2021届高考数学一轮复习专题四函数不等式中的恒成立问题课件

2021届高考数学一轮复习专题四函数不等式中的恒成立问题课件

专题四 函数、不等式中的恒成立问题 纵观近几年高考对于函数、不等式中恒成立问题的考查重 点是一次函数、二次函数的性质、不等式的性质及应用，图象、 渗透换元、化归、数形结合、函数与方程、分类讨论、转化等 数学思想方法.有的学生看到就头疼的题目，分析原因除了这类 题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和 套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段 出现的这类问题进行总结和探讨. 利用导数研究不等式问题的关键是函数的单调性和最值， 各类不等式与函数最值关系如下： 不等式类型 与最值的关系 ∀ x ∈ D ， f ( x )＞ M ∀ x ∈ D ， f ( x ) min ＞ M ∀ x ∈ D ， f ( x )＜ M ∀ x ∈ D ， f ( x ) max ＜ M ∃ x 0 ∈ D ， f ( x 0 )＞ M ∀ x ∈ D ， f ( x ) max ＞ M ∃ x 0 ∈ D ， f ( x 0 )＜ M ∀ x ∈ D ， f ( x ) min ＜ M ∀ x ∈ D ， f ( x )＞ g ( x ) ∀ x ∈ D ，[ f ( x )－ g ( x )] min ＞0 ∀ x ∈ D ， f ( x )＜ g ( x ) ∀ x ∈ D ，[ f ( x )－ g ( x )] max ＜0 ∀ x 1 ∈ D 1 ，∀ x 2 ∈ D 2 ， f ( x 1 )＞ g ( x 2 ) ∀ x ∈ D 1 ，∀ x ∈ D 2 ， f ( x ) min ＞ g ( x ) max ∀ x 1 ∈ D 1 ，∃ x 2 ∈ D 2 ， f ( x 1 )＞ g ( x 2 ) ∀ x ∈ D 1 ，∀ x ∈ D 2 ， f ( x ) min ＞ g ( x ) min ∃ x 1 ∈ D 1 ，∀ x 2 ∈ D 2 ， f ( x 1 )＞ g ( x 2 ) ∀ x ∈ D 1 ，∀ x ∈ D 2 ， f ( x ) max ＞ g ( x ) max ∃ x 1 ∈ D 1 ，∃ x 2 ∈ D 2 ， f ( x 1 )＞ g ( x 2 ) ∀ x ∈ D 1 ，∀ x ∈ D 2 ， f ( x ) max ＞ g ( x ) min 注： 上述的大于、小于改为不小于、不大于，相应的与最 值对应关系的不等式也改变 . 如果函数没有最值，那么上述结果 可以用函数值域相应的端点值表述 . 例 1 ： 已知两个函数 f ( x )＝8 x 2 ＋16 x － k ， g ( x )＝2 x 3 ＋5 x 2 ＋ 4 x ， x ∈[－3,3]， k ∈ R . (1)若对∀ x ∈[－3,3]，都有 f ( x )≤ g ( x )成立，求实数 k 的取 值范围； (2)若∃ x ∈[－3,3]，使得 f ( x )≤ g ( x )成立，求实数 k 的取值 范围； (3)若对∀ x 1 ， x 2 ∈[－3,3]，都有 f ( x 1 )≤ g ( x 2 )，求实数 k 的取 值范围. 解： (1)设 h ( x )＝ g ( x )－ f ( x )＝2 x 3 －3 x 2 －12 x ＋ k ， 问题转化为 x ∈[－3,3]时， h ( x )≥0 恒成立，即 h ( x ) min ≥0， x ∈[－3,3]. 令 h ′( x )＝6 x 2 －6 x －12＝0，得 x ＝2 或 x ＝－1， ∵ h (－3)＝ k －45， h (－1)＝ k ＋7， h (2)＝ k －20， h (3)＝ k －9， ∴ h ( x ) min ＝ k －45≥0，得 k ≥45. (2)据题意：∃ x ∈[－3,3]，使 f ( x )≤ g ( x )成立， 即为 h ( x )＝ g ( x )－ f ( x )≥0 在 x ∈[－3,3]上能成立， ∴ h ( x ) max ≥0. ∴ h ( x ) max ＝ k ＋7≥0，即 k ≥－7. (3)据题意： f ( x ) max ≤ g ( x ) min ， x ∈[－3,3]， 易得 f ( x ) max ＝ f (3)＝120－ k ， g ( x ) min ＝ g (－3)＝－21， ∴120－ k ≤－21，得 k ≥141. 【名师点评】 已知不等式恒成立 ( 或有解 )求参数问题的解 法 ( 转化为最值问题 ) (1) 分离参数法：化为 a > f ( x )( 或 a < f ( x )) 恒成立或有解 ⇔ a > f ( x ) max ( 或 a < f ( x ) min ) 或 a > f ( x ) min ( 或 a < f ( x ) max ) (2) 直接求最值法：① f ( x )>0 恒成立 ( 或有解 )⇔ f ( x ) min >0(或 f ( x ) max >0) ②解不等式，求参数的取值范围 . (2)设函数 g ( x )在区间[0,2]上的值域是 A . ∵对任意 x 1 ∈[0,2]，总存在 x 2 ∈[0,2]， 使 f ( x 1 )－ g ( x 2 )＝0， 【规律方法】 (1) 求 f ( x )的值域可以利用导数，也可以利 用 基本不等式求解 . (2) 若对任意 x 1 ∈ [0,2] ，总存在 x 2 ∈ [0,2] ，使 f ( x 1 ) ＝ g ( x 2 )的 本质就是函数 f ( x ) 的值域是函数 g ( x ) 值域的子集 . (1)求曲线 f ( x )在 x ＝1 处的切线方程； (2)讨论函数 g ( x )的极小值； (3)若对任意的 x 1 ∈[－1,0]，总存在 x 2 ∈[e,3]，使得 f ( x 1 )> g ( x 2 ) 成立，求实数 a 的取值范围. 当 a ≤0 时，由 g ′( x )>0 得 x >1，由 g ′( x )<0 得 0< x <1，即 g ( x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增. g ( x ) 极小值 ＝ g (1)＝1－ a . 综上， g ( x ) 极小值 ＝1－ a . (3)对任意的 x 1 ∈[－1,0]，总存在 x 2 ∈[e,3]，使得 f ( x 1 )> g ( x 2 ) 成立，等价于 f ( x )在[－1,0]上的最小值大于 g ( x )在[e,3]上最小值. 当 x 1 ∈[－1,0]时， f ′( x )＝ x (1－e x )≤0， f ( x )在[－1,0]上递减， f ( x ) min ＝ f (0)＝1. 思维点拨： (1) 首先求得导 函数的解析式，然后结合函数的 解析式确定函数的单调区间即可 . (2) 由题意首先由函数在特殊点的函数值得到 a 的取值范 围，然后证明所得的范围满足题意即可 . 【方法点睛】 导数是研究函数的单调性、极值 ( 最值 )最有 效的工具，而函数是高中数学中重要的知 识点，对导数的应用 的考查主要从以下几个角度进行：①考查导数的几何意义，往 往与解析几何、微积分相联系；②利用导数求函数的单调区间， 判断单调性；已知单调性，求参数；③利用导数求函数的最值 ( 极 值 ) ，解决生活中的优化问题；④考查数形结合思想的应用 . 【跟踪训练】 已知函数 f ( x )＝ x 2 e ax ( a <0). (1)若 a ＝－1，求曲线 y ＝ f ( x )在(1， f (1))处的切线方程； a 的取值范围. x (－∞，－1) (－1,1) (1，＋∞) g ′( x ) － ＋ － g ( x ) 单调递减 单调递增 单调递减 当 x 变化时， g ′( x )， g ( x )的变化情况如下表：