2020高中数学奇偶性的应用

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2020高中数学奇偶性的应用

第2课时 奇偶性的应用 学习目标:1.会根据函数奇偶性求函数值或解析式.2.能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的问题.‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 用奇偶性求解析式 ‎ (1)函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=-x+1,求f(x)的解析式;‎ ‎(2)设f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=,求函数f(x),g(x)的解析式. ‎ ‎【导学号:37102167】‎ 思路探究:(1) ‎(2) ‎[解] (1)设x<0,则-x>0,‎ ‎∴f(-x)=-(-x)+1=x+1,‎ 又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数,‎ ‎∴f(-x)=-f(x)=x+1,‎ ‎∴当x<0时,f(x)=-x-1.‎ 又x=0时,f(0)=0,‎ 所以f(x)= ‎(2)∵f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,‎ ‎∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x).‎ 由f(x)+g(x)=,①‎ 用-x代替x得f(-x)+g(-x)=,‎ ‎∴f(x)-g(x)=,②‎ ‎(①+②)÷2,得f(x)=;‎ - 5 -‎ ‎(①-②)÷2,得g(x)=.‎ 母题探究:1.把本例(1)的条件“奇函数”改为“偶函数”,当“x>0”改为“x≥0”,再求f(x)的解析式.‎ ‎[解] 设x≤0,则-x≥0,则f(-x)=x+1.‎ 又f(-x)=f(x),所以f(x)=x+1.‎ 故f(x)的解析式为f(x)= ‎2.把本例(2)的条件“f(x)是偶函数,g(x)是奇函数”改为“f(x)是奇函数,g(x)是偶函数”,再求f(x),g(x)的解析式.‎ ‎[解] ∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,‎ ‎∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),‎ 又f(x)+g(x)=,①‎ 用-x代替上式中的x,得 f(-x)+g(-x)=,‎ 即f(x)-g(x)=.②‎ 联立①②得 f(x)=,g(x)=.‎ ‎[规律方法] 利用函数奇偶性求解析式的方法 (1)“求谁设谁”,既在哪个区间上求解析式,x就应在哪个区间上设.‎ (2)要利用已知区间的解析式进行代入.‎ (3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而解出f(x).‎ 提醒:若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,但若为偶函数,未必有f(0)=0.‎ 函数单调性和奇偶性的综合问题 ‎[探究问题]‎ ‎1.如果奇函数f(x)在区间(a,b)上单调递增,那么f(x)在(-b,-a)上的单调性如何?‎ 如果偶函数f(x)在区间(a,b)上单调递减,那么f(x)在(-b,-a)上的单调性如何?‎ 提示:如果奇函数f(x)在区间(a,b)上单调递增,那么f(x)在(-b,-a)上单调递增;如果偶函数f(x)在区间(a,b)上单调递减,那么f(x)在(-b,-a)上单调递增.‎ ‎2.你能否把上述问题所得出的结论用一句话概括出来?‎ 提示:‎ - 5 -‎ 奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.‎ ‎3.若偶函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,那么f(3)和f(-2)的大小关系如何?若f(a)>f(b),你能得到什么结论?‎ 提示:f(-2)>f(3),若f(a)>f(b),则|a|<|b|.‎ 角度一 比较大小问题 ‎ 函数y=f(x)在[0,2]上单调递增,且函数f(x+2)是偶函数,则下列结论成立的是(  )‎ ‎【导学号:37102168】‎ A.f(1)0,则x - 5 -‎ 的取值范围是________.‎ ‎(-1,3) [∵f(2)=0,f(x-1)>0,∴f(x-1)>f(2),‎ 又∵f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上单调递减,‎ ‎∴f(|x-1|)>f(2),∴|x-1|<2,∴-2f(x2)或f(x1)f(2)转化得f(|x-1|)>f(2),再由f(x)在[0,+∞)上单调递减即可脱去“f”,得到|x-1|<2.其优点在于避免了讨论.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎2.函数f(x)是定义在实数集上的偶函数,且在[0,+∞)上是增函数,f(3)1        B.a<-2‎ C.a>1或a<-2 D.-11或a<-2.故选C.]‎ ‎[当 堂 达 标·固 双 基]‎ ‎1.已知函数y=f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2-2x+3,则当x<0时,f(x)的解析式是(  )‎ A.f(x)=-x2+2x-3 B.f(x)=-x2-2x-3‎ C.f(x)=x2-2x+3 D.f(x)=-x2-2x+3‎ B [若x<0,则-x>0,因为当x>0时,f(x)=x2-2x+3,所以f(-x)=x2+2x+3,因为函数f(x)是奇函数,所以f(-x)=x2+2x+3=-f(x),所以f(x)=-x2-2x-3,所以x<0时,f(x)=-x2-2x-3.故选B.]‎ ‎2.已知偶函数在(-∞,0)上单调递增,则(  )‎ ‎【导学号:37102170】‎ A.f(1)>f(2) B.f(1)f(2),故选A.]‎ ‎3.定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,若f(a)b - 5 -‎ C.|a|<|b| D.0≤ab≥0‎ C [∵f(x)是R上的偶函数,且在[0,+∞)上是增函数,‎ ‎∴由f(a)
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