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文档介绍
数学理卷·2017届湖南省六校(湘潭市一中、长沙一中、师大附中等)高三下学期联考(2017
湖南省2017届高三六校联考试题 数学(理科) 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合,,则( ) A. B. C. D. 2. 复数的共轭复数的虚部是( ) A. 2 B.-2 C. D. 3.若点到直线的距离比到点的距离大1,则点的轨迹方程为( ) A. B. C. D. 4. 已知数列满足:对于,都有,且,那么( ) A. B. C. D. 5. 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,下图是实现该算法的程序框图,执行该程序框图,若输入的,依次输入的为2,2,5,则输出的( ) A. 8 B. 17 C. 29 D.83 6.若,则( ) A. B. C. D. 7. 为响应“精确扶贫”号召,某企业计划每年用不超过100万元的资金购买单价分别为1500元/箱和3000元/箱的两种药品捐献给贫困地区某医院,其中药品至少100箱,药品箱数不少于药品箱数.则该企业捐献给医院的两种药品总箱数最多可为( ) A.200 B. 350 C. 400 D.500 8.圆的半径为3,一条弦为圆上任意一点,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 9.设函数,则关于函数有以下四个命题:( ) ①;②;③函数是偶函数;④函数是周期函数. 其中真命题的个数是( ) A. 4 B.3 C. 2 D.1 10. 若函数的图象的一条对称轴方程是,函数的图象的一个对称中心是,则的最小正周期是( ) A. B. C. D. 11.点为棱长是的正方体的内切球球面上的动点,点为的中点,若满足,则动点的轨迹的长度为( ) A. B. C. D. 12.已知函数与的图象上存在关于轴对称的点,则的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,满分20分. 13.一个总体分为两层,其个体数之比为5:1,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为12的样本,已知层中甲、乙都被抽到的概率为,则总体中的个数为 . 14.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅制造一种标准量器----商鞅铜方升,其三视图(单位:寸)如图所示,若取3,其体积为12.6(立方寸),则图中的为 . 15.设是双曲线的右焦点,若点关于双曲线的一条渐近线的对称点恰好落在双曲线的左支上,则双曲线的离心率为 . 16.已知数列是各项均为正整数的等差数列,公差,且中任意两项之和也是该数列中的一项.若,其中为给定的正整数,则的所有可能取值的和为 . 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 某学校的平面示意图为如下图五边形区域,其中三角形区域为生活区,四边形区域为教学区,为学校的主要道路(不考虑宽度). , . (1)求道路的长度; (2)求生活区面积的最大值. 18.如图,三棱柱中,底面分别是棱的中点,是棱上的动点. (1)当为何值时,平面平面? (2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 19.随着生活水平和消费观念的转变,“三品一标”(无公害农产品、绿色食品、有机食品和农产品地理标志)已成为不少人的选择,为此某品牌植物油企业成立了有机食品快速检测室,假设该品牌植物油每瓶含有机物的概率为,需要通过抽取少量油样化验来确定该瓶油中是否含有有机物,若化验结果呈阳性则含,呈阴性则不含.若多瓶该种植物油检验时,可逐个抽样化验,也可将若干瓶植物油的油样混在一起化验,仅当至少有一瓶油含有有机物时混合油样呈阳性,若混合油样呈阳性,则该组植物油必须每瓶重新抽取油样并全部逐个化验. (1)若,试求3瓶该植物油混合油样呈阳性的概率; (2)现有4瓶该种植物油需要化验,有以下两种方案: 方案一:均分成两组化验;方案二:混在一起化验; 请问哪种方案更适合(即化验次数的期望值更小),并说明理由. 20. 已知椭圆的离心率为,四个顶点构成的菱形的面积是4,圆.过椭圆的上顶点作圆的两条切线分别与椭圆相交于两点(不同于点),直线的斜率分别为. (1)求椭圆的方程; (2)当变化时,①求的值;②试问直线是否过某个定点?若是,求出该定点;若不是,请说明理由. 21.已知函数. (1)若函数恒有两个零点,求的取值范围; (2)若对任意,恒有不等式成立. ①求实数的值;②证明:. 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.选修4-4:坐标系与参数方程 已知直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.若曲线的左焦点在直线上,且直线与曲线交于两点. (1)求的值并写出曲线的直角坐标方程; (2)求的值. 23.选修4-5:不等式选讲 设函数. (1)当时,求不等式的解集; (2)求证:中至少有一个不小于. 试卷答案 一、选择题 1-5: BBDAC 6-10: DCDAC 11、12:CB 二、填空题 13. 48 14. 3 15. 16. 三、解答题 17.解析: (1) 如图,连接,在中,由余弦定理得: ,∴. ∵,∴, 又,∴. 在中,所以. (2)设,∵,∴. 在中,由正弦定理,得, ∴. ∴ . ∵,∴. ∴当,即时,取得最大值为, 即生活区面积的最大值为. 注:第(2)问也可用余弦定理和均值不等式求解. 18.【解析】(1) 当为中点(即)时,平面平面. 证明如下:由于且,∴,故四点共面. 连接交于.在正方形中,,故,即.又平面,平面,所以,又因为,故平面,从而平面平面. (2) 三棱柱中, 底面,于是可以以为原点,所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系,如图所示. 因为分别是棱的中点,所以,. 由(1)知平面的法向量为, 设平面的法向量为,则, 令得, 设平面与平面所成的锐二面角为, 则. 19.【解析】(1)设为3瓶该植物油中油样呈阳性的瓶数, 所求的概率为, 所以3瓶该种植物油的混合油样呈阳性的概率为. (2)设,则. 方案一:设所需化验的次数为,则的所有可能取值为2,4,6次, , . 方案二:设所需化验的次数为,则的所有可能取值为1,5次, ,. 因为,即, 所以方案二更适合. 20.【解析】(1)由题设知,,,又, 解得. 故所求椭圆的方程是. (2)①,则有,化简得, 对于直线,同理有, 于是是方程的两实根,故. 考虑到时,是椭圆的下顶点,趋近于椭圆的上顶点,故若过定点,则猜想定点在轴上. 由,得,于是有. 直线的斜率为, 直线的方程为, 令,得, 故直线过定点. 21.【解析】(1),则 . 当时,,故单调递增,故不可能存在两个零点,不符合题意; 当时,有唯一解,此时,则. 注意到,因此. (2)①当时,单调递增,的值域为,不符合题意; 当时,则,也不符合题意. 当时,由(1)可知,,故只需. 令,上式即转化为, 设,则,因此在上单调递增,在上单调递减,从而,所以. 因此,,从而有. 故满足条件的实数为. ②由①可知,因而只需证明:,恒有. 注意到前面已经证明:,因此只需证明:. 当时,恒有,且等号不能同时成立; 当时,设,则,当时,是单调递增函数,且,因而时恒有;从而时,单调递减,从而,即. 故. 22.【解析】(1)已知曲线的标准方程为,则其左焦点为, 故,曲线的方程. (2)直线的参数方程为,与曲线的方程联立, 得,则, ,故. 23.【解析】(1)当时,, 无解;,解得;,解得. 综上,不等式的解集为. (2):法一:由, 故中至少有一个不小于. 法二:(反证法)若都小于, 则,前两式相加得与第三式矛盾.查看更多