高二数学下学期教学段考试题 文（含解析）

高二数学下学期教学段考试题 文（含解析）

‎【2019最新】精选高二数学下学期教学段考试题 文（含解析）‎ 高二（文科）数学试题 一．选择题（本题有12小题，每小题5分，共60分。）‎ ‎1. 已知命题p：∀x∈R，2x＞0，那么命题¬p为（　　）‎ A. ∃x∈R，2x＜0 B. ∀x∈R，2x＜0‎ C. ∃x∈R，2x≤0 D. ∀x∈R，2x≤0‎ ‎【答案】C ‎【解析】由全称命题的否定与存在性命题之间的关系可得：，应选答案C。‎ ‎2. 设集合A＝{x|x＞－1}，B＝{x||x|≥1}，则“x∈A且x∉B”成立的充要条件是( )‎ A. －1＜x≤1 B. x≤1 C. x＞－1 D. －1＜x＜1‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可知，x∈A⇔x＞－1，x∉B⇔－1＜x＜1，所以“x∈A且x∉B”成立的充要条件是－1＜x＜1.故选D.‎ ‎3. 复平面内，复数对应的点位于 （ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】由题设可知 ，故依据复数的实部与虚部的符号可知该复数对应的点位于第二象限，应选答案B。‎ - 16 - / 16‎ ‎4. 已知椭圆上一点到椭圆的一个焦点的距离等于4，那么点到另一个焦点的距离等于（ ）‎ A. 1 B. 3 C. 6 D. 10‎ ‎【答案】C ‎【解析】由椭圆方程可得 ，由椭圆定义可得点M到另一焦点的距离等于6.故选C。‎ ‎5. 设为可导函数，且，求的值（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析:先将化简得到其等于,再求它的值.‎ 详解: 因为 ‎,故答案为：B 点睛：（1）本题主要考查导数的定义和极限的运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2),分式的分母一定是自变量的增量，上面一定是函数值的增量，如果不满足，就要利用极限运算化简.‎ ‎6. 设点 P 是双曲线 与圆 在第一象限的交点， 是双曲线的两个焦点，且 ，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. 13 D. ‎ - 16 - / 16‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为,,所以,‎ 因为 ，选A.‎ 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ ‎7. 已知为三次函数的导函数，则它们的图象可能是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：先求出g(x)的解析式，再求其零点得解.‎ 详解：,所以的零点为.‎ 故答案为：D - 16 - / 16‎ 点睛：(1)本题主要考查函数求导和函数的零点，考查函数图像的判断，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2)根据解析式找图像时，一般是先找差异再验证，四个选项很明显的是零点不同，所以可以先求函数的零点再判断.‎ ‎8. 函数的零点个数为（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得， ‎ 则在和上单调递增，在单调递减，即 ‎ ，‎ 因此函数有两个零点，故选C.‎ ‎9. 已知抛物线 的焦点为 F ，过点 F 作斜率为1的直线交抛物线 C 于 P,Q 两点，则 的值为（ ）‎ A. B. C. 1 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：求出直线方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求解即可．‎ 详解：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），过点F作斜率为1的直线l：y=x﹣1，‎ 可得，‎ 消去y可得：x2﹣6x+1=0，可得xP+xQ=6，xPxQ=1，‎ ‎|PF|=xP+1，|QF|=xQ+1，‎ ‎|PF||QF|=xQ+xP+xPxQ+1=6+1+1=8，‎ 则 - 16 - / 16‎ 故答案为：C 点睛：（1）本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线的几何性质，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2)圆锥曲线里看到焦半径要联想到曲线的定义，利用该曲线的定义解题，这是一个解题的技巧，本题的|PF|、|FQ|是焦半径，所以要想到抛物线的定义.‎ ‎10. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限接近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14,这就是著名的“徽率”，利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（ ）‎ ‎（参考数据： ）‎ A. 12 B. 24 C. 48 D. 96‎ ‎【答案】C ‎【解析】第1次执行循环体后,S=×6×sin60∘=，不满足退出循环的条件，则n=12，‎ 第2次执行循环体后,S=×12×sin30∘=3，不满足退出循环的条件，则n=24，‎ 第3次执行循环体后,S=×24×sin15∘≈3.1056，不满足退出循环的条件，则n=48，‎ 第4次执行循环体后,S=×48×sin7.5°≈3.132，满足退出循环的条件，‎ - 16 - / 16‎ 故输出的n值为48，‎ 本题选择C选项.‎ ‎11. 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，由此进行了5次实验，收集数据如下：‎ 零件数：个 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ 加工时间：分钟 ‎59‎ ‎71‎ ‎75‎ ‎81‎ ‎89‎ 由以上数据的线性回归方程估计加工100个零件所花费的时间为（ ）‎ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 A. 124分钟 B. 150分钟 C. 162分钟 D. 178分钟 ‎【答案】A ‎【解析】分析：先求出，再求出得到回归直线方程，再令x=100得到加工100个零件所花费的时间.‎ 详解：由题得 ‎，‎ 所以 所以当x=100时，y=124.故答案为：A 点睛：本题主要考查回归分析和回归方程的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的计算能力，考查学生解决实际问题的能力.‎ ‎12.‎ - 16 - / 16‎ ‎ 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，且其渐近线方程为，则双曲线C的方程为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎.....................‎ 考点：1．双曲线的性质与方程．‎ 二、填空题（本题有4小题，每小题5分，共20分。）‎ ‎13. 分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时， ，且，则不等式的解集是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设 ，当 时， ，.‎ ‎ 在 上为增函数.， ‎ 故 为 上的奇函数. 在 上亦为增函数. ，必有 .故 的解集为 .已知 ‎14. 直线与椭圆恒有两个公共点，则的取值范围为____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由直线方程可得直线横过定点，当在椭圆内部时满足题意要求 - 16 - / 16‎ 所以当椭圆焦点在y轴时，满足在椭圆内部，当椭圆焦点在x轴时需满足 所以的取值范围为 考点：椭圆方程及性质 ‎15. 给出下列命题：①“若，则有实根”的逆否命题为真命题：‎ ‎②命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是；‎ ‎③命题“，使得”的否定是真命题；‎ ‎④命题：函数为偶函数；命题：函数在上为增函数，则为真命题．期中正确命题的序号是__________．‎ ‎【答案】①③‎ ‎【解析】试题分析：①若，则，故有实根，原命题为真，所以逆否命题也为真，真确；②命题“，”为真命题，则，所以是充要条件，故不正确；③命题“，使得”的否定是，成立；④函数为偶函数成立，所以命题为真，函数在上为增函数成立，命题也为真，为假，所以为假命题，不正确；故答案为①③.‎ 考点：命题真假的判断.‎ - 16 - / 16‎ ‎【方法点睛】(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“”是真命题，需要对集合中的每个元素，证明成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合中的一个特殊值，使不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个，使成立即可，否则就是假命题.‎ ‎16. 我们把 这些数称为正方形数， 这是因为这些数目的点可以排成正方形(如 图)．‎ 由此可推得第 n 个正方形数是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由此可推得第个正方形数是.‎ 考点：归纳推理.‎ 三、解答题（本题有6小题，共70分。）‎ ‎17. 已知设命题函数为增函数，命题当时，函数恒成立.如果为真命题，为假命题，求的范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：先求出命题成立的等价条件，利用为真命题，为假命题，即可确定实数的范围.‎ 试题解析：由为增函数，.‎ 因为在上为减函数，在上为增函数.‎ 在上最小值为 当时，由函数恒成立得，解得 如果真且假，则，如果假且真，则 所以的取值范围为.‎ - 16 - / 16‎ 考点：复合命题的真假判定与应用．‎ ‎18. 如图，已知椭圆，点B是其下顶点，过点B的直线交椭圆C于另一点A（A点在轴下方），且线段AB的中点E在直线上.‎ ‎（1）求直线AB的方程；‎ ‎（2）若点P为椭圆C上异于A、B的动点，且直线AP,BP分别交直线于点M、N，证明：OM·ON为定值.‎ ‎【答案】（1）（2）6‎ ‎【解析】试题分析：（1）两点确定一条直线，所以只需再确定A点坐标即可，这可利用A在椭圆上及AB中点在直线上联立方程组解得：A（，），从而根据两点式求出直线AB的方程为．‎ ‎（2）本题涉及的条件为坐标，所以用分别表示M点、N点坐标就是解题方法：由A，P，M三点共线，又点M在直线y=x上，解得M点的横坐标，由B，P，N三点共线，点N在直线y=x上，，解得N点的横坐标．所以OM·ON==＝2 ‎ ‎=，又，所以OM·ON====．‎ 试题解析：解：（1）设点E（m，m），由B（0，－2）得A（2m，2m+2）．‎ 代入椭圆方程得，即，‎ - 16 - / 16‎ 解得或（舍）． 3分 所以A（，），‎ 故直线AB的方程为． 6分 ‎（2）设，则，即．‎ 设,由A，P，M三点共线，即，‎ ‎∴，‎ 又点M在直线y=x上，解得M点的横坐标， 9分 设，由B，P，N三点共线，即，‎ ‎∴，‎ 点N在直线y=x上，，解得N点的横坐标． 12分 所以OM·ON==＝2 ‎ ‎====． 16分 考点：直线与椭圆位置关系 ‎19. 宝宝的健康成长是妈妈们最关心的问题，父母亲为婴儿选择什么品牌的奶粉一直以来都是育婴中的一个重要话题，为了解过程奶粉的知名度和消费者的信任度，某调查小组特别调查记录了某大型连锁超市2015年与2016年这两年销售量前5名的五个品牌奶粉的销量（单位：罐），绘制如下的管状图：‎ - 16 - / 16‎ ‎（1）根据给出的这两年销量的管状图，对该超市这两年品牌奶粉销量的前五强进行排名；‎ ‎（2）分别计算这5个品牌奶粉2016年所占总销量（仅指这5个品牌奶粉的总销量）的百分比（百分数精确到各位），并将数据填入如下饼状图中的括号内；‎ ‎（3）已知该超市2014年飞鹤奶粉的销量为（单位：罐），试以这3年的销量得出销量关于年份的线性回归方程，并据此预测2017年该超市飞鹤奶粉的销量.‎ ‎ 相关公式： ‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析（3），销量为.‎ ‎【解析】分析：（1）可以把两年的销量和求出来再排名，或者直接看管状图的长短再排名.(2) 先计算这5个品牌奶粉2016年所占总销量（仅指这5个品牌奶粉的总销量）的百分比，并将数据填入饼状图中的括号内.(3)先利用最小二乘法求销量关于年份的线性回归方程，并据此预测2017年该超市飞鹤奶粉的销量.‎ 详解：（1）该超市这俩年品牌奶粉销量的前五强排名分别为：飞鹤奶粉，伊利奶粉，贝因美奶粉，雅士利奶粉，完达山奶粉.‎ ‎（2）‎ ‎（3）则销量关于年份的线性回归方程为，当，‎ - 16 - / 16‎ 故预测2017年该超市飞鹤奶粉的销量为.‎ 点睛：本题主要考查管状图和饼状图，考查回归方程和回归分析，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的计算能力.‎ ‎20. 设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于A,B两点，线段AB的长是8，AB的中点到轴的距离是．‎ ‎(1)求抛物线的标准方程；‎ ‎(2)在抛物线上是否存在不与原点重合的点P，使得过点P的直线交抛物线于另一点Q，满足，且直线PQ与抛物线在点P处的切线垂直？并请说明理由．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】分析：（1）先由抛物线的定义得到再根据AB的中点到轴的距离是得到即得p的值.(2)先假设，再根据，且直线PQ与抛物线在点P处的切线垂直求出点P的坐标.‎ 详解：（1）设抛物线的方程是，‎ 由抛物线定义可知 ‎ 又AB中点到x轴的距离为3，∴∴p＝2，‎ 所以抛物线的标准方程是. ‎ ‎(2)设，则在P处的切线方程是，‎ 直线PQ:代入得，‎ 故 - 16 - / 16‎ 所以, ‎ 而 所以，‎ 得，所以，‎ 故存在点满足题意.‎ 点睛：（1）本题主要考查抛物线的标准方程的求法和简单的几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)本题的关键是转化和直线PQ与抛物线在点P处的切线垂直从而得到关于点的坐标的方程.‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（1）当时，求在区间上的最值；‎ ‎（2）讨论函数的单调性；‎ ‎（3）当时，有恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1），（2）见解析（3）‎ ‎【解析】试题分析：（1）在的最值只能在和区间的两个端点取到，因此，通过算出上述点并比较其函数值可得函数在的最值；（2）算出，对的取值范围分情况讨论即可；（3）根据（2）中得到的单调性化简不等式，从而求解不等式，解得的取值范围.‎ 试题解析：（1）当时，，∴，‎ ‎∵的定义域为，∴由，得.……………………2分 - 16 - / 16‎ ‎∴在区间上的最值只可能在取到，‎ 而，，，……4分 ‎（2），，‎ ‎①当，即时，，∴在上单调递减；……5分 ‎②当时，，∴在上单调递增；…………………………6分 ‎③当时，由得，∴或（舍去）‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减；……………………8分 综上，当时，在单调递增；‎ 当时，在单调递增，在上单调递减.‎ 当时，在单调递减；‎ ‎（3）由（2）知，当时，，‎ 即原不等式等价于，…………………………12分 即，整理得，‎ ‎∴，………………13分 又∵，∴的取值范围为.……………………14分 考点：导数的运算以及导数在研究函数中的应用.‎ - 16 - / 16‎ ‎【方法点晴】本题主要考查函数的最值，函数的单调性，函数导数与不等式，恒成立问题.（1）在的最值只能在和区间的两个端点取到，因此，通过算出上述点并比较其函数值可得函数在的最值；（2）算出，对的取值范围分情况讨论即可；（3）根据（2）中得到的单调性化简.不等式，从而求解不等式，解得的取值范围.‎ ‎22. 设为三角形的三边，求证：‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】试题分析：本题用直接法不易找到证明思路，用分析法，要证该不等式成立，因为，所以，只需证该不等式两边同乘以转化成的等价不等式a(1+b)(1+c)+ b(1+a)(1+c)> c(1+a)(1+b)成立，用不等式性质整理为a+2ab+b+abc>c成立，用不等式性质及三角不等式很容易证明此不等式成立.‎ 试题解析：要证明：‎ 需证明： a(1+b)(1+c)+ b(1+a)(1+c)> c(1+a)(1+b) 5分 需证明:a(1+b+c+bc)+ b(1+a+c+ac)> c(1+a+b+ab) 需证明a+2ab+b+abc>c 10分 ‎∵a,b,c是的三边 ∴a>0,b>0,c>0且a+b>c,abc>0,2ab>0‎ ‎∴a+2ab+b+abc>c ‎ ‎∴成立。 14分 考点：分析法证明不等式；三角形两边之和大于第三边.‎ - 16 - / 16‎