江苏省扬州市2021届高三上学期1月适应性练习数学试题 Word版含答案

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高三数学试卷 第 1页 扬州市 2020—2021 学年度第一学期高三适应性练习试题 高三数学 2021.1 （全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟） 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分. 在每小题给出的选项中，只有一项符合要求)． 1．已知集合 { | ( 2)( 1) 0}A x x x    ， { | 2 0}B x x    ，则 A B  （ ） A．[ 1,0) B． ( 2, 1]  C． (0,2] D．[ 1, 2] 2．已知复数 z满足 (1 i) 2iz  ，则 z的共轭复数 z 在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．    52 1 2x x  展开式中，含 2x 项的系数为（ ） A． 70 B．30 C． 150 D．90 4．如图是某品牌手机的商标图案，制作时以曲线段 AB为分界线，裁去一部分图形而成，已知该分界线 是一段半径为 R的圆弧，若圆弧的长度为 2 3 R ，则 A,B两点间的距离为（ ） A． R B． 2R C． 3R D． 2R 5．已知正 ABC 的边长为 2， P是 AB边上一点，且 2BP PA   ，则 )CP CA CB      （ ） A．1 B． 2 C． 4 D． 6 6．过抛物线 2 4y x焦点 F 的直线 l交抛物线于 ,A B两点（点 A在第一象限），若直线 l的倾斜角 为60，则 | | | | AF BF 的值为（ ） A． 2 B．3 C． 3 2 D． 5 2 7．已知数列 na 是各项均为正数的等比数列，若 3 2 5a a  ，则 4 28a a 的最小值为（ ） A．40 B．20 C．10 D． 5 8．已知函数   ln , 0 2 4 , 0      x x x f x x e x ，若 1 2x x 且    1 2f x f x ，则 1 2x x 的最大值为（ ） A． 12 e e B． 2 1e C． 5e D． 5 2 e 二、多项选择题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0分) 9.下列说法中正确的是（ ） A.“ a b ”是“ 2 2a b ”的既不充分又不必要条件; B. “ 2x  ”是“1, ,4x 成等比数列”的充分不必要条件; 高三数学试卷 第 2页 C. “ 0, 0m n  ”是“方程 2 2 1x y m n   表示双曲线”的必要不充分条件; D. 对于函数 ( )f x ，“ (0) 0f  ”是“函数 ( )f x 为奇函数”的充要条件. 10. 已知函数 ( ) sin( )( 0,| | ) 2 f x x        的部分图像如图所示，则下列 说法中正确的是（ ） A. ( ) ( )f x f x  B. ( ) ( )f x f x   C. 2( ) ( ) 3 f x f x   D. 2( ) ( ) 3 f x f x    11．如图，正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 的棱长为1，线段 1 1B D 上有两个动点 ,E F，且 1EF  ，则下列说法中正确的是（ ） A．存在点 ,E F使得 //AE BF B．异面直线EF与 1C D所成的角为60 C．三棱锥 B AEF 的体积为定值 2 12 D． 1A 到平面 AEF 的距离为 3 3 12．16 世纪时，比利时数学家罗门向全世界数学家提出了一个具有挑战性的问题：“45 次方程 45 43 41 5 345 945 95364 3795 45x x x x x x C      的根如何求？”，法国数学家韦达利用三角知识 成功解决了该问题，并指出当 2sinC  时，此方程的全部根为 22sin( ), ( 0,1,2, ,44) 45 kx k     ， 根据以上信息可得方程 45 43 41 5 345 945 95364 3795 45 0x x x x x x      的根可以是（ ） A． 3 B． 1 C． 3 D． 2 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．已知长方体的长、宽、高分别为10,8,6( )cm ，则该长方体的外接球的半径 R  ( )cm ． 14．某种型号的机器使用总时间 x（年）（其中 4,x x N   ）与所需支出的维修总费用 y（万元）的统 计数据如下表：根据表中数据可得 y 与 x之间的线性回归方程为 ˆ ˆ0.7y x a  ，若该设备维修总费用超过 12 万元就报废，据此模型预 测该设备最多可使用__________年.（填整数） 15．几何学中有两件瑰宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，其中顶角为 36o的等腰 三角形被称为“黄金三角形”.如图，已知五角星是由 5 个“黄金三角形”与 1个正五 边形组成，且 5 1 2 BC AC   . 记阴影部分的面积为 1S ，正五边形的面积为 2S ，则 1 2 =S S ． x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 高三数学试卷 第 3页 16．已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a b a b     的右顶点为 A， 以 A为圆心，b为半径的圆与双曲线的一 条渐近线交于 ,M N两点，若 2OM ON   （其中O为坐标原点），则双曲线的离心率为 ． 四、解答题（本大题共 6 小题，计 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 10 分） 在 ABC 中，角 , ,A B C的对边分别为 , ,a b c， ABC 的面积为 S， cos sin 2 Ba b A ． （1）求 B； （2）若 5b  ， ，求 S． 请在① 5 3 3 a  ，② tan( ) 2 3 4 A     ，③ 2 2 2b c a bc   这三个条件中任选一个，补充在上面的 问题中，并加以解答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（本小题满分 12 分） 已知数列{ }na 的前 n项和为 nS ，且满足 1 1 2 a  ， * 11 2 ,n nS a n N   ． （1）求数列{ }na 的通项公式； （2）若 1 2 logn nb a ，且 2 1 4 1n n c b   ，求数列{ }nc 的前 n项和 nT ． 19．（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥P ABCD 中，四边形 ABCD是长方形， PAB ABCD平面 平面 ， PAD ABCD平面 平面 ， （1）证明：PA平面 ABCD； （2）若 2, 3PA AD AB   ， E为 PD中点， 求二面角 A BE C  的余弦值. 高三数学试卷 第 4页 20．（本小题满分 12 分） 为了了解扬州市高中生周末运动时间，随机调查了3000名学生，统计了他们的周末运动时间，制成如下 的频率分布表： 周末运动时间 t（分钟） [30 40)， [40 50)， [50 60)， [60 70)， [70 80)， [80 90]， 人数 300 600 900 450 450 300 （1）从周末运动时间在[70 80)， 的学生中抽取3人，在[80 90]， 的学生中抽取 2人，现从这5人中随机推荐 2人参加体能测试，记推荐的 2人中来自[70 80)， 的人数为 X ，求 X 的分布列和数学期望； （2）由频率分布表可认为：周末运动时间 t服从正态分布 2( , )N   ，其中 为周末运动时间的平均数 t ，  近似为样本的标准差 s，并已求得 14.6s  . 可以用该样本的频率估计总体的概率，现从扬州市所有高 中生中随机抽取10名学生，记周末运动时间在 (43.9,87.7]之外的人数为Y ，求 ( 2)P Y  （精确到0.001）； 参考数据 1：当 2( , )t N   时， ( ) 0.6827, ( 2 2 ) 0.9545,P t P t                 ( 3 3 ) 0.9973P t        . 参考数据 2： 8 20.8186 0.202,0.1814 0.033   21．（本小题满分 12 分） 已知椭圆 2 2 2 2: 1 ( 0)x yC a b a b     的离心率为 1 2 ,左右顶点分别为 ,A B，上下顶点分别为 ,C D， 四边形 ACBD的面积为 4 3， （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆的右焦点 F 的直线 l与椭圆交于 P，Q两点，直线 PB、QB分别交直线 4x  于 ,M N 两点， 判断 BM BN    是否为定值，并说明理由. 22．（本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) lnxf x e a x  ，（其中 a为参数） （1）若 1a  ，且直线 1y kx  与 ( )y f x 的图象相切，求实数 k 的值； （2）若对任意 (0, )x  ，不等式 ( ) lnf x a a 成立，求正实数 a的取值范围. 高三数学试卷 第 5页 2020—2021 学年度第一学期高三适应性练习 高三数学参考答案 2021.1 1、B 2、C 3、A 4、C 5、D 6、B 7、A 8、D 9、AB 10、AD 11、BCD 12、AC 13、5 2 14、 20 15、 5 16、 2 3 3 17、解：（1）在 ABC 中，因为 cos sin 2 Ba b A ，所以由正弦定理得 sin cos sin sin 2 BA B A   ， 因为 sin 0A  ，所以 cos sin 2 B B ， ……………2分 所以 cos 2sin cos 2 2 2 B B B  因为 cos 0 2 B  ，所以 1sin 2 2 B  ， ……………4分 因为 (0, )B  ，所以 3 B   ……………5分 （2）选①:由正弦定理得 5 3 53 sin sin 3 A   ，即 1sin 2 A  ，因为b a ，所以 6 A   ， 所以 2 C   ，所以 ABC 是直角三角形，所以 1 1 5 3 25 35 2 2 3 6 S ab     . …………10分 选②:由 tan( ) 2 3 4 A     得 tan tan tan 14 2 3 1 tan1 tan tan 4 A A AA         ，解得 3tan 3 A  因为 (0, )A  ，所以 6 A   ， 所以 2 C   ，所以 ABC 是直角三角形，所以 1 1 5 3 25 35 2 2 3 6 S ab     . …………10分 选③：因为 2 2 2b c a bc   ，所以 2 2 2 1cos 2 2 b c aA bc     ， 因为 (0, )A  ，所以 3 A   ，又 3 B   ，所以 ABC 为正三角形，所以 25 3 4 S  …………10分 18、解：（1）因为 11 2n nS a   ，所以 1 1 2n nS a   ， ( 2)n  两式相减得 12 n na a  ， ( 2)n  ……………2分 因为 1 1 2a  ， 11 2n nS a   ，所以令 1n  ，则可得 2 1 1 1(1 ) 2 4 a a   所以 2 1 1 2 a a  又 1 1 02a   ， 2 1 0 4 a   ， 12 n na a  ，所以 0na  （ *n N ） 高三数学试卷 第 6页 所以 1 1 2 n n a a   ，（ *n N ）， ……………5分 所以数列{ }na 是首项为 1 2 、公比为 1 2 的等比数列， 所以 1( )2 n na  ……………6分 注：结果 1( )2 n na  对，但没有说明 2 1 1 2 a a  的扣 2 分 （2）因为 1( )2 n na  ，所以 1 2 logn nb a n  ………… 7 分 所以  2 2 1 1 1 1 1 1 (2 1)(2 1) 2 2 1 2 14 1 4 1n n c n n n nb n           ……………9分 所以 1 2 3n nT c c c c     1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )2 1 3 3 5 2 1 2 1n n            L 1 1(1 )2 2 1 2 1 n n n     ……………12分 19、（1）证明：∵四边形 ABCD为长方形，∴ AB AD ， ∵ PAD ABCD平面 平面 ， PAD ABCD AD 平面 平面 ， AB ABCD平面 ∴ AB 平面 PAD ……………3分 ∵ PA PAD平面 ∴ AB PA . 同理 AD PA ， 又 AB AD A  ， ,AB ABCD AD ABCD 平面 平面 ∴ PA 平面 ABCD . ……………5分 （2）以 A为坐标原点， , ,AB AD AP所在直线分别为 , ,x y z轴，建立如图所示空间直角坐标系 …6分 则            0,0,0 , 3,0,0 , 0, 2,0 , 3, 2,0 , 0,1,1 , 0,0, 2 ,A B D C E P 设  , ,m x y z  为平面 ABE的法向量， ∵ 0 0 m AB m AE           ∴ 0 0 y z x     ，令 1y  ，则 1z   ， ∴平面 ABE的一个法向量  0,1, 1m   . ……………8分 同理可求得平面 BCE的一个法向量  1,0,3n  ， ……………10分 ∴ 3 20cos , 20 m nm n m n          . ∵二面角 A BE C  的大小为钝角 ∴二面角 A BE C  的余弦值为 3 20 20  . ……………12分 注：错将二面角的余弦值写成 3 20 20 的扣 1 分 20、解：（1）随机变量 X 的可能取值为0,1,2， 0 2 1 1 2 0 3 2 3 2 3 2 2 2 2 5 5 5 1 3 3( 0) , ( 1) , ( 2) 10 5 10 C C C C C CP X P X P X C C C          ， ……………3分 X 0 1 2 P 1 10 3 5 3 10 高三数学试卷 第 7页 所以 1 3 3 6( ) 0 1 2 10 5 10 5 E X        ……………5分 （2） 35 300 45 600 55 900 65 450 75 450 85 300 58.5 3000 t               ………7分 又 43.9 58.5 14.6 ,87.7 58.5 14.6 2 2            ， 所以 0.6827 0.9545(43.9 87.7) ( 2 ) 0.8186 2 P t P t              ……………9分 所以 (P t    或 2 ) 1 0.8186 0.1814t       ， 所以 (10,0.1814)Y B ， 所以 2 2 8 10( 2) 0.1814 0.8186P Y C    ……………11分 45 0.033 0.202 0.300    ……………12分 21、解：（1）由题意得 2 2 2 1 2 2 4 3 c a a b c ab         ， ……………….2 分 解得 2 3a b ， ，所以椭圆C的方程为 2 2 1 4 3 x y   . ……………….4 分 （2）方法 1：若直线 l的斜率不存在，则直线 l方程为 1x  ， 此时可得 3 3(1 ) (1 ) 2 2 P Q , , , ， (4 3)M ,- ， (4 3)N , ，所以 5BM BN      . ……………….5 分 若直线 l的斜率存在，设直线 l的方程为 )0)(1(  kxky ,代入 2 2 1 4 3 x y   整理得 2 2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x k x k     ，易得 0 恒成立. 设 1 1 2 2 1 2( ) ( ),( 2)P x y Q x y x x , , , , ， 则 2 2 1 2 1 22 2 8 4 12 3 4 3 4 k kx x x x k k       , ， ………………7 分 由直线 PB的方程 1 1 ( 2) 2 yy x x    可得点 1 1 2(4, ) 2 yM x  ， 由直线QB的方程 2 2 ( 2) 2 yy x x    可得点 2 2 2(4, ) 2 yN x  ， 所以 1 2 1 2 2 2(2, ), (2, ) 2 2 y yBM BN x x       ……………….8 分 所以 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 ( ) 14 4 4 2 2 2( ) 4 y y x x x xBM BN k x x x x x x                 ……………….9 分 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 12 8 4 3 94 4 4 4 5 4 12 2 8 4(4 3) 4 k k kk k k k k k                  综上， BM BN    为定值. ……………….12 分 方法 2：显然直线 l的斜率不为 0，设直线 l的方程为 1myx ，代入 2 2 1 4 3 x y   整理得 2 2(3 4) 6 9 0m y my    ，易得 0 恒成立. 设 1 1 2 2 1 2( ) ( ),( 2)P x y Q x y x x , , , , ，则 1 2 1 22 2 6 9 3 4 3 4 my y y y m m        , ， ………………7 分 由直线 PB的方程 1 1 ( 2) 2 yy x x    可得点 1 1 2(4, ) 2 yM x  ， 高三数学试卷 第 8页 由直线QB的方程 2 2 ( 2) 2 yy x x    可得点 2 2 2(4, ) 2 yN x  ， 所以 1 2 1 2 2 2(2, ), (2, ) 2 2 y yBM BN x x       ……………….8 分 所以 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 44 4 2 2 ( ) 1 y y y yBM BN x x m y y m y y              ……………….9 分 2 2 2 364 4 9 5 9 6 3 4m m m            ……………….12 分 22、解：（1）若 1a  ，则 ( ) ln ( 0)xf x e x x  ， ， 1( ) xf x e x    设切点 0 0 0( , ln )xP x e x ，则 0 00 0 0 ln 1 1x xe x e x x     ，即 0 0 0( 1) ln 0xx e x   ……………….2 分 令 ( ) ( 1) ln ( 0)xx x e x x    ， ，观察得 (1) 0  ， ……………….4 分 又 1( ) 0xx xe x     ，所以 ( )x 在 (0, ) 上递增， 所以方程 0 0 0( 1) ln 0xx e x   的根仅有 0 1x  ，所以 1k e  ……………….5 分 注：观察出 0 1x  是 0 0 0( 1) ln 0xx e x   的根但没有交待唯一性的扣 1 分 （2）方法 1：（直接研究差函数的最小值） 令 ( ) ln ln ( 0)xg x e a x a a x   ， ，则 ( ) x x a xe ag x e x x     , 令 ( ) ( 0)xx xe a x   ， ，则 ( )x 在[0, ) 上递增，且 (0) 0a    ， ( ) ( 1) 0aa a e    ， 所以存在唯一 0 (0, )x a ，使得 0 0 0( ) 0xx x e a    ，所以 当 0(0, )x x 时， ( ) 0g x  ，故函数 ( )g x 单调递减． 当 0( , )x x  时 ( ) 0g x  ，故函数 ( )g x 单调递增． 所以 0 min 0 0( ) ( ) ln lnxg x g x e a x a a    ……………….7 分 0 0 0 1( 2ln )a x x x    ……………….9 分 由 ( ) 0g x  恒成立得 0 0 0 1( 2ln ) 0a x x x    ，即 0 0 0 1 2ln 0x x x    ， 令 1( ) 2ln ( 0)h x x x x x    ， ，则 2 1 2( ) 1 0h x x x       ，所以 ( )h x 在 (0, ) 上递减． 由 (1) 0h  得 ( ) 0h x  的解为 0 1x  ，所以 00 1x  ， ……………….11 分 令 ( ) (0,1)xx xe x  ， ，则 ( )x 在 (0,1)上递增， 所以 0 0 (0, )xa x e e  ，所以0 a e  ． ……………….12 分 方法 2：（构建同构式处理不等式） 由 ( ) lnf x a a 得 ln ln xe a x a   ，即 ln lnx lnae a x   ， 两边同时加 x得 lnln lnx lna xx a e xe      令 ( ) tt tg e  ,则 ( ) ( )ln lng gx a x ， ……………….9 分 ∵ ( )g t 为单调增函数 ∴ ln lnx a x ，即 ln lna x x ， 令 ( ) lnh x x x ,则 1( ) xh x x   ∴  h x 在 (0,1)上单调递减，在 (1, ) 上单调递增，∴ min( ) (1) 0h x h  ， ∴ ln 1a  ，解得0 a e  ． ……………….12 分 高三数学试卷 第 9页