2017-2018学年湖南省六校邵阳市二中、武冈县二中、隆回县一中高二优生1月联考数学（文）试题

2017-2018学年湖南省六校邵阳市二中、武冈县二中、隆回县一中高二优生1月联考数学（文）试题

启用前★保密 邵东县一中 邵阳市一中 邵阳市二中 武冈市二中 隆回县一中 双峰县一中 高二优生2018年1月联赛试卷 文科数学 时量：120分钟 分钟150分 第Ⅰ卷 一、 选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ 1、 已知全集，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2、为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据， ， ， ， ．根据收集到的数据可知++++x5=150，由最小二乘法求得回归直线方程为，则++++的值为（ ）‎ A. 75 B. 155.4 C. 375 D. 466.2‎ ‎3、已知直线， ，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎4、在区间上随机取两个数，则事件“≤”的概率是（　）‎ A. B. C. D. ‎ 输出a 结束 是 输入a, b 开始 否 ‎（第6题图）‎ ‎5、已知双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6、执行如图所示的程序框图，如果输入，那么输出的a值为( )‎ A．14 B．15 C．16 D．17 ‎ ‎7、一个半径为2的球体经过切割后，剩余部分几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )‎ ‎（第7题图）‎ A． B． C． D．‎ ‎8、若的内角满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9、已知点是平面区域内的任意一点，则的最小值为（ ）‎ A. -3 B. -2 C. -1 D. 0‎ ‎10、如图，圆C：x2+（y﹣1）2=1与y轴的上交点为A，动点P从A点出发沿圆C按逆时针方向运动，设旋转的角度∠ACP=x（0≤x≤2π），向量在=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（　　）‎ ‎11、已知函数，若， ，使得，则实数的取值范围是(　　)‎ A. (－∞，1] B. [1，＋∞) C. (－∞，2] D. [2，＋∞)‎ ‎12、设抛物线的焦点为,点在上,,若以为直径的圆过点,则的方程为 （　　）‎ A．或 B．或 C．或 D．或 ‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。‎ ‎13、已知，则 .‎ ‎14. 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．‎ A B C D P Q ‎15. 已知四面体的每个顶点都在球的球面上， 底面， ， ，则球的表面积为__________．‎ ‎16. 如图，在平行四边形中， ，垂足为，，点是△BCD内(包括边界)的动点，则的取值范围是__________．‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17、（本小题满分12分）‎ 已知是正数组成的数列，，且点在函数的图象上. ‎(1)求数列的通项公式； ‎(2)若数列满足,，求证：‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ ‎ 已知，‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）设△ABC的内角A满足，而，求边BC的最小值．‎ 甲 ‎6‎ ‎9 5 1 0‎ ‎9 9 4 4 2‎ ‎8 8 5 1 1 0‎ ‎4 3 3 2‎ ‎9‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎5‎ 乙 ‎3 6 7 9 9‎ ‎0 1 5 6‎ ‎3 4 5 7 7 7 8‎ ‎0 7‎ ‎2 5‎ 19. ‎（本小题满分12分）‎ 为推行“新课堂”教学法，某化学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班进行教学实验，为了解教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取名学生的成绩进行统计，作出的茎叶图如下图，记成绩不低于分者为“成绩优良”。‎ ‎（1）分别计算甲、乙两班个样本中，化学分数前十名的平均分，并据此判断哪种教学方式的教学效果更佳；‎ ‎（2）甲、乙两班个样本中，成绩在分以下（不含分）的学生中任意选取人，求这人来自不同班级的概率；‎ ‎（3）由以上统计数据填写下面列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”?‎ 甲班 乙班 总计 成绩优良 成绩不优良 总计 附：‎ 独立性检验临界值表：‎ A B C D E M P ‎20. （本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD//BC，∠ADC=90°，平面PAD底面ABCD，E为AD的中点，M是棱PC的中点,.PA=PD=AD=2BC=2，CD=。‎ ‎（1）求证：PE//平面BDM；‎ ‎（2）求三棱锥P-MBD的体积.‎ 21. ‎（本小题满分12分）‎ 已知椭圆C的离心率为，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切。‎ ‎ （Ⅰ）求椭圆C的标准方程 ‎ （Ⅱ）若直线L：与椭圆C相交于A、B两点，且，问在椭圆上是否存在一点P，使为平行四边形，若存在，求出的取值范围，若不存在说明理由.‎ 22. ‎（本小题满分12分）‎ ‎ 设函数f(x)＝ln x＋，m∈R.‎ ‎(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；‎ ‎(2)讨论函数 g(x)＝f′(x)－ 零点的个数；‎ ‎(3)若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．‎ 邵东县一中 邵阳市一中 邵阳市二中 武冈市二中 隆回县一中 双峰县一中 高二优生2018年1月联赛试卷 文科数学 时量：120分钟 分钟150分 ‎1-12 ACADB CDDBC AC ‎ ‎13-16 ‎ ‎17、（本小题满分12分） ‎ 解：（Ⅰ）由已知得an+1=an+1、即an+1-an=1，又a1=1,‎ 所以数列｛an｝是以1为首项，公差为1的等差数列.‎ 故an=1+(a-1)×1=n.[]‎ ‎(Ⅱ)由（Ⅰ）知：an=n从而bn+1-bn=2n.‎ bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+···+（b2-b1）+b1=2n-1+2n-2+···+2+1＝=2n-1.‎ 因为bn·bn+2-b=(2n-1)(2n+2-1)-(2n-1-1)2=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2-2n+1-1)=-5·2n+4·2n=-2n＜0,‎ 所以bn·bn+2＜b,‎ ‎18.（本小题满分12分） ‎ 试题解析：（1）=‎ 由得，‎ 故所求单调递增区间为．‎ ‎（2）由得，‎ ‎∵，即，∴bc=2，‎ 又△ABC中，=‎ ‎，∴‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ ‎（1）甲班样本化学成绩前十的平均分为 ‎；‎ 乙班样本化学成绩前十的平均分为 ‎；‎ 甲班样本化学成绩前十的平均分远低于乙班样本化学成绩前十的平均分，大致可以判断“高效课堂”教学方式的教学效果更佳.‎ ‎（2）样本中成绩分以下的学生中甲班有人，记为：，乙班有人，记为：. 则从，六个元素中任意选个的所有基本事件如下：‎ ‎，一共有个基本事件，‎ 设表示“这人来自不同班级”有如下：，一共有个基本事件， 所以.‎ ‎（3）‎ 甲班 乙班 总计 成绩优良 成绩不优良 总计 根据列联表中的数据，得的观测值为 ‎，‎ ‎∴能在犯错误的概率不超过的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.‎ ‎ 20. （本小题满分12分）‎ 解：（1）连接，因为，，所以四边形为平行四边形.‎ 连接交于，连接，则，‎ 又平面，平面，所以平面.‎ ‎（2），‎ 由于平面底面，底面，‎ 所以是三棱锥的高，且，‎ 由（1）知是三棱锥的高，，‎ 所以，则.‎ 21. ‎（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由题意得，，，又，‎ 联立解得，椭圆的方程为.……………………3分 ‎（Ⅱ）设，则A,B的坐标满足 消去y化简得， ‎ ‎， ，得 ‎=。 ……………………7分 ‎，，即 即 （1）‎ 若存在平行四边形OAPB使P在椭圆上，则 设，则， ‎ 由于P在椭圆上，所以，从而化简得 ‎ 化简得 （2）‎ 解（1）（2）知无解，故不存在P在椭圆上的平行四边形. ……………………12分 22. ‎（本小题满分12分）‎ 解：(1)由题设，当m＝e时，f(x)＝ln x＋，则f′(x)＝，‎ ‎∴当x∈(0，e)时，f′(x)<0，f(x)在(0，e)上单调递减；‎ 当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增．‎ ‎∴x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝ln e＋＝2， ∴f(x)的极小值为2.‎ ‎(2)由题设g(x)＝f′(x)－＝－－(x>0)， 令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x>0)，‎ 设φ(x)＝－x3＋x(x≥0)， 则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，‎ 当x∈(0，1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0，1)上单调递增；‎ 当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．‎ ‎∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是φ(x)的最大值点，‎ ‎∴φ(x)的最大值为φ(1)＝.‎ 又φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图像(如图所示)，可知 ‎①当m >时，函数g(x)无零点；‎ ‎②当m＝时，函数g(x)有且只有一个零点；‎ ‎③当0时，函数g(x)无零点；‎ 当m＝或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；‎ 当0a>0，<1恒成立，等价于f(b)－b0)， ∴(*)等价于h(x)在(0，＋∞)上单调递减．‎ 由h′(x)＝－－1≤0在(0，＋∞)上恒成立， 得m≥－x2＋x＝－＋(x>0)恒成立，‎ ‎∴m≥， ∴m的取值范围是.‎