高考数学核心考点透析精选集合与命题不等式

高考数学核心考点透析精选集合与命题不等式

第一章 集合与命题 考点综述 集合与命题是高中数学的基石，高考对这部分知识的考查主要有三个方面：一是集合的概念、关系和运算；二是集合语言与集合思想的运用（如求方程与不等式的解集、函数的定义域和值域等）；三是命题之间的逻辑关系的判断和推理．此外与集合有关的信息迁移题、集合与其他知识相结合的综合题都值得高度关注.考查重点是集合与集合之间的关系、条件的判断.其核心考点有：集合的概念及相应关系，集合的运算，命题及充要条件．‎ 考点1 集合的概念及相应关系 典型考法1 与含参数的方程有关的集合问题 ‎ 典型例题 已知集合 ‎(1)若A是空集，试求a的取值范围；‎ ‎(2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；‎ ‎(3)若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．‎ 解析 集合A是方程在实数范围内的解集．‎ ‎(1)若A是空集，则显然a≠0，且方程无解，得，，即a的取值范围是．‎ ‎(2)当a=0时，，符合题意；当a≠0时，必须，，此时，符合题意；‎ 综上所述，或．‎ ‎(3) A中至多只有一个元素，包括A是空集和A中只有一个元素这两种情况，根据(1)和(2)的结果，知a=0或，故a的取值范围是．‎ 必杀技：　　用分类讨论的方法解决集合中含参数的方程问题 一般地，对于集合，其中，，均为实数，‎ 当a≠0时，是一元二次方程的根的集合．须注意：若求非空集合中的元素之和，则应分与这两种情形，具体为 ‎(1)若，则有两个不等的实根，于是，非空集合 中的元素之和为；‎ ‎(2)若，则有两个相等的实根，于是，非空集合 中的元素之和为．‎ 实战演练 ‎1． 已知为单元素集，则实数的取值的集合为 ．‎ ‎2．设A={x｜x2+(b+2)x+b+1=0，b∈R}，求A中所有元素的和．‎ ‎3．对于函数f(x)，设，．‎ ‎(1) 求证：；‎ ‎(2) 若，且，求a的取值范围．‎ 参考答案 ‎1．.‎ ‎2．当b≠0时，和为－(b+2)；当b=0时，和为－1． ‎ ‎3．(1)略 (2) 提示：由知： ，中元素是方程的实根，由得方程要么没有实根，要么实根是方程的根，易得或，故的取值范围是．‎ 典型考法2 集合对某种运算的封闭性 ‎ 典型例题 设．‎ ‎(1)属于的两个整数，其积是否仍属于，为什么？‎ ‎(2)、、是否属于，请说明理由．‎ 解析 (1) 设，则，，，‎ ‎，‎ ‎，且，从而，即属于的两个整数，其积仍属于．‎ ‎(2) ．‎ 假设，则存在整数，使，即，由于为偶数，注意到与具有相同的奇偶性，所以均为偶数，其乘积应是4的整数倍，但不是4的整数倍，导致矛盾，故假设不成立，即．‎ 必杀技 深刻理解集合中的元素所具有的性质 ‎1．要证明 ，通常应是将运算后得到的结果化为集合中元素所有的特征形式．‎ ‎2．要证明，通常用反证法．‎ 实际上，本题还可得到进一步的结果：对任意均为中的元素，而不是中的元素．‎ 实战演练 ‎1．设非空集合满足：当时，有．给出如下三个命题：①若，则；②若，则；③若，则．其中正确命题的个数是……………………………………………………………………（　　）.‎ A．0 B．‎1 ‎ C．2 D．3‎ ‎2．已知．‎ ‎(1)如果，那么是否为的元素，请说明理由；‎ ‎(2)当且时，证明：可表为两个有理数的平方和．‎ ‎3．已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合：，‎ ‎．其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和．若对于任意的，总有，则称集合具有性质．‎ ‎（I）检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和；‎ ‎（II）对任何具有性质的集合，证明：；‎ ‎（III）判断和的大小关系，并证明你的结论． ‎ 参考答案：‎ ‎1．D . ‎ ‎2．(1); (2)证略．‎ 注：任意一个有理数均可表示成（其中为整数且）的形式．‎ ‎3．（I）集合不具有性质．集合具有性质，其相应的集合和是，．‎ ‎（II）证略. 提示：由中元素构成的有序数对共有个，且当时，．从而，集合中元素的个数最多为，即．‎ ‎（III） .提示：对于，这里，，且，从而．如果与是的不同元素，那么与 中至少有一个不成立，从而与中也至少有一个不成立．故与也是的不同元素．可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即．同理可得，于是便有．‎ 考点2 子集、集合中的图形 典型考法1 子集 典型例题 设为集合的子集，且，若 ‎，则称为集合的元“好集”．‎ ‎(1)写出实数集的一个二元“好集”；‎ ‎(2)求出正整数集的所有三元“好集”；‎ ‎(3)证明：不存在正整数集的元“好集”．‎ 解析(1) ，，等．‎ ‎ (2)当时，，不妨设，则由可得，，，，注意到且，故，． 因此，正整数集的三元“好集”只有；‎ ‎(3)当时，不妨设中的最大元素为，则依题设条件，得 ‎ ………………（※），‎ 故 ‎，‎ 即有，则．又因为，所以有 ‎，‎ 即，但另一方面，‎ ‎，‎ 即，矛盾！也就是说，当时，满足条件的集合不存在．‎ 必杀技 　充分利用所给条件 ‎1．深刻理解概念并其中所给出条件；‎ ‎2．．‎ 在含参数的集合的问题中，往往不能遗漏是的一种情况．实际上，在本例中也不存在正整数集的二元“好集”，读者可自行完成期证明过程．　‎ 实战演练 ‎1．若规定=的子集为的第个子集，其中，则 ‎(1)是E的第 个子集； ‎ ‎ (2)的第211个子集是 ．‎ ‎2．已知集合，，当时，则实数的取值范围是 ．‎ ‎3．设全集为，集合满足则与的关系为 ．‎ 参考答案 ‎1．(1)15 ;(2).‎ ‎2． . 提示：（对应地）也符合条件．‎ ‎3．. 提示：易得，且．现设任意，则，即有或．若但，则且，这与相违．同理可证得：若但，则仍与相违．总之，，从而，于是．‎ 典型考法2 集合中的图形 典型例题 设，，‎ ‎，问是否存在实数，使得同时满足，且． ‎ 解析 假设存在实数a ，b使得同时满足与且，由满足得，存在整数m与n使得(n,na+b)=(m,‎3m2‎+15)，即n = m且na+b=‎3m2‎+15，消去m得na+b-(3n2+15)=0，又得，a2+ b2≤144，由此可知点既在直线nx+y-(3n2+15)=0上又在圆x2+ y2=144或其内部，即直线nx+y-(3n2+15)=0与圆x2+ y2=144有公共点，因此，圆心到直线nx+y-(3n2+15)=0的距离小于或等于半径12，即，但，故不成立，即假设不成立，所以，不存在实数a ，b使得同时满足，． ‎ 必杀技： 充分挖掘并利用集合中隐藏着的图形关系 ‎ 本例首先将条件化简，使得相关元素的图形特征更明朗．本题也可从代数运算的角度求解，现介绍两种方法，读者可作对比．‎ 另法一：假设存在实数a ，b使得同时满足与且，由满足得，存在整数m与n使得(n,na+b)=(m,‎3m2‎+15)，即n = m且na+b=‎3m2‎+15，消去m得na+b-(3n2+15)=0，即3n2- an-b+15=0，于是，它的判别式非负，即a2+12b-180≥0，由此得，12b-180≥；又得，a2+ b2≤144，故≥≥，即12b-180≥，所以(b-6)2≤0，从而b=6，现将b=6代入中得a2≥108，再代入a2+ b2≤144中得，a2≤10因此，只有a2=108，即a=，最后将a=及b=6代入方程3n2-an-(b-15)=0得，3n2n+9=0，即n2n+3=0，所以有 ‎．综上所述，不存在实数a ，b使得同时满足，．‎ 另法二：假设存在实数a ，b使得同时满足与且，由得，存在整数m与n使得(n,na+b)=(m,‎3m2‎+15)，即n = m且na+b=‎3m2‎+15，即……(※)，又得，a2+ b2≤144，将(※)代入a2+ b2≤144，得 ‎，将其看着关于的一元二次不等式，又 ‎，‎ ‎，，注意到，故，不等式 无实数解，即这样的实数不存在，综上所述，不存在实数a ，b使得同时满足，．‎ 实战演练 ‎1．设集合，集合，且与是方程的两个实根，，则 ．‎ ‎2．向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果 赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人 问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？‎ ‎3．设集合，集合，集合，是否存在，，使得？若存在，则求出，的值；若不存在，请说明理由．‎ 参考答案 图‎1-2-1‎ ‎1． . 提示：借助于数轴分析得：，，故，．‎ ‎2．对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人． ‎ 提示：（如图‎1-2-1‎）记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A，赞成事件B的学生全体为集合B．设对事件A、B都赞成的学生人数为x，则 (30－x)+(33－x)+x+(+1)=50，解得x=21． ‎ ‎ ‎ 图‎1-2-2‎ ‎3．，. 提示：结合与的图像（如图‎1-2-2‎），并注意利用，的几何特征，易得，．‎ 第二章 不等式 考点综述 不等式是高中数学的重要内容，它渗透到了中学数学的很多章节，在实际问题中被广泛应用，可以说是解决其它数学问题的一种有效工具．不等式是高考数学命题的重要内容之一，其核心考点为不等式的性质与证明、不等式的解法（高频）和不等式的应用（利用不等式求最值（高频））．借助不等式的基本性质，考查函数方程思想、等价转化思想、数形结合思想及分类讨论思想等数学思想方法．含参数不等式的解法与讨论，不等式与函数、数列、三角等内容的综合问题，仍是高考命题的热点．‎ 考点1 不等式的性质与证明 典型考法1 　　　不等式的性质 典型例题 已知为实数，满足，，则在中 ( ).‎ A．有且仅有一个为负 B．有且仅有两个为负 ‎ ‎ C．至少有一个为负 D．都为正数 解析 取，则可排除A；再取，则可排除B；假设均非负，则由得，均在[0，1]中，所以，，但这与已知矛盾，故假设不成立，从而中至少有一个为负，即D 错误，选C．‎ 必杀技 利用不等式的性质 ‎ 不等式的性质在高考中经常以小题出现，它是证明不等式、解不等式的基础，与函数等知识紧密联系，应予以高度重视．‎ ‎（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若，则（若，则），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；‎ ‎（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若，则（若，则）；‎ ‎（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若，则或；‎ ‎（4）若，，则；若，，则．‎ 特别提醒：如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论．‎ 实战演练 ‎1．已知实数满足，且，设，则（ ）.‎ A． B． C． D．不确定 ‎2．已知实数a， b满足等式下列五个关系式：①0‎2m+x对(2，2)内任意恒成立，则实数m的取值范围是 ．‎ 参考答案：‎ ‎1．C.‎ ‎2． . 提示：‎ 方法一：设，则，于是问题等价于，解得．‎ 方法二：由原不等式得　，解之得　，注意到该不等式对恒成立，故，，得取值范围是．‎ ‎3．. 提示：令，则原题设等价于对内任意实数恒成立，故或．‎ 典型考法２ 一元二次不等式 典型例题 设为实常数，函数．‎ ‎(1)当时，，试求实数的取值范围；‎ ‎(2)当时，求在上的最小值；当时，试写出的最小值．‎ ‎(3)当时，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集．‎ 解析 (1)因为当时，，故，．‎ ‎(2)当时，故在的最小值为．‎ 当时，，，‎ 当时，，.‎ 综上，当时，． ‎ ‎(3)当时，由得，‎ 当时，；‎ 当时，，得： ‎ 讨论得：当时，解集为；‎ 当时，解集为；‎ 当时，解集为．‎ 必杀技：利用三个“二次”的关系，注意分类讨论 ‎1．解不等式的过程，实质上是不等式等价转化过程，保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则．各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）求解，这体现了转化与化归的数学思想．‎ ‎2．解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，能避免讨论的应设法避免讨论．对字母参数的逻辑划分要具体问题具体分析，必须注意分类不重、不漏、完全、准确．‎ ‎3．一元二次不等式（组）是解不等式的基础，一元二次不等式是解不等式的基本题型．一元二次不等式与相应的函数，方程紧密联系．‎ 求一般的一元二次不等式或的解集，要结合的根及二次函数图象确定解集．一元二次方程，设，它的解按照，，可分为三种情况．相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况．因此，我们常分三种情况讨论对应的一元二次不等式的解集，如图‎2-2-1　‎．‎ 实战演练 ‎1．若关于的不等式有唯一实数解，则实数 ． ‎ ‎2．关于x的不等式组的整数解的集合为{－2}，则实数k的取值范围是 ．‎ ‎3．要使满足关于的不等式（解集非空）的每一个的值至少满足不等式和 中的一个，求实数的取值范围．‎ 参考答案：‎ ‎1． 或. ‎ ‎2． .‎ ‎3． . 提示：设，令，则，依题设得，于是 ‎ ．‎ 本文档节选自华东师大版《高考核心考点透析 数学（含光盘）》（贺明荣编著）。‎ 本书利用独特案例复习法，从每个典型考法中精选一道典型例题，并为你锤炼精妙的必杀技， 让你告别低效的知识梳理，然后举一反三，实战演练。 ‎ 另外，随书所附光盘对书中疑难问题配有高清讲解视频。‎ ‎ ‎ 目 录 第一章 集 合 考点1 集合的概念及相应关系 典型考法1 与含参数的方程有关的集合问题 典型考法２ 集合对某种运算的封闭性 考点2 子集、集合中的图形 典型考法1 子集 典型考法２ 集合中的图形 第二章 不等式 考点1 不等式的性质与证明 典型考法1 不等式的性质 典型考法２ 比较大小 典型考法３ 算术平均数与几何平均数 典型考法４ 不等式证明的常用方法 考点2 不等式的解法 典型考法1 一元一次不等式(组)‎ 典型考法２ 一元二次不等式 典型考法3 分式不等式 典型考法4 绝对值不等式 典型考法5 指数不等式与对数不等式 考点3 不等式的应用 典型考法1 相关最值及函数的值域 典型考法２ 方程的根的分布 典型考法３ 实际应用问题 第三章 函数 考点1 函数与反函数初步 典型考法1 函数的概念 典型考法２ 符号的理解与应用 考点2 定义域与函数关系式 典型考法1 以定义域形式出现的恒成立问题 典型考法2 已知函数类型，求函数关系式 典型考法3 已知函数满足某种关系，求函数关系式 典型考法4 根据实际问题，求函数关系式 考点3 最大值与最小值 典型考法1 函数的最值 典型考法2 二次函数的最值 典型考法3 双曲函数的最值 典型考法4 最值与值域的逆向问题 考点4 单调性与奇偶性 典型考法1 判断（或证明）含参数的函数的单调性与奇偶性. ‎ 典型考法2 含参数的二次函数的单调性 典型考法3 挖掘并利用函数的性质 典型考法4 函数的单调性、奇偶性、最值及值域综合 考点5 周期性与图像 典型考法1 作图与识图 ‎ 典型考法２ 图像变换 典型考法3 函数周期性与图像对称性 典型考法4 函数图像与方程 典型考法5 周期性与抽象函数 考点6 幂函数、指数函数与对数函数 典型考法1 指数方程与对数方程 ‎ 典型考法2 指数不等式与对数不等式 ‎ 典型考法3 幂函数、指数函数与对数函数的综合问题 第四章 三角比与三角函数 考点1 任意角的三角函数与三角变换 典型考法1 任意角的三角函数 典型考法２ 同角三角函数关系式的运用 典型考法3 “和、差、倍、半”角的公式的运用 考点2 解三角形 典型考法1 三角形的应用题 典型考法２ 三角形的形状判定 典型考法3 三角形中的最值 考点3 三角函数的图像与性质 典型考法1 与正弦函数、余弦函数的图像有关的面积问题 典型考法2 与正弦函数、余弦函数的图像有关的对称问题 典型考法3 三角函数的最值 典型考法4 三角中的不等关系 典型考法5 三角函数综合问题 典型考法6 含参数的三角方程 第五章 数列 考点1 等差数列 典型考法1 等差数列的通项与前n项和 典型考法2 判断或证明数列是等差数列 典型考法3 等差数列的基本性质 考点2 等比数列 典型考法1 等比数列的通项与前n项和 典型考法2 判断或证明数列是等比数列 典型考法3 等比数列的基本性质 考点3 数列综合 典型考法1 简单递推数列的通项公式 典型考法2 数列的最大（小）项 典型考法３ 数列求和 ‎ 典型考法4 数列的应用 典型考法5 数列与函数的交汇 典型考法6 数列与圆锥曲线的交汇 ‎ 典型考法7 数列与方程的交汇 典型考法8 数列与不等式的交汇 典型考法9 数列中的恒成立问题 ‎ 典型考法10 数表与数阵 典型考法11 数列中的研究性问题 第六章 平面向量 考点1 平面向量的基础 典型考法1 考查向量的数量积 ‎ 典型考法2 判断三角形的形状 ‎ 典型考法3 向量与三角形的“心”‎ 典型考法4 向量与三角形的面积 ‎ 典型考法5 一个模型及应用 ‎ 考点2 平面向量与其它知识的整合 ‎ 典型考法1 平面向量与函数的整合 ‎ 典型考法2 平面向量与数列的整合 ‎ 典型考法３ 平面向量与三角的整合 ‎ 典型考法4 平面向量与圆锥曲线的整合 第七章 直线与圆 考点1 直线方程 ‎ 典型考法1 倾斜角和斜率 典型考法2 直线中的对称与折叠问题 ‎ 典型考法3 与直线有关的最值问题 考点2 圆的方程 典型考法1 与圆有关的轨迹 ‎ 典型考法2 与圆有关的最值 典型考法3 直线与圆 考点3 线性规划 ‎ 典型考法1 最值问题 ‎ 典型考法2 参数问题 ‎ 典型考法3 与其他知识的交汇 ‎ 第八章 椭圆、双曲线与抛物线 考点1 椭圆 典型考法1 椭圆的最值问题 ‎ 典型考法2 与椭圆有关的定点、定值问题 典型考法3 椭圆与直线 典型考法4 椭圆与圆 考点2 双曲线 典型考法1 双曲线的最值问题 ‎ 典型考法2 与双曲线有关的定点、定值问题 典型考法3 双曲线与直线 典型考法4 双曲线与圆 考点3 抛物线 典型考法1 抛物线的最值问题 ‎ 典型考法2 与抛物线有关的定点、定值问题 典型考法3 抛物线与直线 典型考法4 抛物线与圆 第九章 空间的基本图形与简单几何体 考点1 空间点、线、面间的位置关系 典型考法1 基本位置关系 典型考法2 空间的轨迹 考点2 空间的角与距离 典型考法1 异面直线所成的角 典型考法2 线面所成的角 典型考法3 二面角 典型考法4 点、面间距离 典型考法5 球面距离 典型考法6 几何体体积 考点3 三视图 典型考法1 以几何体为载体，考查三视图的画法 典型考法2 根据三视图，还原几何体 考点4 折叠与最值 典型考法1 空间图形的折叠 典型考法2 几何体中的最值 第十章 概率与统计 ‎ 考点1 概率 ‎ 典型考法1 古典概型 ‎ 典型考法2 互斥事件与独立事件的概率 典型考法3 几何概型 ‎ 考点2 统计 ‎ 典型考法1 频率分布直方图 典型考法2 离散型随机变量的分布列与数学期望 ‎ 第十一章 导数的应用 ‎ 考点1 单调性 典型考法1 讨论函数的单调性、并利用单调性求参数的取值范围 典型考法2 借助单调性证明不等式 考点2 最值与极值 ‎ 典型考法1 求函数的最值和极值并证明不等式 典型考法2 已知极值（最值），求参数的值或取值范围 考点3 曲线的切线 ‎ 典型考法1 确定曲线方程中的参数 典型考法2 两曲线的公切线 ‎ 考点4 函数的零点与图像的交点 典型考法1 函数的零点 ‎ 典型考法2 图像的交点 ‎