2020年广东省中考数学预测试卷（一） 解析版

2020年广东省中考数学预测试卷（一） 解析版

‎2020年广东省中考数学预测试卷（一）‎ 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）‎ ‎1．（3分）﹣2的绝对值为（　　）‎ A．﹣ B． C．﹣2 D．2‎ ‎2．（3分）2019年是中华人民共和国成立70周年，10月1日上午在天安门举行了盛大的阅兵式和群众游行，约有115000名官兵和群众参与，是我们每个中国人的骄傲．将115000用科学记数法表示为（　　）‎ A．115×103 B．11.5×104 C．1.15×105 D．0.115×106‎ ‎3．（3分）下列图形中，是中心对称图形，而不是轴对称图形的是（　　）‎ A．菱形 B．平行四边形 C．正六边形 D．矩形 ‎4．（3分）现有一组数据：1，4，3，2，4，x．若该组数据的中位数是3，则x的值为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎5．（3分）在平面直角坐标系中，点A（2，﹣3）在第（　　）象限．‎ A．一 B．二 C．三 D．四 ‎6．（3分）下列计算中，正确的是（　　）‎ A．a4+a4＝a8 B．a4•a4＝2a4 ‎ C．（a3）4•a2＝a14 D．（2x2y）3÷6x3y2＝x3y ‎7．（3分）在数轴上表示a、b两数的点如图所示，则下列判断正确的是（　　）‎ A．a+b＞0 B．a+b＜0 C．ab＞0 D．|a|＞|b|‎ ‎8．（3分）如图，边长为2的等边△ABC的内切圆的半径为（　　）‎ A．1 B． C．2 D．2‎ ‎9．（3分）随着数学学习的深入，数系不断扩充，引入新数i，规定i2＝﹣1，并且新数i满足交换律、结合律和分配律，则（1+i）•（2﹣i）运算结果是（　　）‎ A．3﹣i B．2+i C．1﹣i D．3+i ‎10．（3分）如右图，在▱ABCD中，直线l⊥LBD．将直线l沿BD从B点匀速平移至D点，在运动过程中，直线l与▱ABCD两边的交点分别记为点E、F．设线段EF的长为y，平移时间为t则下列图象中，能表示y与t的函数关系的图象大致是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 二、填空题（共7小题，每题4分，共28分）‎ ‎11．（4分）计算：（﹣3）2+（﹣4）0＝　 　．‎ ‎12．（4分）使代数式有意义的x取值范围是　 　．‎ ‎13．（4分）如图，AB∥CD，AC∥BD，∠1＝28°，则∠2的度数为　 　．‎ ‎14．（4分）如果一个多边形的内角和是1800度，它是　 　边形．‎ ‎15．（4分）某中学随机调查了15名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：‎ 一周在校的体育锻炼时间（小时）‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 人数 ‎2‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎2‎ 那么这15名学生这一周在校参加体育锻炼的时间的众数是　 　小时．‎ ‎16．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+px﹣3＝0的一个根为﹣3，则它的另一根为　 　．‎ ‎17．（4分）如图，线段AB是直线y＝5x+1的一部分，点A的坐标为（0，1），点B的纵坐标是6，曲线BC是双曲线y＝的一部分，点C的横坐标是6．由点C开始，不断重复曲线“A﹣B﹣C”，形成一组波浪线．已知点P（18，m），Q（21，n）均在该组波浪线上，分别过点P，Q向x轴作垂线段，垂足分别为D和E，则四边形PDEQ的面积是　 　．‎ 三、解答题（一）（共3小题，每题6分，共18分）‎ ‎18．（6分）解不等式，并利用数轴确定该不等式组的解．‎ ‎19．（6分）先化简，再求值：（1+），其中x＝+2．‎ ‎20．（6分）已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BD于点E．‎ ‎（1）求作：线段CF，使得CF⊥BD于点F（请用无刻度的直尺与圆规作图，不写作法和证明，但要保留作图痕迹）‎ ‎（2）在（1）的条件下，求证：AE＝CF．‎ 四、解答题（二）（共3小题，每题8分，共24分）‎ ‎21．（8分）湖南省作为全国第三批启动高考综合改革的省市之一，从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施高考综合改革．深化高考综合改革，承载着广大考生的美好期盼，事关千家万户的切身利益，社会关注度高．为了了解我市某小区居民对此政策的关注程度，某数学兴趣小组随机采访了该小区部分居民，根据采访情况制作了如下统计图表：‎ 关注程度 频数 频率 A．高度关注 m ‎0.4‎ B．一般关注 ‎100‎ ‎0.5‎ C．没有关注 ‎20‎ n ‎（1）根据上述统计图表，可得此次采访的人数为　 　，m＝　 　，n＝　 　．‎ ‎（2）根据以上信息补全图中的条形统计图．‎ ‎（3）请估计在该小区1500名居民中，高度关注新高考政策的约有多少人？‎ ‎22．（8分）如图，在建筑物AB上，挂着35m长的宣传条幅AE，从另一建筑物CD的顶部D处看条幅顶端A处，仰角为45°，看条幅底端E处，俯角为37°．求两建筑物间的距离BC．‎ ‎（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）‎ ‎23．（8分）如图，抛物线y＝ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3．‎ ‎（1）求该抛物线的函数解析式；‎ ‎（2）连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝3：2时，求点D的坐标．‎ 五、解答题（三）（共2小题，每题10分，共20分）‎ ‎24．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB＝10，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连接CP、OP．‎ ‎（1）求证：点D为BC的中点；‎ ‎（2）求AP的长度；‎ ‎（3）求证：CP是⊙O的切线．‎ ‎25．（10分）如图，将一块三角板放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，一直角边始终经过点B，另一直角边与射线DC相交于点Q．设AP＝x．‎ ‎（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB有怎样的数量关系？试证明你观察得到的结论；‎ ‎（2）是否存在点P（P不与A重合），使△PCQ为等腰三角形？若存在，请求出相应的x值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）设以点B，C，P，Q为顶点的多边形的面积为y，试确定y与x之间的函数关系式．‎ ‎2020年广东省中考数学预测试卷（一）‎ 参考答案与试题解析 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）‎ ‎1．（3分）﹣2的绝对值为（　　）‎ A．﹣ B． C．﹣2 D．2‎ ‎【分析】直接利用绝对值的性质化简得出答案．‎ ‎【解答】解：﹣2的绝对值为：2．‎ 故选：D．‎ ‎2．（3分）2019年是中华人民共和国成立70周年，10月1日上午在天安门举行了盛大的阅兵式和群众游行，约有115000名官兵和群众参与，是我们每个中国人的骄傲．将115000用科学记数法表示为（　　）‎ A．115×103 B．11.5×104 C．1.15×105 D．0.115×106‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数 ‎【解答】解：将115000用科学记数法表示为：1.15×105．‎ 故选：C．‎ ‎3．（3分）下列图形中，是中心对称图形，而不是轴对称图形的是（　　）‎ A．菱形 B．平行四边形 C．正六边形 D．矩形 ‎【分析】根据多边形的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答．‎ ‎【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项错误；‎ B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项正确；‎ C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项错误；‎ D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故选项错误．‎ 故选：B．‎ ‎4．（3分）现有一组数据：1，4，3，2，4，x．若该组数据的中位数是3，则x的值为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【分析】根据中位数的定义，数据：1，4，3，2，4，x共有6个数，最中间的数只能为x 和4，然后根据它们的中位数为3，即可求出x的值．‎ ‎【解答】解：数据1，4，3，2，4，x中共有6个数，‎ 该组数据的中位数是3，‎ ‎＝3‎ 解得x＝3．‎ 故选：C．‎ ‎5．（3分）在平面直角坐标系中，点A（2，﹣3）在第（　　）象限．‎ A．一 B．二 C．三 D．四 ‎【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．‎ ‎【解答】解：点A（2，﹣3）在第四象限．‎ 故选：D．‎ ‎6．（3分）下列计算中，正确的是（　　）‎ A．a4+a4＝a8 B．a4•a4＝2a4 ‎ C．（a3）4•a2＝a14 D．（2x2y）3÷6x3y2＝x3y ‎【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案．‎ ‎【解答】解：A、a4+a4＝2a4，故此选项错误；‎ B、a4•a4＝a8，故此选项错误；‎ C、（a3）4•a2＝a14 ，正确；‎ D、（2x2y）3÷6x3y2＝8x6y3÷6x3y2＝x3y，故此选项错误；‎ 故选：C．‎ ‎7．（3分）在数轴上表示a、b两数的点如图所示，则下列判断正确的是（　　）‎ A．a+b＞0 B．a+b＜0 C．ab＞0 D．|a|＞|b|‎ ‎【分析】由数轴可知，a＞0，b＜0，|a|＜|b|，排除D，再由有理数加法法则和乘法法则排除A、C．‎ ‎【解答】解：由数轴可知，a为正数，b为负数，且|a|＜|b|，‎ ‎∴a+b应该是负数，即a+b＜0，‎ 又∵a＞0，b＜0，ab＜0，‎ 故答案A、C、D错误．‎ 故选：B．‎ ‎8．（3分）如图，边长为2的等边△ABC的内切圆的半径为（　　）‎ A．1 B． C．2 D．2‎ ‎【分析】连接AO、CO，CO的延长线交AB于H，如图，利用内心的性质得CH平分∠BCA，AO平分∠BAC，再根据等边三角形的性质得∠CAB＝60°，CH⊥AB，则∠OAH＝30°，AH＝BH＝AB＝3，然后利用正切的定义计算出OH即可．‎ ‎【解答】解：设△ABC的内心为O，连接AO、BO，CO的延长线交AB于H，如图，‎ ‎∵△ABC为等边三角形，‎ ‎∴CH平分∠BCA，AO平分∠BAC，∵△ABC为等边三角形，‎ ‎∴∠CAB＝60°，CH⊥AB，‎ ‎∴∠OAH＝30°，AH＝BH＝AB＝，‎ 在Rt△AOH中，∵tan∠OAH＝＝tan30°，‎ ‎∴OH＝×＝1，‎ 即△ABC内切圆的半径为1．‎ 故选：A．‎ ‎9．（3分）随着数学学习的深入，数系不断扩充，引入新数i，规定i2＝﹣1，并且新数i满足交换律、结合律和分配律，则（1+i）•（2﹣i）运算结果是（　　）‎ A．3﹣i B．2+i C．1﹣i D．3+i ‎【分析】根据多项式乘多项式，用多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再将i2＝﹣1代入即可得解．‎ ‎【解答】解：原式＝2﹣i+2i﹣i2＝2+i﹣i2，‎ ‎∵i2＝﹣1，‎ ‎∴原式＝2+i+1＝3+i．‎ 故选：D．‎ ‎10．（3分）如右图，在▱ABCD中，直线l⊥LBD．将直线l沿BD从B点匀速平移至D点，在运动过程中，直线l与▱ABCD两边的交点分别记为点E、F．设线段EF的长为y，平移时间为t则下列图象中，能表示y与t的函数关系的图象大致是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】当点E在AB上运动时，EH＝BHtanβ＝cosαtanβ•t；当直线l在AC之间运动时，EF为常数；当直线l在CD上运动时，EF的表达式为一次函数，即可求解．‎ ‎【解答】解：①当点E在AB上运动时，‎ 设直线BD交直线l于点H，∠DBC＝α，∠DBA＝β，‎ 则HF＝BFsinα＝sinα•t，BH＝cosα•t，‎ 则EH＝BHtanβ＝cosαtanβ•t，‎ FE＝EH+FH＝（sinα+cosαtanβ）•x，为一次函数；‎ ‎②当直线l在AC之间运动时，‎ EF为常数；‎ ‎③当直线l在CD上运动时，‎ 同理可得：EF的表达式为一次函数，‎ 故选：D．‎ 二、填空题（共7小题，每题4分，共28分）‎ ‎11．（4分）计算：（﹣3）2+（﹣4）0＝　10　．‎ ‎【分析】直接利用有理数的乘方运算法则以及零指数幂的性质化简得出答案．‎ ‎【解答】解：原式＝9+1‎ ‎＝10．‎ 故答案为：10．‎ ‎12．（4分）使代数式有意义的x取值范围是　x≥1　．‎ ‎【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可．‎ ‎【解答】解：∵代数式有意义，‎ ‎∴x﹣1≥0，‎ 解得：x≥1．‎ 故答案为：x≥1．‎ ‎13．（4分）如图，AB∥CD，AC∥BD，∠1＝28°，则∠2的度数为　28°　．‎ ‎【分析】由平行线的性质得出∠1＝∠A，再由平行线的性质得出∠2＝∠A，即可得出结果．‎ ‎【解答】解：∵AC∥BD，‎ ‎∴∠1＝∠A，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠2＝∠A，‎ ‎∴∠2＝∠1＝28°，‎ 故答案为：28°．‎ ‎14．（4分）如果一个多边形的内角和是1800度，它是　12　边形．‎ ‎【分析】n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．‎ ‎【解答】解：这个正多边形的边数是n，‎ 则（n﹣2）•180°＝1800°，‎ 解得：n＝12，‎ 则这个正多边形是12．‎ 故答案为：12．‎ ‎15．（4分）某中学随机调查了15名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：‎ 一周在校的体育锻炼时间（小时）‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 人数 ‎2‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎2‎ 那么这15名学生这一周在校参加体育锻炼的时间的众数是　7　小时．‎ ‎【分析】根据众数的概念求解．‎ ‎【解答】解：这15名学生中，一周在校的体育锻炼7小时的人数最多，即众数为7．‎ 故答案为：7．‎ ‎16．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+px﹣3＝0的一个根为﹣3，则它的另一根为　1　．‎ ‎【分析】设方程的另一个根为m，根据两根之积得出﹣3m＝﹣3，解之可得．‎ ‎【解答】解：设方程的另一个根为m，‎ 则﹣3m＝﹣3，‎ 解得m＝1，‎ 故答案为：1．‎ ‎17．（4分）如图，线段AB是直线y＝5x+1的一部分，点A的坐标为（0，1），点B的纵坐标是6，曲线BC是双曲线y＝的一部分，点C的横坐标是6．由点C开始，不断重复曲线“A﹣B﹣C”，形成一组波浪线．已知点P（18，m），Q（21，n）均在该组波浪线上，分别过点P，Q向x轴作垂线段，垂足分别为D和E，则四边形PDEQ的面积是　‎ ‎　．‎ ‎【分析】A，C之间的距离为6，点Q与点P的水平距离为3，进而得到A，B之间的水平距离为1，且k＝6，根据四边形PDEQ的面积为＝，即可得到四边形PDEQ的面积．‎ ‎【解答】解：A，C之间的距离为6，‎ ‎18÷6＝3，故点P离x轴的距离与点A离x轴的距离相同，‎ ‎∴点P离x轴的距离为1，‎ ‎∴m＝1，‎ ‎21﹣18＝3，故点Q与点P的水平距离为3，‎ 在y＝5x+1中，当y＝6时，x＝1，即点B（1，6）‎ ‎∵6＝，‎ 解得k＝6，‎ ‎∴双曲线y＝，‎ 把x＝3代入得y＝2，‎ 即点Q离x轴的距离为2，‎ 四边形PDEQ的面积是＝．‎ 故答案为．‎ 三、解答题（一）（共3小题，每题6分，共18分）‎ ‎18．（6分）解不等式，并利用数轴确定该不等式组的解．‎ ‎【分析】分别计算出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．‎ ‎【解答】解：，‎ 由①得，x＜1，‎ 由②得，x≥﹣2，‎ 在数轴上表示为：‎ ‎，‎ 故原不等式组的解集为：﹣2≤x＜1．‎ ‎19．（6分）先化简，再求值：（1+），其中x＝+2．‎ ‎【分析】根据分式的加法和乘法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．‎ ‎【解答】解：（1+）‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝，‎ 当x＝+2时，原式＝．‎ ‎20．（6分）已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BD于点E．‎ ‎（1）求作：线段CF，使得CF⊥BD于点F（请用无刻度的直尺与圆规作图，不写作法和证明，但要保留作图痕迹）‎ ‎（2）在（1）的条件下，求证：AE＝CF．‎ ‎【分析】（1）利用基本作图，过点C作BD的垂线，垂足为F即可；‎ ‎（2）根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，则∠ABC＝∠CDB，然后证明△ABE≌△CDF，从而得到AE＝CF．‎ ‎【解答】（1）解：如图，CF为所作；‎ ‎（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，‎ ‎∴AB＝CD，AB∥CD，‎ ‎∵∠ABC＝∠CDB，‎ ‎∵AE⊥BD，CF⊥BD，‎ ‎∴∠AEB＝90°，∠CFD＝90°，‎ 在△ABE和△CDF中 ‎，‎ ‎∴△ABE≌△CDF（AAS），‎ ‎∴AE＝CF．‎ 四、解答题（二）（共3小题，每题8分，共24分）‎ ‎21．（8分）湖南省作为全国第三批启动高考综合改革的省市之一，从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施高考综合改革．深化高考综合改革，承载着广大考生的美好期盼，事关千家万户的切身利益，社会关注度高．为了了解我市某小区居民对此政策的关注程度，某数学兴趣小组随机采访了该小区部分居民，根据采访情况制作了如下统计图表：‎ 关注程度 频数 频率 A．高度关注 m ‎0.4‎ B．一般关注 ‎100‎ ‎0.5‎ C．没有关注 ‎20‎ n ‎（1）根据上述统计图表，可得此次采访的人数为　200　，m＝　80　，n＝　0.1　．‎ ‎（2）根据以上信息补全图中的条形统计图．‎ ‎（3）请估计在该小区1500名居民中，高度关注新高考政策的约有多少人？‎ ‎【分析】（1）根据上述统计图表，可得此次采访的人数为100÷0.5＝200（人），m＝200×0.4＝80（人），n＝1﹣0.4﹣0.5＝0.1；‎ ‎（2）据上信息补全图中的条形统计图；‎ ‎（3）高度关注新高考政策的人数：1500×0.4＝600（人）．‎ ‎【解答】解：（1）根据上述统计图表，可得此次采访的人数为100÷0.5＝200（人），‎ m＝200×0.4＝80（人），n＝1﹣0.4﹣0.5＝0.1；‎ 故答案为200，80，0.1；‎ ‎（2）补全图中的条形统计图 ‎（3）高度关注新高考政策的人数：1500×0.4＝600（人），‎ 答：高度关注新高考政策的约有600人．‎ ‎22．（8分）如图，在建筑物AB上，挂着35m长的宣传条幅AE，从另一建筑物CD的顶部D处看条幅顶端A处，仰角为45°，看条幅底端E处，俯角为37°．求两建筑物间的距离BC．‎ ‎（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）‎ ‎【分析】过点D作DF⊥AB于点F，根据∠ADF和∠EDF可以求得AF与DF、EF与DF的关系，利用AE＝AF+EF＝35即可求得DF的值，即可解题．‎ ‎【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，‎ 则BC＝DF，‎ 在Rt△ADF中，∠ADF＝45°，则AF＝DF，‎ 在Rt△DFE中，∠EDF＝37°，则EF＝DF•tan37°，‎ 又因为AF+EF＝AE，‎ 所以DF+DF•tan37°＝35，‎ 解得：DF＝BC＝20（m），‎ 答：两建筑物间的距离BC为20m．‎ ‎23．（8分）如图，抛物线y＝ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3．‎ ‎（1）求该抛物线的函数解析式；‎ ‎（2）连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝3：2时，求点D的坐标．‎ ‎【分析】（1）c＝3，点B（3，0），将点B的坐标代入抛物线表达式：y＝ax2+2x+3并解得：a＝﹣1，即可求解；‎ ‎（2）S△COF：S△CDF＝3：2，则OF：FD＝3：2，DH∥CO，故CO：DM＝3：2，则DM＝CO＝2，而DM＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝2，即可求解．‎ ‎【解答】解：（1）∵OB＝OC＝3．‎ ‎∴c＝3，点B（3，0），‎ 将点B的坐标代入抛物线表达式：y＝ax2+2x+3并解得：a＝﹣1，‎ 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；‎ ‎（2）如图，过点D作DH⊥x轴于点H，交AB于点M，‎ S△COF：S△CDF＝3：2，则OF：FD＝3：2，‎ ‎∵DH∥CO，故CO：DM＝3：2，则DM＝CO＝2，‎ 由B、C的坐标得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，‎ 设点D（x，﹣x2+2x+3），则点M（x，﹣x+3），‎ DM＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝2，‎ 解得：x＝1或2，‎ 故点D（1，4）或（2，3）．‎ 五、解答题（三）（共2小题，每题10分，共20分）‎ ‎24．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB＝10，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连接CP、OP．‎ ‎（1）求证：点D为BC的中点；‎ ‎（2）求AP的长度；‎ ‎（3）求证：CP是⊙O的切线．‎ ‎【分析】（1）连接AD，由圆周角定理可知∠ADB＝90°，证得结论；‎ ‎（2）根据等腰三角形的性质得到AD平分∠BAC，即∠BAD＝∠CAD，根据圆周角定理得＝，则BD＝DE，所以BD＝DE＝DC，得到∠DEC＝∠DCE，在等腰△ABC中可计算出∠ABC＝75°，故∠DEC＝75°，再由三角形内角和定理得出∠EDC的度数，再根据BP∥DE可知∠PBC＝∠EDC＝30°，进而得出∠ABP的度数，然后利用OB＝OP，可知∠OBP＝∠OPB，由三角形内角和定理即可得出∠BOP＝90°，则△AOP是等腰直角三角形，易得AP的长度；‎ ‎（3）设OP交AC于点G，由∠BOP＝90°可知∠AOG＝90°，在Rt△AOG中，由∠OAG＝30°可得＝，由于＝＝，则＝，根据三角形相似的判定可得到△AOG∽△CPG，由相似三角形形的性质可知∠GPC＝∠AOG＝90°，然后根据切线的判定定理即可得到CP是⊙O的切线．‎ ‎【解答】解：（1）BD＝DC．理由如下：‎ 如图1，连接AD，‎ ‎∵AB是直径，‎ ‎∴∠ADB＝90°，‎ ‎∴AD⊥BC．‎ ‎（2）如图1，连接AP．‎ ‎∵AD是等腰△ABC底边上的中线，‎ ‎∴∠BAD＝∠CAD，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴BD＝DE．‎ ‎∴BD＝DE＝DC，‎ ‎∴∠DEC＝∠DCE，‎ ‎△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，‎ ‎∴∠DCE＝∠ABC＝（180°﹣30°）＝75°，‎ ‎∴∠DEC＝75°，‎ ‎∴∠EDC＝180°﹣75°﹣75°＝30°，‎ ‎∵BP∥DE，‎ ‎∴∠PBC＝∠EDC＝30°，‎ ‎∴∠ABP＝∠ABC﹣∠PBC＝75°﹣30°＝45°，‎ ‎∵OB＝OP，‎ ‎∴∠OBP＝∠OPB＝45°，‎ ‎∴∠BOP＝90°．‎ ‎∴△AOP是等腰直角三角形．‎ ‎∵AO＝AB＝5．‎ ‎∴AP＝AO＝5；‎ ‎（3）解法一：设OP交AC于点G，如图1，则∠AOG＝∠BOP＝90°，‎ 在Rt△AOG中，∠OAG＝30°，‎ ‎∴＝，‎ 又∵＝＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴＝．‎ 又∵∠AGO＝∠CGP，‎ ‎∴△AOG∽△CPG，‎ ‎∴∠GPC＝∠AOG＝90°，‎ ‎∴OP⊥PC，‎ ‎∴CP是⊙O的切线；‎ 解法二：如图2，作CM⊥AB于M，‎ ‎∵∠BOP＝90°，‎ ‎∴CM∥OP，‎ ‎∵OP＝AB，‎ 在Rt△AME中，‎ ‎∵∠BAC＝30°，可 ‎∴CM＝AC，‎ ‎∴CM＝AB，‎ ‎∴CM＝OP，‎ ‎∴四边形OPCM是矩形，‎ ‎∴∠CPO＝90°，‎ ‎∴CP是圆O的切线．‎ ‎25．（10分）如图，将一块三角板放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，一直角边始终经过点B，另一直角边与射线DC相交于点Q．设AP＝x．‎ ‎（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB有怎样的数量关系？试证明你观察得到的结论；‎ ‎（2）是否存在点P（P不与A重合），使△PCQ为等腰三角形？若存在，请求出相应的x值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）设以点B，C，P，Q为顶点的多边形的面积为y，试确定y与x之间的函数关系式．‎ ‎【分析】（1）如图1中，PQ＝PB，过P点作MN∥BC分别交AB、DC于点M、N，可以证明Rt△MBP≌Rt△NPQ；‎ ‎（2）△PCQ可能成为等腰三角形．①当点P与点A重合时，点Q与点D重合，PQ＝QC，（此种情形不符合题意）；‎ ‎②如图2中，当点Q在DC的延长线上，且CP＝CQ时，就可以用x表示出面积．‎ ‎（3）分两种情形分别求解：①如图1中，当点Q在线段CD上时，S四边形PBCQ＝S△PBC+S△PCQ分别表示出△PBC于△PCQ的面积就可以．②当点Q在DC的延长线上时，同法可求；‎ ‎【解答】解：（1）结论：PQ＝PB，‎ 理由：如图1中，过P点作MN∥BC分别交AB、DC于点M、N，‎ 在正方形ABCD中，AC为对角线，‎ ‎∴AM＝PM，‎ 又∵AB＝MN，‎ ‎∴MB＝PN，‎ ‎∵∠BPQ＝90°，‎ ‎∴∠BPM+∠NPQ＝90°；‎ 又∵∠MBP+∠BPM＝90°，‎ ‎∴∠MBP＝∠NPQ，‎ 在Rt△MBP≌Rt△NPQ中，‎ ‎∵，‎ ‎∴Rt△MBP≌Rt△NPQ，‎ ‎∴PB＝PQ．‎ ‎（2）△PCQ可能成为等腰三角形．‎ ‎①当点P与点A重合时，点Q与点D重合，‎ PQ＝QC，此时，x＝0．（此种情形不符合题意）．‎ ‎②如图2中，当点Q在DC的延长线上，且CP＝CQ时，‎ 有：QN＝AM＝PM＝x，CP＝﹣x，CN＝CP＝1﹣x，CQ＝QN﹣CN＝x﹣（1﹣x）＝x﹣1，‎ ‎∴当﹣x＝x﹣1时，x＝1．‎ ‎（3）①如图1中，当点Q在线段CD上时．‎ ‎∵S四边形PBCQ＝S△PBC+S△PCQ，‎ ‎∵AP＝x，‎ ‎∴AM＝x，‎ ‎∴CQ＝CD﹣2NQ＝1﹣x，‎ 又∵S△PBC＝BC•BM＝•1•（1﹣x）＝﹣x，‎ S△PCQ＝CQ•PN＝（1﹣x）•（1﹣x），‎ ‎＝x2﹣x+，‎ ‎∴S四边形PBCQ＝x2﹣x+1（0≤x≤）．‎ 即y═x2﹣x+1（0≤x≤）．‎ ‎②当点Q在DC的延长线上时，‎ S四边形PCQB＝S△PBC+S△BCQ＝×1×（1﹣x）+×1×（x﹣1）＝x（＜x≤）．‎ 即y＝x（＜x≤）．‎