2015年高考真题——数学理(新课标Ⅰ)原卷版

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2015年高考真题——数学理(新课标Ⅰ)原卷版

绝密★启封并使用完毕前 试题类型:A 2015 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答 在本试题上无效. 4. 考试结束后,将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 (1)设复数 z 满足 = ,则|z|=( ) (A)1 (B) (C) (D)2 (2) =( ) (A) (B) (C) (D) [来源:学科网 ZXXK] (3)设命题 : ,则 P 为( ) (A) (B) (C) (D) [来源:学+科+网 Z+X+X+K] (4)投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6,且 各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( ) (A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312 (5)已知 M( )是双曲线 C: 上的一点, 是 C 上的两个焦点,若 , 则 的取值范围是( ) (A)(- , ) (B)(- , ) 1+z 1 z i 2 3 o o o osin 20 cos10 cos160 sin10 3 2 3 2 1 2 1 2 p 2, 2nn N n   p 2, 2nn N n   2, 2nn N n   2, 2nn N n   2, =2nn N n  0 0,x y 2 2 12 x y  1 2,F F 1 2 0MF MF   0y 3 3 3 3 3 6 3 6 (C)( , ) (D)( , ) (6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺, 高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米 堆为一个圆锥的四分之一),米堆 为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧度为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?” 已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放斛的米约有( ) (A)14 斛 (B)22 斛 (C)36 斛 (D)66 斛 (7)设 为 所在平面内一点 ,则( ) (A) (B) (C) (D) (8)函数 = 的部分图像如图所示,则 的单调递减区间为( ) (A) (B) (C) (D) (9)执行右面的程序框图, 如果输入的 t=0.01,则输出的 n=( ) (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 (10) 的展开式中, 的系数为( ) 2 2 3 2 2 3 2 3 3 2 3 3 D ABC 3BC CD  1 4 3 3AD AB AC     1 4 3 3AD AB AC    4 1 3 3AD AB AC    4 1 3 3AD AB AC    ( )f x cos( )x  ( )f x 1 3( , ),4 4k k k Z    1 3(2 ,2 ),4 4k k k Z    1 3( , ),4 4k k k Z   1 3(2 ,2 ),4 4k k k Z   2 5( )x x y  5 2x y (A)10 (B)20 (C)30 (D)60 (11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视 图如图所示.若该几何体的表面积为 16 + 20 ,则 r=( ) (A )1 (B)2 (C)4 (D)8 12.设函数 = ,其中 a 1,若存在唯一的整数 ,使得 0,则 的取值范围 是( ) (A)[- ,1) (B)[- , ) (C)[ , ) (D)[ ,1) 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答。第(22) 题~第(24)题未选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分 (13)若函数 f(x)= 为偶函数,则 a= (14)一个圆经过椭圆 的三个顶点,且圆心在 x 轴正半 轴上,则该圆的标准方程为 . (15)若 满足约束条件 ,则 的最大值为 .[来源:Zxxk.Com] (16)在平面四边形 ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则 AB 的取值范围是 . 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 12 分) 为数列{ }的前 项和.已知 >0, = . (Ⅰ)求{ }的通项公式; (Ⅱ)设 ,求数列{ }的前 项和. 18.如图,,四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面 ABCD 同一侧的两点,BE⊥平面 ABCD,DF⊥  ( )f x (2 1)xe x ax a   0x 0( )f x a 3 2e 3 2e 3 4 3 2e 3 4 3 2e 2ln( )x x a x  2 2 116 4 x y  ,x y 1 0 0 4 0 x x y x y          y x nS na n na 4 3nS  na 1 1 n n n b a a   nb n 平面 ABCD,BE=2DF,AE⊥EC. (Ⅰ)证明:平面 AEC⊥平面 AFC (Ⅱ)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值 (19)某公司为确定下一年度投入某种产品 的宣传费,需了解年宣传费 x(单位:千元)对年销售量 y(单 位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响,对近 8 年的年宣传费 和年销售量 ( =1,2,···,8)数据作 了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值. 46.6 563 6.8[来 源:学科网 ZXXK] 289.8 1.6 1469 108.8 表中 , = (Ⅰ)根据散点图判断,y=a+bx 与 y=c+d 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型? (给出判断即可,不必说明理由) (Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (Ⅲ)已知这种产品的年利率 z 与 x 、y 的关系为 z=0.2y-x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题: (ⅰ)年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少?[来源:学。科。网] (ⅱ)年宣传费 x 为何值时,年利率的预报值最大? ix iy i x y w 8 2 1 ( )i i x x   8 2 1 ( )i i w w   8 1 ( )( )i i i x x y y    8 1 ( )( )i i i w w y y    i iw x w 1 8 8 1 i i w   x 附:对于一组数据 , ,……, ,其回归线 的斜率和截距的最小二乘估计分 别为: , (20)(本小题满分 12 分) 在直角坐标系 中,曲线 C:y= 与直线 ( >0)交与 M,N 两点, (Ⅰ)当 k=0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程; (Ⅱ)y 轴上是否存在点 P,使得当 k 变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由. (21)(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)= (Ⅰ)当 a 为何值时,x 轴为曲线 的切线; (Ⅱ)用 表示 m,n 中的最小值,设函数 ,讨论 h(x)零 点的个数. 请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做第 一个题目计分,做答时,请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 (22)(本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 是 O 的直径,AC 是 O 的切线,BC 交 O 于 E. (Ⅰ)若 D 为 AC 的中点,证明:DE 是 O 的切线; (Ⅱ)若 ,求∠ACB 的大小. (23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 中,直线 : = 2,圆 : ,以坐标原点为极点, 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系。 (Ⅰ)求 , 的极坐标方程; 1 1( , )u v 2 2( , )u v ( , )n nu v v u    1 2 1 ( )( ) = ( ) n i i i n i i u u v v u u          =v u  xoy 2 4 x y kx a  a 3 1 , ( ) ln4x ax g x x    ( )y f x min  ,m n ( ) min ( ), ( ) ( 0)h x f x g x x      3OA CE xOy 1C x  2C    2 21 2 1x y    x 1C 2C (Ⅱ)若直线 的极坐标方程为 ,设 与 的交点为 , ,求 的面积. (24)(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 =|x+1|-2|x-a|,a>0. (Ⅰ)当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; (Ⅱ)若 f(x)的图像与 x 轴围成的三 角形面积大于 6,求 a 的取值范围. 3C  4 R   2C 3C M N 2C MN
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