中考数学圆提高练习题压轴题训练

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中考数学圆提高练习题压轴题训练

‎《圆》‎ r A B C d O d 一、点与圆的位置关系 ‎1、点在圆内 点在圆内;‎ ‎2、点在圆上 点在圆上;‎ ‎3、点在圆外 点在圆外;‎ 二、直线与圆的位置关系 ‎1、直线与圆相离 无交点;‎ ‎2、直线与圆相切 有一个交点;‎ ‎3、直线与圆相交 有两个交点;‎ r d d=r d r 三、圆与圆的位置关系 外离(图1) 无交点 ;‎ 外切(图2) 有一个交点 ;‎ 相交(图3) 有两个交点 ;‎ 内切(图4) 有一个交点 ;‎ 内含(图5) 无交点 ;‎ 图3‎ d R r 图2‎ d R r 图1‎ d R r ‎ ‎ 图5‎ d R r 图4‎ d R r A B D O E 四、垂径定理 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。‎ C ‎ 推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;‎ ‎(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;‎ ‎(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。‎ 以上共4个定理,简称2推3定理:此定理共5个结论,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即:①是直径 ② ③ ④弧弧 ⑤弧弧 ‎ C ‎ A B D O 中任意2个条件推出其他3个结论。‎ 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。‎ ‎ 即:在⊙中,∵∥ ∴弧弧 E 五、圆心角定理 A B ‎ C ‎ O D F 圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,‎ 弦心距相等。 此定理也称1推3定理,即上述四个结论中,只要知道其中的1‎ 个相等,则可以推出其它的3个结论,‎ 即:①;②;③;④ 弧弧 中任意1个条件推出其他3个结论。‎ A B ‎ C ‎ O 六、圆周角定理 ‎1、圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。‎ 即:∵和是弧所对的圆心角和圆周角 ‎ ∴‎ D A B ‎ C ‎ O ‎2、圆周角定理的推论:‎ 推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;‎ 同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧;‎ 即:在⊙中,∵、都是所对的圆周角 A B ‎ C ‎ O ‎ ∴‎ 推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;‎ 圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径。‎ 即:在⊙中,∵是直径 或∵‎ ‎ ∴ ∴是直径 ‎ C ‎ A B O 推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。‎ 即:在△中,∵‎ ‎ ∴△是直角三角形或 注:此推论实际上是定理“在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”的逆定理。‎ 七、切线的性质与判定定理 ‎(1)切线的判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线;‎ ‎ 两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可 A N M O ‎ 即:∵且过半径外端 ‎ ∴是⊙的切线 ‎(2)性质定理:切线垂直于过切点的半径(如图)‎ ‎ 推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。‎ ‎ 推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。‎ 以上三个定理及推论也称二推一定理:‎ 即:①过圆心;②过切点;③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。‎ 八、切线长定理 B A O P 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点 和圆心的连线平分两条切线的夹角。即:∵、是的两条切线 ‎ ∴,平分 九、两圆公共弦定理 A B O1‎ O2‎ 圆公共弦定理:两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。‎ 如图:垂直平分。‎ 即:∵⊙、⊙相交于、两点 ‎ ∴垂直平分 A ‎ C ‎ O2‎ O1‎ B 十、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式:‎ ‎(1)公切线长:中,;‎ ‎(2)外公切线长:是半径之差; 内公切线长:是半径之和 。‎ A ‎ C ‎ D O B 十一、圆内正多边形的计算 ‎(1)正三角形 ‎ 在⊙中△是正三角形,‎ 有关计算在中进行:;‎ A ‎ C ‎ D E O B ‎(2)正四边形 同理,四边形的有关计算在中进行,‎ ‎:‎ ‎(3)正六边形 A B O 同理,六边形的有关计算在中进行,‎ ‎.‎ A B l S 十二、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 O ‎1、扇形:(1)弧长公式:;‎ ‎(2)扇形面积公式: ‎ ‎:圆心角 :扇形所对应的圆的半径 :扇形弧长 :扇形面积 D A ‎ C ‎ ‎ C1 ‎ ‎ 底面圆周长 ‎ 母线长 ‎ D1‎ ‎2、圆柱: ‎ ‎(1)圆柱侧面展开图 B ‎ =‎ A B ‎ C ‎ O B1‎ r ‎ ‎(2)圆柱的体积:‎ ‎(2)圆锥侧面展开图 ‎(1)=‎ ‎(2)圆锥的体积:‎ ‎【应用】‎ ‎1.如图,将边长为的正六边形A1 A2 A3 A4 A5 A6在直线上由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动,当A1第一次滚动到图2位置时,顶点A1所经过的路径的长为( ).‎ A. ‎ B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎2. 如图,AC是⊙O的直径,弦BD交AC于点E.‎ ‎(1)求证:△ADE∽△BCE;‎ ‎(2)如果AD2=AE•AC,求证:CD=CB.‎ ‎3. 如图,已知点E在直角△ABC的斜边AB上,以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D.‎ ‎(1)求证:AD平分∠BAC;‎ ‎(2)若BE=2,BD=4,求⊙O的半径.‎ ‎4. 如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交AC于点E,交BC于点D,连结BE、AD交于点P. 求证:‎ ‎(1)D是BC的中点;‎ ‎(2)△BEC ∽△ADC;‎ ‎(3)AB× CE=2DP×AD.‎ ‎5.如图,在锐角△ABC中,AC是最短边;以AC中点O为圆心,AC长为半径作⊙O,交BC于E,过O作OD∥BC交⊙O于D,连结AE、AD、DC.‎ ‎(1)求证:D是的中点;‎ ‎(2)求证:∠DAO =∠B +∠BAD;‎ ‎(3)若,且AC=4,求CF的长.‎ ‎6. 已知,AB是⊙O的直径,点P在弧AB上(不含点A、B),把△AOP沿OP对折,点A的对应点C恰好落在⊙O上.‎ ‎(1)当P、C都在AB上方时(如图1),判断PO与BC的位置关系(只回答结果);‎ ‎(2)当P在AB上方而C在AB下方时(如图2),(1)中结论还成立吗? 证明你的结论;‎ ‎(3)当P、C都在AB上方时(如图3),过C点作CD⊥直线AP于D,且CD是⊙O的切线,证明:AB=4PD.‎ ‎7.己知:如图,△ABC内接于⊙O,AB为直径,∠CBA的平分线交AC干点F,交⊙O于点D,DF⊥AB于点E,且交AC于点P,连结AD。‎ ‎(1)求证:∠DAC=∠DBA;‎ ‎(2)求证:P处线段AF的中点;‎ ‎(3)若⊙O的半径为5,AF=,求tan∠ABF的值。‎ ‎8、如图,⊙O是Rt△ABC的外接圆,AB为直径,ABC=30°,CD是⊙O的切线,ED⊥AB于F,‎ ‎(1)判断△DCE的形状;(2)设⊙O的半径为1,且OF=,求证△DCE≌△OCB. ‎ A B D E O F C ‎ ‎ ‎9、如图,AB是⊙O的切线,切点为A,OB交⊙O于C且C为OB中点,过C点的弦CD使∠ACD=45°,的长为,求弦AD、AC的长.‎ ‎    ‎ ‎10、如图14,直线经过上的点,并且,,交直线于,连接.‎ ‎(1)求证:直线是的切线;‎ ‎(2)试猜想三者之间的等量关系,并加以证明;‎ ‎(3)若,的半径为3,求的长.‎ ‎11、⊙O的半径OD经过弦AB(不是直径)的中点C,过AB的延长线上一点P作⊙O的切线PE,E为切点,PE∥OD;延长直径AG交PE于点H;直线DG交OE于点F,交PE于点K.‎ ‎(1)求证:四边形OCPE是矩形;‎ ‎(2)求证:HK=HG; ‎ ‎(3)若EF=2,FO=1,求KE的长.‎ ‎12、如图,内接于,,点是的中点.边上的高相交于点.试证明:‎ ‎(1);‎ ‎(2) 四边形是菱形.‎ E A D G B F C O M ‎13、如图,在中,是的中点,以为直径的交的三边,交点分别是点.的交点为,且,.‎ ‎(1)求证:.‎ ‎(2)求的直径的长.‎ ‎(3)若,以为坐标原点,所在的直线分别为轴 和轴,建立平面直角坐标系,求直线的函数表达式.‎
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