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文档介绍
2020高中数学奇偶性的应用
第2课时 奇偶性的应用 学习目标:1.会根据函数奇偶性求函数值或解析式.2.能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的问题. [合 作 探 究·攻 重 难] 用奇偶性求解析式 (1)函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=-x+1,求f(x)的解析式; (2)设f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=,求函数f(x),g(x)的解析式. 【导学号:37102167】 思路探究:(1) (2) [解] (1)设x<0,则-x>0, ∴f(-x)=-(-x)+1=x+1, 又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数, ∴f(-x)=-f(x)=x+1, ∴当x<0时,f(x)=-x-1. 又x=0时,f(0)=0, 所以f(x)= (2)∵f(x)是偶函数,g(x)是奇函数, ∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x). 由f(x)+g(x)=,① 用-x代替x得f(-x)+g(-x)=, ∴f(x)-g(x)=,② (①+②)÷2,得f(x)=; - 5 - (①-②)÷2,得g(x)=. 母题探究:1.把本例(1)的条件“奇函数”改为“偶函数”,当“x>0”改为“x≥0”,再求f(x)的解析式. [解] 设x≤0,则-x≥0,则f(-x)=x+1. 又f(-x)=f(x),所以f(x)=x+1. 故f(x)的解析式为f(x)= 2.把本例(2)的条件“f(x)是偶函数,g(x)是奇函数”改为“f(x)是奇函数,g(x)是偶函数”,再求f(x),g(x)的解析式. [解] ∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数, ∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x), 又f(x)+g(x)=,① 用-x代替上式中的x,得 f(-x)+g(-x)=, 即f(x)-g(x)=.② 联立①②得 f(x)=,g(x)=. [规律方法] 利用函数奇偶性求解析式的方法 (1)“求谁设谁”,既在哪个区间上求解析式,x就应在哪个区间上设. (2)要利用已知区间的解析式进行代入. (3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而解出f(x). 提醒:若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,但若为偶函数,未必有f(0)=0. 函数单调性和奇偶性的综合问题 [探究问题] 1.如果奇函数f(x)在区间(a,b)上单调递增,那么f(x)在(-b,-a)上的单调性如何? 如果偶函数f(x)在区间(a,b)上单调递减,那么f(x)在(-b,-a)上的单调性如何? 提示:如果奇函数f(x)在区间(a,b)上单调递增,那么f(x)在(-b,-a)上单调递增;如果偶函数f(x)在区间(a,b)上单调递减,那么f(x)在(-b,-a)上单调递增. 2.你能否把上述问题所得出的结论用一句话概括出来? 提示: - 5 - 奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反. 3.若偶函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,那么f(3)和f(-2)的大小关系如何?若f(a)>f(b),你能得到什么结论? 提示:f(-2)>f(3),若f(a)>f(b),则|a|<|b|. 角度一 比较大小问题 函数y=f(x)在[0,2]上单调递增,且函数f(x+2)是偶函数,则下列结论成立的是( ) 【导学号:37102168】 A.f(1)查看更多
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