2011-2017新课标高考数学圆锥曲线分类汇编文

2011-2017新课标高考数学圆锥曲线分类汇编文

‎2011-2017新课标(文科)圆锥曲线分类汇编 一、选择填空 ‎【2011新课标】4．椭圆的离心率为（ D ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】，也可以用公式，故选D.‎ ‎【2011新课标】9．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直. l与C交于A, B两点，|AB|=12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为（ C ）‎ A．18 B．24 C．36 D．48‎ ‎【解析】易知2P=12，即AB=12，三角形的高是P=6，所以面积为36，故选C.‎ ‎【2012新课标】4．设F1、F2是椭圆E：(a>b>0)的左、右焦点，P为直线上一点，△F1PF2是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ C ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】∵△F2PF1是底角为30º的等腰三角形，，，∴=，，，故选C.‎ ‎【2012新课标】10．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，，则C的实轴长为（ ）‎ A． B． C．4 D．8‎ ‎【解析】由题设知抛物线的准线为：，设等轴双曲线方程为：，将代入等轴双曲线方程解得=，∵=，∴=，解得=2，∴的实轴长为4，故选C.‎ ‎【2013新课标1】4. 已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为(　　 )‎ A． B． C． D．y＝±x ‎【解析】∵，∴，即，∵c2＝a2＋b2，∴.∴.‎ ‎∵双曲线的渐近线方程为，∴渐近线方程为，故选C。‎ ‎【2013新课标1】8. O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝的焦点，P为C上一点，若|PF|＝，则△POF的面积为(　C　)．‎ A．2 B． C． D．4‎ ‎【解析】利用|PF|＝，可得xP＝，∴yP＝，∴S△POF＝|OF|·|yP|＝。‎ ‎【2013新课标2】5. 设椭圆C：(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为(　 D 　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】如图所示，在Rt△PF1F2中，|F1F2|＝2c，设|PF2|＝x，则|PF1|＝2x，由tan 30°＝，得，‎ 而由椭圆定义得，|PF1|＋|PF2|＝2a＝3x，‎ ‎∴，∴.‎ ‎【2013新课标2】10. 抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为(　C　)．‎ A．y＝x－1或y＝－x＋1 B．y＝或y＝‎ C．y＝或y＝ D．y＝或y＝‎ ‎【解析】由题意可得抛物线焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1，‎ 当直线l的斜率大于0时，如图所示，过A，B两点分别向准线x＝－1作垂线，‎ 垂足分别为M，N，则由抛物线定义可得，|AM|＝|AF|，|BN|＝|BF|.‎ 设|AM|＝|AF|＝3t(t＞0)，|BN|＝|BF|＝t，|BK|＝x，而|GF|＝2，‎ 在△AMK中，由，得，‎ 解得x＝2t，则cos∠NBK＝，‎ ‎∴∠NBK＝60°，则∠GFK＝60°，即直线AB的倾斜角为60°.‎ ‎∴斜率k＝tan 60°＝，故直线方程为y＝．‎ 当直线l的斜率小于0时，如图所示，‎ 同理可得直线方程为y＝，故选C.‎ ‎【2014新课标1】（4）已知双曲线的离心率为2，则（ D ）‎ A. 2 B. C. D. 1‎ ‎【解析】：由双曲线的离心率可得，解得，选D.‎ ‎【2014新课标2】10. 设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为的直线交于C于 两点，则=（ C ）‎ ‎（A） （B）6 （C）12 （D）‎ ‎【2014新课标2】12. 设点，若在圆上存在点N，使得,则的取值范围是（ A ）‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎【2015新课标1】（5）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y²=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个焦点，则|AB|=（ B ）‎ ‎（A）3 （B）6 （C）9 （D）12 ‎ ‎【2015新课标1】16. 已知F是双曲线C：x2-=1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0,6）.当△APF周长最小是，该三角形的面积为 ‎12‎‎6‎ 。‎ ‎【2015新课标2】15．已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程 。‎ ‎【2016新课标1】5. 直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（ B ）‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎【2016新课标1】15. 设直线y=x+2a与圆C：x2+y2-2ay-2=0相交于A，B两点，若AB‎=2‎‎3‎，则圆C的面积为 。‎ ‎【2016新课标2】5. 设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=（k>0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=（ D ）‎ ‎（A） （B）1 （C） （D）2‎ ‎【解析】，又因为曲线与交于点，轴，所以，所以，选D.‎ ‎【2016新课标2】6. 圆x2+y2−2x−8y+13=0的圆心到直线ax+y−1=0的距离为1，则a=（ A ）‎ ‎（A）− （B）− （C） （D）2‎ ‎【解析】圆心为，半径，所以，解得，故选A.‎ ‎【2016新课标3】12. 已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B 分别为C的左，右顶点，.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（ A ）‎ ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎【2016新课标3】（15）已知直线l：圆x2+y2=12交于A、B两点，过A、B分别作l的垂线与x轴交于C、D两点，则|CD|= 4 .‎ ‎【2017新课标1】5．已知F是双曲线C：x2-=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3).则△APF的面积为（ D ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【2017新课标1】12．设A、B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是（ A ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【2017新课标2】5.若＞1，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解析】a＞1，则双曲线﹣y2=1的离心率为：==∈（1，），选C ‎【2017新课标2】12.过抛物线C:y2=4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为（ C ） ‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0），且斜率为的直线：y=（x﹣1），‎ 过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），l 可知：，解得M（3，2），可得N（﹣1，2），NF的方程为：y=﹣（x﹣1），即，则M到直线NF的距离为：=2，故选C．‎ ‎【2017新课标3】11．已知椭圆C：，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为（ A ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】由题意可得：，得，又，，‎ ‎【2017新课标3】14．双曲线（a>0）的一条渐近线方程为，则a= 5 .‎ ‎【解析】 渐近线方程为，由题知，所以。‎ 二、解答题 ‎【2011新课标】20. 在平面直角坐标系xOy中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上。‎ ‎（1）求圆C的方程；‎ ‎（2）若圆C与直线交与A，B两点，且，求a的值.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）曲线与坐标轴的交点为（0,1），故可设圆的圆心坐标为 ‎（3，t），则有，解得t=1，圆的半径为，‎ 所以圆的方程为。‎ ‎（2）设A(x1, y1)，B(x2, y2)坐标满足方程组，消去y得到方程，由已知可得判别式△=56-16a-4a2>0，‎ 由韦达定理可得，①，‎ 由OA⊥OB，可得，又，‎ ‎∴②，由①②可得a=-1，满足△>0，故a=-1.‎ ‎【2012新课标】20. 设抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点。‎ ‎（1）若∠BFD=90º，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；‎ ‎（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值。‎ ‎【解析】‎ ‎（1）设准线l于y轴的焦点为E，圆F的半径为，则|FE|=，|FA|=|FB|=|FD|=，E是BD的中点，∵，‎ ‎∴，|BD|=，设A(，)，根据抛物线定义得，|FA|=，∵的面积为，∴===，‎ 解得=2，∴F(0,1), |FA|=，∴圆F的方程为：.‎ ‎（2）【方法1】∵，，三点在同一条直线上, ∴是圆的直径，，‎ 由抛物线定义知，∴，∴的斜率为或－，‎ ‎∴直线的方程为：，∴原点到直线的距离=，‎ 设直线的方程为：，代入得，，‎ ‎∵与只有一个公共点， ∴=，∴，‎ ‎∴直线的方程为：，∴原点到直线的距离=，‎ ‎∴坐标原点到，距离的比值为.‎ ‎【方法2】由对称性设，则，点关于点对称得：得，‎ 直线， 切点，‎ 直线，‎ 坐标原点到距离的比值为 ‎【2013新课标1】21. 已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C。‎ ‎(1)求C的方程；‎ ‎(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|。‎ ‎【解析】由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3。‎ 设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R。‎ ‎(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.‎ 由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为(x≠－2)．‎ ‎(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，‎ 所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R＝2。‎ 所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4‎ 若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝。‎ 若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则，‎ 可求得Q(－4,0)，所以可设l：y＝k(x＋4)，由l与圆M相切得＝1，解得k＝.‎ 当k＝时，将代入，‎ 并整理得7x2＋8x－8＝0，解得x1,2＝，所以|AB|＝|x2－x1|＝.‎ 当k＝时，由图形的对称性可知|AB|＝，综上，|AB|＝或|AB|＝。‎ ‎【2013新课标2】20. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为在y轴上截得线段长为。‎ ‎(1)求圆心P的轨迹方程；‎ ‎(2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程。‎ ‎【解析】‎ ‎(1)设P(x，y)，圆P的半径为r，由题设y2＋2＝r2，x2＋3＝r2，从而y2＋2＝x2＋3，‎ 故P点的轨迹方程为y2－x2＝1.‎ ‎(2)设P(x0，y0)，由已知得，又P点在双曲线y2－x2＝1上，‎ 从而得 由得 此时，圆P的半径r＝，‎ 由得 此时，圆P的半径，‎ 故圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3或x2＋(y＋1)2＝3.‎ ‎【2014新课标1】20. 已知点，圆:，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点。‎ ‎（1）求的轨迹方程；‎ ‎（2）当时，求的方程及的面积。‎ ‎【参考答案】：（1）圆C的方程可化为,所以圆心为 C(0,4),半径为 4。‎ 设M(x,y),则，，,由题设知,‎ 故，即 由于点P 在圆C 的内部,所以M 的轨迹方程是 ‎ ‎(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N(1,3)为圆心, 2 为半径的圆。‎ 由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P 在圆N 上,从而ON⊥PM，因为ON 的斜率为3,所以的斜率为,‎ 直线的方程为：‎ 又，到的距离为，，所以的面积为：。‎ ‎【2014新课标2】20. 设分别是椭圆：（a>b>0）的左右焦点，M是上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为N。‎ ‎（1）若直线MN的斜率为，求的离心率；‎ ‎（2）若直线MN在y轴上的截距为2且|MN|=5|F1N|，求a，b。‎ ‎【解析】‎ ‎（1）根据及题设知，将代入，解得（舍去），故的离心率为 ‎（2）由题意，原点为的中点，轴，‎ 所以直线与轴的交点是线段的中点，故，即 ①‎ 由得。‎ 设，由题意知，则即 代入的方程，得 ②‎ 将①及代入②得，‎ 解得，故 ‎【2015新课标1】20. 已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.‎ ‎（1）求K的取值范围；‎ ‎（2）若· =12，其中0为坐标原点，求︱MN︱.‎ ‎【2015新课标2】已知椭圆：的离心率为，点在C上。‎ ‎(1)求的方程；‎ ‎(2)直线不过原点O且不平行于坐标轴，与有两个交点,，线段的中点为。证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）如图所示，由题设得 又点的坐标满足椭圆的方程，所以，‎ 联立解得： ‎ ‎（2）设A,B两点的坐标为 ‎ 上面两个式子相减得：‎ ‎（定值）‎ ‎【2016新课标1】20. 在直角坐标系中，直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由已知得，，又为关于点的对称点，故，‎ 的方程为，代入整理得，解得，‎ ‎，因此，所以为的中点，即.‎ ‎（2）直线与除以外没有其它公共点.理由如下：‎ 直线的方程为，即.代入得，解得，即直线与只有一个公共点，所以除以外直线与没有其它公共点。‎ ‎【2016新课标2】21. 已知A是椭圆E：的左顶点，斜率为的直线交E与A，M两点，点N在E上，.‎ ‎（1）当时，求的面积 ‎（2）当时，证明：。‎ ‎【解析】‎ ‎（1）椭圆的左顶点为，‎ 因为且，所以为等腰直角三角形，所以轴．‎ 设交轴与点，所以为等腰直角三角形，所以得，‎ 因为点在椭圆上，所以，‎ 整理得，解得或（舍去）．所以的面积。‎ ‎（2）设直线方程，联立椭圆直线方程，消去整理得．‎ 设点，于是，‎ 所以，所以， 因为，所以．因为，所以，‎ 即，设，则，所以函数在区间内单调递增，因为，，所以函数的零点，即的取值范围是。‎ ‎【2016新课标3】20. 已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.‎ ‎（1）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；‎ ‎（2）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程。‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题设，设，则，‎ 且.‎ 记过两点的直线为，则的方程为 由于在线段上，故，记的斜率为，的斜率为，则 ‎，所以 ‎（2）设与轴的交点为，则 由题设可得，所以（舍去），.‎ 设满足条件的的中点为.，‎ 当与轴不垂直时，由可得，‎ 而，∴；‎ 当与轴垂直时，与重合。所以，所求轨迹方程为 ‎ ‎【2017新课标1】20. 设A，B为曲线C：y=x‎2‎‎4‎上两点，A与B的横坐标之和为4.‎ ‎（1）求直线AB的斜率；‎ ‎（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程。‎ ‎【解析】‎ ‎（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，，x1+x2=4，‎ 于是直线AB的斜率。‎ ‎（2）由，得，设M（x3，y3），由题设知，解得，于是M（2，1）。‎ 设直线AB的方程为，故线段AB的中点为N（2,2+m），|MN|=|m+1|。‎ 将代入得，当，即时，。‎ 从而，由题设知，即，解得.‎ 所以直线AB的方程为。‎ ‎【2017新课标2】20. 设O为坐标原点，动点M在椭圆C：+y2=1上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足=．‎ ‎（1）求点P的轨迹方程；‎ ‎（2）设点Q在直线x=﹣3上，且•=1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），设P（x，y），由点P满足=．‎ 可得（x﹣x0，y）=（0，y0），可得x﹣x0=0，y=y0，即有x0=x，y0=，‎ 代入椭圆方程+y2=1，可得+=1，即有点P的轨迹方程为圆x2+y2=2；‎ ‎（2）设Q（﹣3，m），P（cosα，sinα），（0≤α＜2π），‎ ‎•=1，可得（cosα，sinα）•（﹣3﹣cosα，m﹣sinα）=1，‎ 即为﹣3cosα﹣2cos2α+msinα﹣2sin2α=1，解得m=，‎ 即有Q（﹣3，），椭圆+y2=1的左焦点F（﹣1，0），‎ 由kOQ=﹣，kPF=，由kOQ•kPF=﹣1，‎ 可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。‎ ‎【2017新课标3】20. 在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx–2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)，当m变化时，解答下列问题：‎ ‎（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；（2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值。‎ ‎【解析】‎ ‎（1）令，，又，，为的根，‎ ‎ 假设成立， ，，‎ ‎ 不能出现的情况 ‎（2）令圆与轴的交点为，，令圆的方程为 令得的根为， ， 令得……. ①‎ 点在①上， 解得或 ‎ 在轴上的弦长为3，为定值。‎