湖南省六校2020届高三下学期4月联考数学（理）试题 Word版含解析

湖南省六校2020届高三下学期4月联考数学（理）试题 Word版含解析

www.ks5u.com 湖南省2020届高三六校联考试题 数学（理科）‎ 考生注意：‎ ‎1.本试卷分第Ι卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.时量120分钟，满分150分.‎ 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.‎ ‎2.作答选择题，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.作答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.‎ ‎3.考试结束时，监考员将题卷、答题卡一并收回.‎ 第Ι卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数型函数的值域化简集合A，求解不等式化简集合B，按并集的定义即可求解.‎ ‎【详解】，，‎ ‎.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查集合间的运算，掌握指数函数性质是解题的关键，属于基础题.‎ ‎2. 若复数满足（为虚数单位），则在复平面内复数对应的点在（ ）‎ A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 26 -‎ 根据复数乘法、除法的运算法则，求出，得到对应的点的坐标，即可得出结论.‎ ‎【详解】，‎ 复数在复平面内对应的点坐标为，在第一象限.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查复数的代数运算以及几何意义，属于基础题.‎ ‎3. 已知条件，条件直线与圆相切，则是的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出直线与圆相切时的值，再由充分必要条件的定义判定，即可得出结论.‎ ‎【详解】设圆心到直线距离为，‎ 由直线与圆相切，‎ 则，解得，‎ 成立则成立，成立不一定成立，‎ 所以是的充分不必要条件.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查充分不必要条件的判定以及直线与圆的位置关系，属于基础题.‎ ‎4. 若，，，则的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 26 -‎ 根据已知可得分别为与三个函数交点的横坐标，做出函数图象，即可求解结论.‎ ‎【详解】做出函数的图象，‎ 根据图象可得，.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查方程的解与函数图象间的关系，熟练掌握基本初等函数性质是解题关键，属于基础题.‎ ‎5. 《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.”这首歌决的大意是：“一位老公公有九个儿子，九个儿子从大到小排列，相邻两人的年龄差三岁，并且儿子们的年龄之和为207岁，请问大儿子多少岁，其他几个儿子年龄如何推算.”在这个问题中，记这位公公的第个儿子的年龄为，则（ ）‎ A. 17 B. 29 C. 23 D. 35‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可得等差数列，由，求出，再结合公差，即可得出结论.‎ ‎【详解】依题意为等差数列，且，‎ - 26 -‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题以数学文化为背景，考查等差数列的前项和以及通项的基本量运算，属于基础题.‎ ‎6. 函数的图像大致是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断函数奇偶性、走势，利用排除法快速得出答案.‎ ‎【详解】由题意得，‎ 即为偶函数，故排除A；‎ 当，根据图像走势，排除B,D 故选：C ‎【点睛】解答此类问题可从函数奇偶性、特殊点的值、渐近线和走势等多方面入手，利用排除法快速得到答案.‎ - 26 -‎ ‎7. 已知非等向量与满足，且，则为（ ）‎ A. 等腰非等边三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 三边均不相等的三角形 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由的几何意义结合已知可得，即可得出结论.‎ ‎【详解】不妨设，‎ 即为角平分线所在直线上的向量，‎ 又，，又，‎ 所以为等腰非等边三角形.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查三角形形状的判断，掌握向量的几何意义是解题的关键，属于中档题 ‎8. 在正方体内随机放入个点，恰有个点落入正方体的内切球内，则的近似值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据几何概型来计算的近似值，先求出两个图形的体积，求出点落在内切球的概率，根据比例得出的近似值.‎ ‎【详解】设正方体的边长为，则其内切球的半径为，‎ 正方体与其内切球的体积分别为，‎ 恰有个点落入正方体的内切球概率为，‎ - 26 -‎ 根据几何概型体积型概率得.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查模拟方法估计概率的应用问题，利用体积比表示概率，属于基础题.‎ ‎9. 执行如图所示的程序框图，若输出的数，那么判断框内可以填写的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由程序框图，写出运行结果，根据程序输出结果是，可得判断框内应填入的条件.‎ ‎【详解】初始，第一次运行不输出，‎ 第二次运行不输出，‎ 第三次运行不输出，‎ 第四次运行不输出，‎ 第五次运行不输出，‎ 第六次运行，停止运行输出，‎ - 26 -‎ 所以判断框要填.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查补全循环结构程序框图，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题.‎ ‎10. 已知函数，给出下列四个说法：①，②函数的一个周期为；③在区间上单调递减；④的图象关于点（，0）中心对称；其中正确说法的序号是（ ）‎ A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ②③‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的解析式，结合特殊角的三角函数值、函数周期定义、正弦型三角函数的单调性、以及对称中心的定义，逐项判断.‎ ‎【详解】所以①错；‎ ‎，所以②对；‎ ‎，‎ 此时单调递减，所以③对；‎ ‎，‎ ‎，所以④错.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的求值、周期、单调性和对称性的综合应用，熟练掌握三角函数的性质是解题的关键，属于中档题.‎ ‎11. 定义在上的奇函数，其导函数为，当时，恒有，若，则不等式的解集为（ ）‎ - 26 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 考虑用单调性解不等式，求结合已知，可得在上单调性，再由的奇偶性得到在的单调性，即可求解.‎ ‎【详解】在上是奇函数，，‎ 所以当时，恒有，‎ ‎，‎ 在单调递增，，‎ 是偶函数，在单调递减，‎ 等价于，‎ 两边平方得解得或，‎ 所以不等式的解集为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查不等式的求解，利用函数导数、单调性、奇偶性是解题的关键，意在考查逻辑推理、数学计算，属于中档题.‎ ‎12. 如图所示是一款热卖的小方凳，其正、侧视图如图所示，如果凳脚是由底面为正方形的直棱柱经过切割后得到，当正方形边长为时，则切面的面积为（ ）‎ - 26 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设直棱柱的底面为，切面为，由对称性得，连，可得， 根据面面平行的性质定理，可得截面为菱形，过点做于，可证，根据已知，可求出，进而求出即可.‎ ‎【详解】设直棱柱的底面为，切面为，根据对称性，‎ ‎，在直棱柱中，平面平面，‎ 平面切面，‎ 平面切面，，‎ 同理，切面菱形，‎ 连，则，‎ 过点做于，则，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 在中，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以切面面积为.‎ 故选：A.‎ - 26 -‎ ‎【点睛】本题考查实际应用问题，考查正四棱柱的结构特征以及切面的面积，利用线面关系确定切面的形状特征是解题的关键，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于中档题.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 在的展开式中的系数为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出展开式中的常数项和项分别与中的相乘即可.‎ ‎【详解】展开式通项 ‎，所以常数项为，‎ 含的项为，‎ 所以的展开式中的系数为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查二项展开式定理，掌握二项展开式通项是解题的关键，属于基础题.‎ ‎14. 记为数列的前n项和，若，，则__________.‎ - 26 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据递推公式，当求出，当，求出关系，即可求解.‎ ‎【详解】，，‎ 当时，，‎ 当时，，两式相减得，‎ ‎，又，‎ 是为首项公比为等比数列，，‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查数列的前项和与通项关系，还考查运算求解能力及化归与转化思想，属于基础题.‎ ‎15. 若实数满足不等式，则的最大值为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 做出满足条件的可行域，根据斜率的几何意义，利用图形转化为求可行域内的点与点连线斜率的最大值.‎ ‎【详解】做出满足的可行域，如下图阴影部分，‎ 几何意义为可行域内的点与点连线的斜率，‎ 根据图形，当直线为时，斜率最大，‎ - 26 -‎ 联立，解得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，运用斜率的几何意义求目标函数的最值，属于基础题.‎ ‎16. 若点是曲线上的动点，点是曲线上的动点，点为坐标原点，则的最小值是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 曲线圆心是抛物线焦点，半径为，所以，转化为求的最小值，设，利用焦半径公式和抛物线方程将表示为的函数，化简运用二次函数的最值，即可求解.‎ ‎【详解】抛物线的焦点为，‎ 曲线圆心，半径为，‎ - 26 -‎ 三点共线时等号成立，设，‎ 则 ‎，令，则，‎ ‎，‎ 当，即时，取得最小值为，‎ 所以时，取得最小值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线定义有关，利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简，“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦半径有关问题的重要途径.属于中档题.‎ 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题，共60分.‎ ‎17. 在三角形中，内角的对边分别是，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若时，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 26 -‎ ‎（1）利用二倍角余弦公式和正弦定理将条件等式转化为角的关系，再由两角和差公式化简，求出，即可求解；‎ ‎（2）由和正弦定理，将用角表示，再化为正弦型函数，结合角范围，即可得出结论.‎ ‎【详解】（1）由，点，‎ 由正弦定理得，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎；‎ ‎（2）由正弦定理得，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理、三角恒等变换解三角形，考查计算求解能力，属于中档题.‎ ‎18. 如图，在三棱柱中，，，，为棱上的动点.‎ - 26 -‎ ‎（1）若为的中点，求证：平面；‎ ‎（2）若平面平面ABC，且是否存在点，使二面角的平面角的余弦值为？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连交与，连，为中点，结合已知可得，即可证明结论；‎ ‎（2）根据已知可得平面，以为坐标原点建立空间直角坐标系，由已知确定坐标，假设满足条件的点存在，设，求出平面的法向量坐标，取平面一个法向量为，按照空间向量的面面角公式，建立的方程，求解即可得出结论.‎ ‎【详解】（1）连交与，连，‎ 四边形为平行四边形，为中点，‎ 又为的中点，平面，‎ 平面，平面；‎ ‎（2）平行四边形为菱形，，‎ 又平面平面ABC，平面平面，‎ 平面，‎ - 26 -‎ 过点作的平行线，即两两互相垂直，‎ 以为坐标原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，‎ ‎，‎ 故 ‎，‎ 假设存在点，使二面角的平面角的余弦值为，‎ 设，‎ ‎，‎ 平面一个法向量为，‎ 设平面的法向量为，‎ ‎，即，‎ 令，则，‎ 由，‎ 整理得或，‎ 解得舍去）或，‎ ‎，‎ 满足条件的点存在，且.‎ - 26 -‎ ‎【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明直线与平面平行，以及空间向量二面角公式的应用，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.‎ ‎19. 已知圆：，点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线交线段于点.‎ ‎（1）求点的轨迹方程.‎ ‎（2）设点，是的轨迹上异于顶点的任意两点，以为直径的圆过点.求证直线过定点，并求出该定点的坐标.‎ ‎【答案】（1）；（2）直线过定点，证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据已知可得，从而得点的轨迹为椭圆，即可求出方程；‎ ‎（2）设直线方程为，与椭圆方程联立，得到两点横坐标的关系，再由已知可得，利用和两点横坐标的关系，整理出关系或求出为定值，即可求出结论.‎ ‎【详解】（1）圆：，得圆心，半径，‎ 的垂直平分线交线段于点，‎ ‎，‎ 点的轨迹为椭圆，且焦点在轴，，‎ - 26 -‎ ‎，‎ 点的轨迹方程为；‎ ‎（2）依题意直线斜率存在，设其方程为，‎ 联立，消去得，，‎ ‎，‎ 设，则，‎ 以为直径的圆过点，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 整理得，此时恒成立，‎ 所以直线过定点.‎ ‎【点睛】本题考查定义法求椭圆轨迹方程、直线与椭圆的位置关系、证明直线过定点等知识，要掌握根与系数关系设而不求方法解决相交弦问题，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.‎ ‎20. 自从新型冠状病毒爆发以来，全国范围内采取了积极的措施进行防控，并及时通报各项数据以便公众了解情况，做好防护.以下是湖南省2020年1月23日-31日这9天的新增确诊人数.‎ 日期 ‎23‎ ‎24‎ ‎25‎ ‎26‎ ‎27‎ ‎28‎ ‎29‎ ‎30‎ ‎31‎ 时间 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ 新增确诊人数 ‎15‎ ‎19‎ ‎26‎ ‎31‎ ‎43‎ ‎78‎ ‎56‎ ‎55‎ ‎57‎ - 26 -‎ 经过医学研究，发现新型冠状病毒极易传染，一个病毒的携带者在病情发作之前通常有长达14天的潜伏期，这个期间如果不采取防护措施，则感染者与一位健康者接触时间超过15秒，就有可能传染病毒.‎ ‎（1）将1月23日作为第1天，连续9天的时间作为变量x，每天新增确诊人数作为变量y，通过回归分析，得到模型用于对疫情进行分析.对上表的数据作初步处理，得到下面的一些统计量的值（部分数据已作近似处理）：，.根据相关数据，求该模型的回归方程（结果精确到0.1），并依据该模型预测第10天新增确诊人数.‎ ‎（2）如果一位新型冠状病毒的感染者传染给他人的概率为0.3，在一次12人的家庭聚餐中，只有一位感染者参加了聚餐，记余下的人员中被感染的人数为，求最有可能（即概率最大）的值是多少.‎ 附：对于一组数据，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.‎ ‎【答案】（1）回归方程为，估计第10天新增确诊人数为人；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由模型，根据提供公式，结合数据，，求出，利用在回归方程上求出，将 - 26 -‎ 代入回归方程，即可估算结论；‎ ‎（2）根据已知可得余下的人员中被感染的人数为，服从二项分布，‎ 由，且，即可求出最有可能（即概率最大）的值.‎ ‎【详解】（1），‎ ‎，‎ 回归方程为，‎ 当时，，‎ 估计第10天新增确诊人数为人；‎ ‎（2）设余下11人中被感染的人数为，则，‎ ‎，要使最大，‎ 需，‎ 即，‎ 得，‎ 所以最有可能（即概率最大）的值为.‎ ‎【点睛】本题考查回归方程及其应用、二项分布的随机变量概率最大值，考查计算求解能力，属于中档题.‎ - 26 -‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（1）证明：当时，有最小值，无最大值；‎ ‎（2）若在区间上方程恰有一个实数根，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当，求，进而求出单调区间，极小值，即可证明结论；‎ ‎（2）分离参数转化为，令，求与只有一个交点时，的范围，通过求导求出在单调区间，作出图象，数形结合即可求解.‎ ‎【详解】（1）当时，，‎ 当恒成立， ‎ 当，单调递增，，‎ 所以存在的，使得，‎ 在单调递减，在单调递增，‎ 当时，取得极小值，也是最小值，‎ 当时，，‎ 所以有最小值，无最大值；‎ ‎（2）方程恰有一实根，‎ 恰有一实根， ‎ - 26 -‎ 与恰有一个公共点，‎ ‎，‎ 令或，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 在上单调递增，在上单调递减，‎ 在上单调递增，即极大值为，‎ 极小值为，‎ 做出在上的图象，如下图所示，‎ 又与恰有一个公共点，‎ 的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查函数导数综合应用，涉及到函数的单调性、极值最值、方程的根等知识，注意分离参数在解题中的应用，也考查数形结合思想以及直观想象、逻辑推理和数学计算能力，属于中档题.‎ - 26 -‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. 已知平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）射线的极方程为，若射线与曲线，分别交于异于原点的两点，且，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）消去方程中的参数化为普通方程，再由化为极坐标方程；‎ ‎（2）将代入极坐标方程，由已知，利用，建立方程，求解即可.‎ ‎【详解】（1）曲线的参数方程为（为参数，），‎ 消去参数得曲线的普通方程为，‎ 将代入得，‎ 或，包含，‎ 的极坐标方程为；‎ ‎（2）射线与曲线，分别交于异于原点的两点，‎ 设的极坐标方程为，‎ 则，‎ - 26 -‎ 依题意，‎ 又，‎ 或.‎ ‎【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化、直角坐标方程与极坐标方程互化，以及极坐标方程的求解，考查数学计算能力，属于中档题.‎ ‎23. 若不等式的解集非空.‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）设的最大值为，若，且，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）只需，根据绝对值不等式性质求出，即可求解；‎ ‎（2）由（1）得，将所求式子化为，利用基本不等式，即可求解.‎ ‎【详解】（1）‎ 不等式的解集非空，，‎ ‎，‎ 的取值范围是；‎ ‎（2）由（1）得，又，‎ - 26 -‎ 当且仅当时，等号成立,‎ 的最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查运用绝对值三角不等式求最小值，以及利用基本不等式求最值，需要注意考虑最值等号成立的条件，考查计算求解能力，属于中档题.‎ - 26 -‎ - 26 -‎