中考压轴题及平行四边形的存在性问题

中考压轴题及平行四边形的存在性问题

如图，已知二次函数的图像与x轴交于点A(－1, 0)和点B(3, 0)，与y轴交于点C，且BC＝5．‎ ‎（1）求二次函数的表达式；‎ ‎（2）点P在第二象限内的抛物线上，如果∠CBP＝45°，求点P的坐标．‎ 图文解析 ‎ ‎（1）由B(3, 0)、BC＝5，可得OC＝4，C(0, 4)．‎ 因为抛物线与x轴交于A(－1, 0)、B(3, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)．‎ 代入点C(0, 4)，得4＝－3a．解得．‎ 所以二次函数的表达式为．‎ ‎【第（2）题的总体思路】因为B、C两点是确定的，那么射线BP是确定的．如果能求出射线BP上的一个点的坐标，就可以求出直线BP的解析式．联立直线BP和抛物线的解析式组成方程组，就可以求得点P的坐标．‎ 事实上，求得了射线BP上的某个点的坐标，直接根据同角的正切值列方程，计算过程更简便．‎ ‎【解法1】如图2，设BP与y轴交于点E，作EF⊥BC于F．‎ 在△BCE中，BC＝5，∠CBE＝45°，sin∠BCE＝，于是可设EF＝BF＝3m，CF＝4m，CE＝5m．‎ 由BC＝5，得7m＝5．解得m＝．所以CE＝5m＝．所以OE＝4－＝．‎ 所以tan∠EBO＝＝．‎ 如图3，作PP′⊥x轴于P′，那么．所以．‎ 设P，那么．‎ 解得，或x＝3（舍去）．所以点P的坐标为．‎ 图2 图3‎ ‎【解法2】如图4，作点E(0, 3)，那么△BOE为等腰直角三角形．作EF⊥BC与F．‎ 在Rt△CEF中，CE＝1，那么EF＝，CF＝．‎ 在Rt△BEF中，BF＝，所以tan∠EBF＝．‎ 所以tan∠PBP′＝．‎ ‎【解法3】如图5，以BC为斜边构造等腰直角三角形BCE，点E在BC的左侧，那么点P在射线BE上．‎ 设E(a, b)．由得 解得，．‎ 于是tan∠EBH＝．‎ 图4 图5‎ ‎【解法4】如图6，绕BC的中点N将点B顺时针旋转90°得到点M，那么点P在射线BM上．‎ 设M(m, n)，已知N．‎ 由得 解得，．于是tan∠MBO＝．‎ ‎【解法5】如图7，绕点C将点B顺时针旋转90°得点B′，那么B′(－4, 1)．‎ 所以tan∠B′BO＝．‎ 图6 图7‎ ‎【解法6】如图8，作点D(4, 0)．‎ 将△CBD绕点C逆时针旋转90°得到△CD′B′，那么△CDD′和△CBB′是等腰直角三角形，B′D′⊥x轴．所以点P在BB′上．‎ 由B′D′＝1，BD′＝7，可得tan∠B′BD′＝．‎ ‎【解法7】如图9，作点D(4, 0)和点F(－1, 0)，那么△EOF和△COD是等腰直角三角形．于是可得△BEF∽△CBD．所以．‎ 设OE＝OF＝m，那么EF＝，BF＝3＋m．所以．‎ 解得．于是tan∠EBO＝．‎ 图8 图9‎ ‎【解法8】如图10，过点B作BC的垂线BG，过点P作BG的垂线，垂足为G．‎ 由于∠CBP＝∠PBG＝45°，所以∠CBO＝∠PBG．所以△CBO∽△PBG．‎ 如图11，设BM＝GM＝3a，PN＝GN＝4a，那么P(3－7a, a)．‎ 将点P(3－7a, a)代入，得．‎ 解得，或a＝0（舍去）．‎ 图10 图11‎