1953年高考数学试题

1953年高考数学试题

‎1953年试题 一、下列十题顺次解答,不必抄题（但须写明题号:甲,乙,丙……）,结果务须明确,过程可以简单。‎ 乙、若 3x2+kx+12=0之二根相等,求k.‎ 戊、求tan(870°)‎ 庚、两三角形相似之条件为何？（把你所知道的都写出来）‎ 辛、长方体之长、宽、高为12寸,3寸,4寸,求对角线之长.‎ 壬、垂直三棱柱之高为6寸,底面三边之长为3寸,4寸,5寸,求体积.‎ 癸、球之表面积为36π方寸,求体积.‎ ‎ ‎ ‎ [Key] ‎ 一、下列十题顺次解答,不必抄题（但须写明题号:甲,乙,丙……）,结果务须明确,过程可以简单。‎ 甲、将原方程整化得6(x2+1)=10(x2-1),故4x2=16,x=±2.‎ 丙、原行列式=3×4×5-6×7-4×7+2×5‎ ‎=60-42-28+10=0.‎ 庚、(i) ∠A=∠A′,∠B=∠B′;‎ ‎(ii) ∠A=∠A′,AB∶A′B′=AC∶A′C′;‎ ‎(iii) AB∶A′B′=AC∶A′C′=BC∶B′C′;‎ 三者各为△ABC棥A′B′C′之条件.‎ 壬、因32+42=52,故底面为直角三角形,‎ 其面积为 棱柱体积=6×6立方寸=36立方寸.‎ 癸、设球的半径为R寸,则4πR2=36π,∴ R=3.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ [Key] 二、解:原方程组消去常数项,得 ‎2x2+5xy-12y2=0‎ 将此方程左边分解因式,得 ‎(x+4y)(2x-3y)=0,‎ 即 x+4y=0,2x-3y=0.‎ 解方程组(Ⅰ),得 解方程组(Ⅱ),得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ [Key] ‎ ‎ 四、锐角三角形ABC之三高线为AD,BE,CF,垂心为H;求证HD平分 ‎∠EDF.‎ ‎ ‎ ‎ [Key] 四、证明:由于AD⊥BC,BE⊥CA,‎ ‎∴ 点A,B,D,E共圆.‎ 故 ∠ADE=∠ABE.‎ 又因点F,B,C,E共圆,‎ ‎∴ ∠FBE=∠FCE.‎ 又因点C,A,F,D共圆,‎ ‎∴ ∠FCA=∠FDA.‎ 综上可得∠ADE=∠FDA,‎ 即AD平分∠EDF.‎ ‎(2)由二项展开式的通项公式:‎ 令 36-4r=0,‎ ‎∴ r=9.‎ 故常数项为 ‎ ‎ 五、已知三角形的两个角为45°及60°,而其夹边长1尺;求最小边之长及面积.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ [Key] 五、解:已知∠B=45°,∠C=60°,于是∠A=75°.‎ 由正弦定理得