【数学】河北省沧州市河间市第四中学2019-2020学年高二期末考试试卷(解析版)

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【数学】河北省沧州市河间市第四中学2019-2020学年高二期末考试试卷(解析版)

www.ks5u.com 河北省沧州市河间市第四中学2019-2020学年 高二期末考试试卷 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.已知p:2x-3<1,q:x2-3x<0,则p是q的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎2.抛物线y=x2的焦点坐标为(  )‎ A.(,0)    B.(0,1) C. (-,0) D.(0,-1)‎ ‎3.设双曲线-=1(a>0)的渐近线方程为3x±2y=0,则a的值为 (  )‎ A.4 B.3 C.2 D.1‎ ‎4.双曲线+=1的离心率e∈(1,2),则k的取值范围是(  )‎ A. (-12,0) B.(-3,0) C.(-∞,0) D.(-60,-12)‎ ‎5.下列结论正确的个数是(  )‎ ‎①命题“所有的四边形都是平行四边形”是特称命题;②命题“∀x∈R,x2+1>0”是全称命题;③若p:∃x∈R,x2+2x+1≤0,则p的否定为:∀x∈R,x2+2x+1≤0.‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎6.以-=-1的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为 (  )‎ A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1‎ ‎7.直线y=kx+2与抛物线y2=8x只有一个公共点,则k的值为(  )‎ A.1或0 B.0 C.1 D.1或3‎ ‎ ‎ ‎8.若双曲线-=1的左焦点在抛物线y2=2px的准线上,则p的值为(  )‎ A.2 B.3 C.4 D.4 ‎9.已知双曲线-=1的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线上,且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率e的最大值为(  )‎ A. B. C. D.2‎ ‎10.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中, ‎ AB=BC=AA1,∠ABC=90°,点EF分别是 ‎ 棱AB,BB1的中点,则直线EF和BC1所成的角是(  ) ‎ A.45° B.60° C.90° D.120° ‎ ‎11.给出下列曲线,其中与直线y=-2x-3有交点的所有曲线是(  )‎ ‎①4x+2y-1=0;②x2+y2=3;③+y2=1;④-y2=1.‎ A.①③ B.②④ C.①②③ D.②③④‎ ‎12.过点M(-2,0)的直线l与椭圆x2+2y2=2交于P1,P2两点,设线段P1P2的中点为P.若直线l的斜率为k1(k1≠0),直线OP的斜率为k2,则k1·k2等于(  )‎ A.- B. C.-2 D.2‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分.把答案填在题中横线上)‎ ‎13.命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是________.‎ ‎ ‎ ‎14.椭圆+y2=1的两个焦点F1,F2,过点F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,其中一个交点为P,则|PF2|=______.‎ ‎15.已知直线l1的一个方向向量为(-7,4,3),直线l2的一个方向向量为(x,y,6),且l1∥l2,则x=________,y=________.‎ ‎16.如图在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1, ‎ 则AC1与平面ABCD所成角的余弦值 为________.‎ 三、解答题(本大题共6小题,满分70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(10分)已知双曲线与椭圆+=1有公共的焦点,并且椭圆的离心率与双曲线的离心率之比为,求双曲线的方程.‎ ‎18.(12分)已知双曲线中心在原点,且一个焦点为(,0),直线y=x-1与其相交于M,N两点,MN的中点的横坐标为-,求此双曲线的方程.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)抛物线y=-与过点M(0,-1)的直线l相交于A,B两点,O为原点,若OA和OB的斜率之和为1,求直线l的方程.‎ ‎20.(12分)已知椭圆C的中心为平面直角坐标系xOy的原点,焦点在x轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)若P为椭圆C上的动点,M为过P且垂直于x轴的直线上的点,=e(e为椭圆C的离心率),求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.‎ ‎21.(12分)如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在的平面,AB=2,PC与平面ABCD所成角是45°,F是AD的中点,M是PC的中点. ‎ 求证:DM∥平面PFB. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎22.(12分)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,点D是A1B1的中点,点E在A1C1上,且DE⊥AE.‎ ‎(1)证明:平面ADE⊥平面ACC1A1; ‎ ‎(2)求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值.‎ ‎ ‎ 参考答案 ‎1-12、DBCAB DACCB DA ‎1.解析 p:x<2,q:00.∴①不正确,②正确,③不正确. 答案 B ‎6.答案D ‎7解析 验证知,当k=0时,有⇒适合题意.‎ 当k=1时,有解得也适合题意, ∴k=0或1. 答案 A ‎8.解析 设双曲线的焦距为2c,由双曲线方程知c2=3+,则其左焦点为(-,0).‎ 由抛物线方程y2=2px知其准线方程为x=-,‎ 由双曲线的左焦点在抛物线的准线上知,3+=,且p>0,解得p=4.‎ ‎ ‎ 答案 C ‎9.解析 由双曲线的定义知,|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|=4|PF2|,∴|PF1|=,|PF2|=.‎ 又|PF2|≥c-a,即≥c-a.∴≤.即e≤. 答案 C ‎10.解析 建立空间直角坐标如图所示.‎ 设AB=2,则=(0,-1,1).‎ =(2,0,2),∴cos〈·〉===,故EF与BC1所成的角为60°.‎ 答案 B ‎11.解析 直线y=-2x-3与4x+2y-1=0平行,所以与①不相交.‎ ‎②中圆心(0,0)到直线2x+y+3=0的距离d=<.所以与②相交.把y=-2x-3代入+y2=1,得+4x2+12x+9=1,即9x2+24x+16=0,Δ=242-4×9×16=0,所以与③有交点.观察选项知,选D.‎ 答案 D ‎12.解析 设直线l的方程为y=k1(x+2),代入x2+2y2=2,得(1+2k)x2+8kx+8k-2=0,‎ 设P1(x1,y1),P2(x2,y2),则x1+x2=,而y1+y2=k1(x1+x2+4)=.‎ ‎ ‎ ‎∴k2==-,∴k1·k2=-. 答案 A ‎13.答案 任意一个三角形都有外接圆 解析 命题“存在一个三角形没有外接圆”是特称命题,它的否定是全称命题“任意一个三角形都有外接圆.”‎ ‎14.答案7/2 15.答案 -14 8‎ ‎16.答案  解析 由题意知,AC1==3,AC==2,在Rt△AC1C中,cos∠C1AC==.‎ ‎17.解 椭圆+=1的焦点为(0,±),离心率为e1=.由题意可知双曲线的焦点为(0,±),离心率e2=,∴双曲线的实轴长为6.‎ ‎∴双曲线的方程为-=1.‎ ‎18.解 设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),依题意c=,∴方程可以化为-=1,‎ 由得(7-2a2)x2+2a2x-8a2+a4=0.设M(x1,y1),N(x2、y2),则x1+x2=,∵=-,∴=-,解得a2=2. ∴双曲线的方程为-=1.‎ ‎19.解 显然直线l垂直于x轴不合题意,故设所求的直线方程为y=kx-1,代入抛物线方程化简,得x2+2kx-2=0.由根的判别式Δ=4k2+8=4(k2+2)>0,于是有k∈R.‎ 设点A的坐标为(x1,y1),点B的坐标为(x2,y2),则+=1.①‎ 因为y1=kx1-1,y2=kx2-1,代入① ,得2k-(+)=1.②‎ ‎ ‎ 又因为x1+x2=-2k,x1x2=-2,代入②得k=1.所以直线l的方程为y=x-1.‎ ‎20.解 (1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a,c由已知得 解得所以椭圆C的方程为+=1.‎ ‎(2)设M(x,y),P(x,y1),其中x∈[-4,4].由已知得=e2.‎ 而e=,故16(x2+y)=9(x2+y2).①由点P在椭圆C上得y=,‎ 代入①式并化简得9y2=112,‎ 所以点M的轨迹方程为y=±(-4≤x≤4),它是两条平行于x轴的线段.‎ ‎21.证明 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系,由PC与平面ABCD所成的角为45°,即∠PCD=45°,得PD=2,则P(0,0,2),C(0,2,0),B(2,2,0),F(1,0,0),D(0,0,0),M(0,1,1),‎ ‎∴=(1,2,0),=(-1,0,2),=(0,1,1).设平面PFB的法向量为n=(x,y,z),‎ 则∴即令y=1,则x=-2,z=-1.‎ 故平面PFB的一个法向量为n=(-2,1,-1).∵·n=0,∴⊥n.‎ 又DM⊄平面PFB,则DM∥平面PFB.‎ ‎22.解 (1)证明:由正三棱柱ABC-A1B1C1的性质知AA1⊥平面A1B1C1.又DE⊂平面A1B1C1,‎ 所以DE⊥AA1.而DE⊥AE,AA1∩AE=A,所以DE⊥平面ACC1A1.又DE⊂平面ADE,‎ 故平面ADE⊥平面ACC1A1.‎ ‎(2)如图所示,设O是AC的中点,以O为原点建立空间直角坐标系.‎ ‎ ‎ 设AA1=,则AB=2,故A(0,-1,0),B(,0,0),C1(0,1,),D(,-,).‎ 易知=(,1,0),=(0,2,),=(,,).设平面ABC1的一个法向量为n=(x,y,z),则有解得x=-y,z=-y.‎ 故可取n=(1,-,).所以cos〈n,〉===.‎ 由此可知,直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为.‎ ‎ ‎
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