【数学】2018届一轮复习北师大版第07讲函数的奇偶性的判断和证明学案

【数学】2018届一轮复习北师大版第07讲函数的奇偶性的判断和证明学案

‎【知识要点】‎ 一、函数的奇偶性的定义 对于函数，其定义域关于原点对称，如果恒有，那么函数为奇函数；如果恒有，那么函数为偶函数.‎ 二、奇偶函数的性质 ‎1、奇偶函数的定义域关于原点对称；2、 偶函数的图像关于轴对称，奇函数的图像关于原点对称；3、偶函数在对称区间的增减性相同，奇函数在对称区间的增减性相反；4、 奇函数在原点有定义时，必有.‎ 三、判断函数的奇偶性的方法 判断函数的奇偶性的方法，一般有三种：定义法、和差判别法、作商判别法.‎ ‎ 1、定义法 首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求；最后比较和的关系，如果有=，则函数是偶函数，如果有=-，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.‎ ‎2、和差判别法 对于函数定义域内的任意一个，若，则是奇函数；若，则是偶函数.‎ ‎3、 作商判别法 对于函数定义域内任意一个，设，若，则是奇函数，，则是偶函数.‎ ‎【方法讲评】‎ 方法一 定义法 使用情景 具体函数和抽象函数都适用.‎ 解题步骤 首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求；最后比较和的关系，如果有=，则函数是偶函数，如果有=-，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.‎ ‎【例1】判断下列函数的奇偶性.‎ ‎（1） （2）‎ ‎【点评】（1）判断函数的奇偶性首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数是非奇非偶函数. (2)函数的定义域关于原点对称，是函数为奇偶函数的必要非充分条件.（3）函数的定义域求出 之后，还要注意在解题中应用，不是走一个过场和形式.第2小题就是利用求出的定义域对函数进行了化简.‎ ‎【例2】 定义在实数集上的函数，对任意，有 且 ‎①求证：　　　　　　②求证：是偶函数 ‎【解析】证明：①令，则 ∵ ∴‎ ‎②令，则　　　∴ ‎ ‎∴是偶函数 ‎【点评】对于抽象函数的奇偶性的判断，和具体函数的判断方法一样，不同的是，由于它是抽象函数，所以在判断过程中，多要利用赋值法，常赋一些特殊值，如等. 学 ‎ ‎【例3】判断函数的奇偶性 ‎【点评】（1）对于分段函数奇偶性的判断，也是要先看函数的定义域，再考虑定义，由于它是分段函数，所以要分类讨论. （2）注意，当求要代入下面的解析式，因为,不是还代入上面一段的解析式. ‎ ‎【反馈检测1】已知 ‎ ‎（1）判断的奇偶性； （2）求的值域．‎ ‎ ‎ ‎【反馈检测2】已知函数定义域为，若对于任意的，都有 ‎，且时，有.‎ ‎（1）证明函数是奇函数；（2）讨论函数在区间上的单调性；‎ ‎（3）设，若，对所有，恒成立，‎ 求实数的取值范围.‎ 方法二 和差判别法 使用情景 一般与对数函数指数函数有关.‎ 解答步骤 对于函数定义域内的任意一个，若，则是奇函数；若，则是偶函数.‎ ‎【例4】判断函数的奇偶性.‎ ‎【点评】和差判别法实际上是奇偶函数定义的等价形式，但是利用定义判断，计算较为复杂，利用和差判别法可以化繁为简，简捷高效.‎ ‎【反馈检测3】已知函数.‎ ‎（1）求的定义域； （2）判定的奇偶性；‎ ‎（3）是否存在实数，使得的定义域为时，值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ ‎【例5】判断函数的奇偶性.‎ ‎【解析】由题得，因为 ‎，所以，所以是偶函数.‎ ‎【点评】和差判别法实际上是奇偶函数定义的等价形式，但是利用定义判断，计算较为复杂，利用和差判别法可以化繁为简，简洁高效.‎ 方法三 作商判别法 使用情景 一般含有指数函数运算.‎ 解答步骤 对于函数定义域内任意一个，设，若，则是奇函数，，则是偶函数.‎ ‎【例6】 证明函数是奇函数.‎ ‎【点评】作商判别法实际上是奇偶函数定义的等价形式，但是利用定义判断，计算较为复杂，利用作商判别法可以化繁为简，简捷高效.‎ 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第07讲：‎ 函数的奇偶性的判断和证明参考答案 ‎【反馈检测1答案】（1）奇函数；（2）．‎ ‎【反馈检测2答案】（1）奇函数；（2）单调递增函数；（3）或.‎ ‎【反馈检测2详细解析】（1）因为有，‎ 令，得，所以， ‎ 令可得： 所以，所以为奇函数. ‎ ‎（2）是定义在上的奇函数，由题意设，则 由题意时，有，‎ 是在上为单调递增函数； ‎ ‎（3）因为在上为单调递增函数，所以在上的最大值为， ‎ 所以要使<，对所有恒成立，‎ 只要，即， ‎ 令 由 得，或. ‎ ‎【反馈检测3答案】（1）定义域为；（2）在定义域上为奇函数；（3）.‎ 即是方程的两个实根，于是问题转化成关于的方程 上有两个不同的实数解.‎ 令 则有：‎ 故存在这样的实数符合题意.‎