≤f(－1)． 又 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减， ∴－1≤x－2≤1， ∴1≤x≤3.] [逆向问题] 设 f(x)是定义在[－2b,3＋b]上的偶函数，且在[－2b,0]上为增 函数，则 f(x－1)≥f(3)的解集为( ) A．[－3,3] B．[－2,4] C．[－1,5] D．[0,6] B [因为 f(x)是定义在[－2b,3＋b]上的偶函数， 所以有－2b＋3＋b＝0，解得 b＝3， 由函数 f(x)在[－6,0]上为增函数，得 f(x)在(0,6]上为减函数，故 f(x－1)≥f(3) ⇒f(|x－1|)≥f(3)⇒|x－1|≤3，故－2≤x≤4.] (1)函数值的大小比较问题，可以利用奇偶性把不在同一单调区间上 的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用其单调性比较大 小．(2)对于抽象函数不等式的求解，应变形为 f(x1)＞f(x2)的形式，再结合单调性 脱去法则“f”变成常规不等式，如 x1＜x2(或 x1＞x2)求解． 1.已知函数 f(x)满足以下两个条件：①任意 x1，x2∈(0，＋∞)且 x1≠x2， (x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＜0；②对定义域内任意 x 有 f(x)＋f(－x)＝0，则符合条件的 函数是( ) A．f(x)＝2x B．f(x)＝1－|x| C．f(x)＝－x3 D．f(x)＝ln(x2＋3) C [由条件①可知，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则可排除 A、D 选项，由条 件②可知，f(x)为奇函数，则可排除 B 选项，故选 C.] 2．函数 y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数 f(x＋2)是偶函数，则下列结论成 立的是( ) A．f(1)＜f 5 2 ＜f 7 2 B．f 7 2 ＜f(1)＜f 5 2 C．f 7 2 ＜f 5 2 ＜f(1) D．f 5 2 ＜f(1)＜f 7 2 B [∵函数 y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数 f(x＋2)是偶函数， ∴函数 y＝f(x)在[2,4]上单调递减，且在[0,4]上函数 y＝f(x)满足 f(2－x)＝f(2 ＋x)， ∴f(1)＝f(3)，f 7 2 ＜f(3)＜f 5 2 ， 即 f 7 2 ＜f(1)＜f 5 2 .] 3．(2019·滨州模拟)设奇函数 f(x)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上，f(x)在(0， ＋∞)上为增函数，且 f(1)＝0，则不等式3fx－2f－x 5x ＜0 的解集为( ) A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1) D [∵奇函数 f(x)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上，在(0，＋∞)上为增函数， 且 f(1)＝0，∴函数 f(x)的图像关于原点对称，且过点(1,0)和(－ 1,0)，且 f(x)在(－∞，0)上也是增函数．∴函数 f(x)的大致图 像如图所示．∵f(－x)＝－f(x)，∴不等式3fx－2f－x 5x ＜0 可 化为fx x ＜0，即 xf(x)＜0.不等式的解集即为自变量与对应的函 数值异号的 x 的范围，据图像可知 x∈(－1,0)∪(0,1)．] 考点 2 函数的周期性与奇偶性 已知 f(x)是周期函数且为偶函数，求函数值，常利用奇偶性及周期性 进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，把未知区 间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质求解． (2019·福州质量检测)已知函数 f(x)对任意的 x∈R 都满 足 f(x)＋f(－x)＝0，f x＋3 2 为偶函数，当 0＜x≤3 2 时，f(x)＝－x，则 f(2 017)＋f(2 018) ＝________. －2 [依题意，f(－x)＝－f(x)，f －x＋3 2 ＝f x＋3 2 ，所以 f(x＋3)＝f(－x)＝－ f(x)，所以 f(x＋6)＝f(x)，所以 f(2 017)＝f(1)＝－1，f(2 018)＝f(2)＝f 1 2 ＋3 2 ＝ f －1 2 ＋3 2 ＝f(1)＝－1，所以 f(2 017)＋f(2 018)＝－2.] 解奇偶性、周期性的综合性问题的 2 个关键点 (1)利用奇偶性和已知等式求周期． (2)将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题求解． 1.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x)＝－f x＋3 2 ，且 f(1)＝2，则 f(2 018)＝________. －2 [因为 f(x)＝－f x＋3 2 ，所以 f(x＋3)＝f x＋3 2 ＋3 2 ＝ －f x＋3 2 ＝f(x)． 所以 f(x)是以 3 为周期的周期函数． 则 f(2 018)＝f(672×3＋2)＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.] 2．已知 f(x)是定义在 R 上以 3 为周期的偶函数，若 f(1)＜1，f(5)＝2a－3，则 实数 a 的取值范围为________． (－∞，2) [∵f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的偶函数，∴f(5)＝f(5－6)＝f(－ 1)＝f(1)，∵f(1)＜1，∴f(5)＝2a－3＜1，即 a＜2.] 考点 3 单调性、奇偶性、周期性、对称性等综合问题 函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常 将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另 一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题． [一题多解](2018·全国卷Ⅱ)已知 f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函 数，满足 f(1－x)＝f(1＋x)．若 f(1)＝2，则 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( ) A．－50 B．0 C．2 D．50 C [法一：(直接法)∵f(x)是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(1－x)＝－f(x－1)． 由 f(1－x)＝f(1＋x)，得－f(x－1)＝f(x＋1)， ∴f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， ∴函数 f(x)是周期为 4 的周期函数． 由 f(x)为奇函数得 f(0)＝0. 又∵f(1－x)＝f(1＋x)， ∴f(x)的图像关于直线 x＝1 对称， ∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0. 又 f(1)＝2，∴f(－1)＝－2， ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50) ＝0×12＋f(49)＋f(50) ＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2. 法二：(特例法) 由题意可设 f(x)＝2sin π 2x ，作出 f(x)的部分图像如图所示．由图可知，f(x)的 一个周期为 4，所以 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(49) ＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.] (1)函数的奇偶性与对称性的关系 ①若函数 f(x)满足 f(a＋x)＝f(a－x)，则其函数图像关于直线 x＝a 对称；当 a ＝0 时可以得出 f(x)＝f(－x)，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数． ②若函数 f(x)满足 f(2a－x)＝2b－f(x)，则其函数图像关于点(a，b)对称；当 a ＝0，b＝0 时得出 f(－x)＝－f(x)，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数． (2)函数的对称性与周期性的关系 ①若函数 f(x)关于直线 x＝a 与直线 x＝b 对称，那么函数的周期是 2|b－a|. ②若函数 f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，那么函数的周期是 2|b－ a|. ③若函数 f(x)关于直线 x＝a 对称，又关于点(b,0)对称，那么函数的周期是 4|b －a|. (3)函数的奇偶性、周期性、对称性的关系 ①函数 fx是偶函数；②函数图像关于直线 x＝a 对称；③函数的周期 是 2|a|. ①函数 fx是奇函数；②函数图像关于点a，0对称；③函数的周期是 2|a|. ①函数 fx是奇函数；②函数图像关于直线 x＝a 对称；③函数的周期 是 4|a|. ①函数 fx是偶函数；②函数图像关于点a，0对称；③函数的周期是 4|a|. 其中 a≠0，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个． [教师备选例题] (1)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x＋1)＝－f(x)，若 f(x)在[－1,0]上单 调递减，则 f(x)在[1,3]上是( ) A．增函数 B．减函数 C．先增后减的函数 D．先减后增的函数 (2)已知定义在 R 上的连续奇函数 f(x)满足 f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上 是增函数，有下列命题： ①函数 f(x)的图像关于直线 x＝4k＋2(k∈Z)对称； ②函数 f(x)的单调递增区间为[8k－6,8k－2](k∈Z)； ③函数 f(x)在区间(－2 018,2 018)上恰有 1 008 个极值点； ④若关于 x 的方程 f(x)－m＝0 在区间[－8,8]上有根，则所有根的和可能为 0 或±4 或±8. 其中真命题的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 (1)D (2)C [(1)根据题意，因为 f(x＋1)＝－f(x)，所以 f(x＋2)＝－f(x＋1)＝ f(x)，所以函数 f(x)的周期是 2.又因为 f(x)在定义域 R 上是偶函数，在[－1,0]上是 减函数，所以函数 f(x)在[0,1]上是增函数，所以函数 f(x)在[1,2]上是减函数，在[2,3] 上是增函数，所以 f(x)在[1,3]上是先减后增的函数，故选 D. (2)①正确，∵定义在 R 上的连续奇函数 f(x)满足 f(x－4)＝－f(x)，∴f[(x－4) －4]＝－f(x－4)＝f(x)，即 f(x－8)＝f(x)，∴f(x)是以 8 为周期的周期函数，8k(k∈ Z 且 k≠0)也是其周期．又 f(x)为 R 上的连续奇函数，由 f(x－4)＝－f(x)，即 f(x) ＝－f(x－4)，得 f(x)＝f(4－x)， ∴函数 f(x)的一条对称轴为 x＝4 2 ＝2. 又 8k(k∈Z 且 k≠0)是 f(x)的周期， ∴f(x)＝f(x＋8k)＝f(4－x)， ∴函数的对称轴为 x＝8k＋4 2 ＝4k＋2(k∈Z 且 k≠0)． 综上，函数 f(x)的图像关于直线 x＝4k＋2(k∈Z)对称，故①正确； ②错误，作图如下： 由图可知，函数 f(x)的单调递减区间为[8k－6,8k－2](k∈Z)，故②错误； ③正确，由图可知，f(x)在一个周期内有两个极值点，在区间(－2 016,2 016) 上有 504 个完整周期，有 1 008 个极值点，在区间(－2 018，－2 016]和[2 016，2 018) 上没有极值点，故在区间(－2 018，2 018)上有 1 008 个极值点，③正确； ④正确，由图中 m1，m2，m3，m4，m5 五条直线可知， 关于 x 的方程 f(x)－m ＝0 在区间[－8,8]上有根，则所有根的和可能为 0 或±4 或±8，故④正确． 综上所述，①③④正确，故选 C.] 1.(2016·全国卷Ⅱ)已知函数 f(x)(x∈R)满足 f(－x)＝2－ f(x)，若函数 y＝x＋1 x 与 y＝f(x)图像的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则∑ m i＝1 (xi＋yi)＝( ) A．0 B．m C．2m D．4m B [函数 f(x)(x∈R)满足 f(－x)＝2－f(x)，即 f(x)＋f(－x)＝2，可得 f(x)的图像 关于点(0,1)对称，函数 y＝x＋1 x ，即 y＝1＋1 x 的图像关于点(0,1)对称，∴函数y＝x＋1 x 与 y＝f(x)图像的交点也关于(0,1)对称，关于(0,1)对称的两个点的横坐标和为 0， 纵坐标和为 2. 当交点不在对称轴上时，m 为偶数， ∴∑ m i＝1 (xi＋yi)＝∑ m i＝1 xi＋∑ m i＝1 yi＝0×m 2 ＋2×m 2 ＝m； 当有交点在对称轴上时，m 为奇数，则∑ m i＝1 (xi＋yi)＝∑ m i＝1 xi＋∑ m i＝1 yi＝0×m－1 2 ＋0 ＋2×m－1 2 ＋1＝m. 综上，∑ m i＝1 (xi＋yi)＝m.] 2．已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增 函数，则( ) A．f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25) C．f(11)＜f(80)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)＜f(11) D [因为 f(x)满足 f(x－4)＝－f(x)， 所以 f(x－8)＝f(x)，所以函数 f(x)是以 8 为周期的周期函数，则 f(－25)＝f(－ 1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)． 由 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且满足 f(x－4)＝－f(x)，得 f(11)＝f(3)＝－f(－ 1)＝f(1)． 因为 f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在 R 上是奇函数， 所以 f(x)在区间[－2,2]上是增函数， 所以 f(－1)＜f(0)＜f(1)，即 f(－25)＜f(80)＜f(11)．] 课外素养提升② 数学运算——用活函数性质中的三个结论 数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算能够促进学生数学思维的发 展．通过常见的“二维结论”解决数学问题，可优化数学运算的过程，使学生逐 步形成规范化、程序化的思维品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神． 奇函数的最值性质 已知函数 f(x)是定义在区间 D 上的奇函数，则对任意的 x∈D，都有 f(x)＋f(－ x)＝0.特别地，若奇函数 f(x)在 D 上有最值，则 f(x)max＋f(x)min＝0，且若 0∈D，则 f(0)＝0. 【例 1】 设函数 f(x)＝x＋12＋sin x x2＋1 的最大值为 M，最小值为 m，则 M＋m ＝________. 2 [显然函数 f(x)的定义域为 R， f(x)＝x＋12＋sin x x2＋1 ＝1＋2x＋sin x x2＋1 ， 设 g(x)＝2x＋sin x x2＋1 ，则 g(－x)＝－g(x)， ∴g(x)为奇函数， 由奇函数图像的对称性知 g(x)max＋g(x)min＝0， ∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.] 【素养提升练习】 已知函数 f(x)＝ln( 1＋9x2－3x)＋1，则 f(lg 2)＋flg 1 2 ＝ ( ) A．－1 B．0 C．1 D．2 D [设 g(x)＝ln( 1＋9x2－3x)，易知函数的定义域为 R，关于原点对称， ∵ g(x) ＋ g( － x) ＝ ln( 1＋9x2 － 3x) ＋ ln( 1＋9x2 ＋ 3x) ＝ ln( 1＋9x2 － 3x)( 1＋9x2＋3x)＝ln 1＝0， ∴g(x)为奇函数， ∴g(lg 2)＋glg 1 2 ＝g(lg 2)＋g(－lg 2)＝0， 又∵f(x)＝g(x)＋1， ∴f(lg 2)＋flg 1 2 ＝g(lg 2)＋1＋glg 1 2 ＋1＝2.] 抽象函数的周期性 (1)如果 f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么 f(x)是周期函数，其中一个周期 T＝2a. (2)如果 f(x＋a)＝ 1 fx(a≠0)，那么 f(x)是周期函数，其中的一个周期 T＝2a. (3)如果 f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么 f(x)是周期函数，其中的一个周期 T＝2a. 【例 2】 已知函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时，有 f(x＋3)＝－ f(x)，且当 x∈(0,3)时，f(x)＝x＋1，则 f(－2 017)＋f(2 018)＝( ) A．3 B．2 C．1 D．0 C [因为函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数， 所以 f(－2 017)＝－f(2 017)， 因为当 x≥0 时，有 f(x＋3)＝－f(x)， 所以 f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，即当 x≥0 时，自变量的值每增加 6，对应函 数值重复出现一次． 又当 x∈(0,3)时，f(x)＝x＋1， ∴f(2 017)＝f(336×6＋1)＝f(1)＝2， f(2 018)＝f(336×6＋2)＝f(2)＝3. 故 f(－2 017)＋f(2 018)＝－f(2 017)＋3＝1.] 【素养提升练习】 (2019·山西八校联考)已知 f(x)是定义在 R 上的函数，且 满足 f(x＋2)＝－ 1 fx ，当 2≤x≤3 时，f(x)＝x，则 f －11 2 ＝________. 5 2 [∵f(x＋2)＝－ 1 fx ，∴f(x＋4)＝f(x)， ∴f －11 2 ＝f 5 2 ，又 2≤x≤3 时，f(x)＝x， ∴f 5 2 ＝5 2 ，∴f －11 2 ＝5 2.] 抽象函数的对称性 已知函数 f(x)是定义在 R 上的函数． (1)若 f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则 y＝f(x)的图像关于直线 x＝a＋b 2 对称，特别 地，若 f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则 y＝f(x)的图像关于直线 x＝a 对称． (2)若函数 y＝f(x)满足 f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即 f(x)＝－f(2a－x)，则 f(x)的图像 关于点(a,0)对称． 【例 3】 函数 y＝f(x)对任意 x∈R 都有 f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数 y＝f(x －1)的图像关于点(1,0)对称，f(1)＝4，则 f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)的值为 ________． 4 [因为函数 y＝f(x－1)的图像关于点(1,0)对称， 所以函数 y＝f(x)的图像关于原点对称， 所以 f(x)是 R 上的奇函数， 则 f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，所以 f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故 f(x)的周期为 4. 所以 f(2 017)＝f(504×4＋1)＝f(1)＝4， 所以 f(2 016)＋f(2 018)＝－f(2 014)＋f(2 014＋4)＝－f(2 014)＋f(2 014)＝0， 所以 f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＝4.] 【素养提升练习】 已知函数 f(x)(x∈R)满足 f(x)＝f(2－x)，若函数 y＝|x2－ 2x－3|与 y＝f(x)图像的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则 ∑ m i＝1 xi＝( ) A．0 B．m C．2m D．4m B [∵函数 f(x)(x∈R)满足 f(x)＝f(2－x)， 故函数 f(x)的图像关于直线 x＝1 对称， 函数 y＝|x2－2x－3|的图像也关于直线 x＝1 对称， 故函数 y＝|x2－2x－3|与 y＝f(x)图像的交点也关于直线 x＝1 对称，且相互对 称的两点横坐标和为 2.当 f(x)不过点(1,4)时，∑ m i＝1 xi＝m 2 ×2＝m，当 f(x)过点(1,4)时， ∑ m i＝1 xi＝m－1 2 ×2＋1＝m. 综上，∑ m i＝1 xi＝m.]