- 2021-04-13 发布 |
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文档介绍
八年级下册数学教案 4-3 第1课时 平方差公式 北师大版
4.3 公式法 第1课时 平方差公式 [来源:Zxxk.Com] 1.理解平方差公式,弄清平方差公式的形式和特点;(重点) 2.掌握运用平方差公式分解因式的方法,能正确运用平方差公式把多项式分解因式.(难点) 一、情境导入 1.同学们,你能很快知道992-1是100的倍数吗?你是怎么想出来的?请与大家交流. 2.你能将a2-b2分解因式吗?你是如何思考的? 二、合作探究 探究点一:用平方差公式因式分解 【类型一】 判定能否利用平方差公式分解因式 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( ) A.a2+(-b)2 B.5m2-20mn C.-x2-y2 D.-x2+9 解析:A中a2+(-b)2符号相同,不能用平方差公式分解因式,错误;B中5m2-20mn两项都不是平方项,不能用平方差公式分解因式,错误;C中-x2-y2符号相同,不能用平方差公式分解因式,错误;D中-x2+9=-x2+32,两项符号相反,能用平方差公式分解因式,正确.故选D. 方法总结:能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式,两项都能写成平方的形式,且符号相反. [来源:学科网] 【类型二】 利用平方差公式分解因式 分解因式: (1)a4-b4;(2)x3y2-xy4. 解析:(1)a4-b4可以写成(a2)2-(b2)2的形式,这样可以用平方差公式进行分解因式,而其中有一个因式a2-b2仍可以继续用平方差公式分解因式;(2)x3y2-xy4有公因式xy2,应先提公因式再进一步分解因式. 解:(1)原式=(a2+b2)(a2-b2)=(a2+b2)(a-b)(a+b); (2)原式=xy2(x2-y2)=xy2(x+y)(x-y). 方法总结:分解因式前应先分析多项式的特点,一般先提公因式,再套用公式.分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止. 【类型三】 利用因式分解整体代换求值 已知x2-y2=-1,x+y=,求x-y的值. 解析:已知第一个等式左边利用平方差公式化简,将x+y的值代入计算即可求出x-y的值. 解:∵x2-y2=(x+y)(x-y)=-1,x+y=,∴x-y=-2. 方法总结:有时给出的条件不是字母的具体值,就需要先进行化简,求出字母的值,但有时很难或者根本就求不出字母的值,根据题目特点,将一个代数式的值整体代入可使运算简便. 探究点二:用平方差公式因式分解的应用 【类型一】 利用因式分解解决整除问题 248-1可以被60和70之间某两个自然数整除,求这两个数. 解析:先利用平方差公式分解因式,再找出范围内的解即可.[来源:学.科.网] 解:248-1=(224+1)(224-1)=(224+1)(212+1)(212-1)=(224+1)(212+1)(26+1)(26-1).∵26=64,∴26-1=63,26+1=65,∴这两个数是65和63. 方法总结:解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式,然后分析被哪些数或式子整除. 【类型二】 利用平方差公式进行简便运算 利用因式分解计算: (1)1012-992; (2)5722×-4282×. 解析:(1)根据平方差公式进行计算即可;(2)先提取公因式,再根据平方差公式进行计算即可. 解:(1)1012-992=(101+99)(101-99)=400; (2)5722×-4282×=(5722-4282)×=(572+428)(572-428)×=1000×144×=36000. 方法总结:一些比较复杂的计算,如果通过变形转化为平方差公式的形式,则可以使运算简便.[来源:学&科&网Z&X&X&K] 【类型三】 因式分解的实际应用 如图,100个正方形由小到大套在一起,从外向里相间画上阴影,最里面一个小正方形没有画阴影,最外面一层画阴影,最外面的正方形的边长为100cm,向里依次为99cm,98cm,…,1cm,那么在这个图形中,所有画阴影部分的面积和是多少? [来源:学科网ZXXK] 解析:相邻两正方形面积的差表示一块阴影部分的面积,而正方形的面积是边长的平方,所以能用平方差公式进行因式分解. 解:每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积的差,而正方形的面积是其边长的平方,这样就可以逆用平方差公式计算了.则S阴影=(1002-992)+(982-972)+…+(32-22)+1=100+99+98+97+…+2+1=5050(cm2). 答:所有阴影部分的面积和是5050cm2. 方法总结:首先应找出图形中哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的,通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解.探寻规律要认真观察、仔细思考,善用联想来解决这类问题. 三、板书设计 1.平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b); 2.平方差公式的特点:能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式,两项都能写成平方的形式,且符号相反. 运用平方差公式因式分解,首先应注意每个公式的特征.分析多项式的次数和项数,然后再确定公式.如果多项式是二项式,通常考虑应用平方差公式;如果多项式中有公因式可提,应先提取公因式,而且还要“提”得彻底,最后应注意两点:一是每个因式要化简,二是分解因式时,每个因式都要分解彻底.查看更多