全国各地中考数学试题汇编圆解答题

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‎2008年中考数学-圆-解答题 ‎（08黑龙江大庆）26．（本题7分）‎ 如图，在中，，平分交于点，点在边上且．‎ C ‎（第26题）‎ B D A E ‎（1）判断直线与外接圆的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）若，求的长．‎ ‎ ‎ ‎（08吉林长春）22、（６分）为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=‎5cm，求铁环的半径.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　·ｏ ‎２２、连结OA，OP，由切线长定理和勾股定理可得半径OP＝５‎ ‎（08吉林长春）A D B O C E 25、（８分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DE⊥AC，垂足为点E．‎ 求证：（1）△ABC是等边三角形；‎ ‎（2）．‎ ‎25．证明：（1）连结OD得OD∥AC ∴∠BDO=∠A 又由OB＝OD得∠OBD＝∠ODB ‎ ∴∠OBD=∠A ∴BC＝AC 又∵AB=AC ∴△ABC是等边三角形 ‎ (2)连结CD，则CD⊥AB ∴D是AB中点 ‎ ‎ ∵AE＝AD=AB ∴EC=3AE ∴．‎ ‎（08辽宁沈阳）21．如图所示，是的一条弦，，垂足为，交于点，点在上．‎ E B D C A O 第21题图 ‎（1）若，求的度数；‎ ‎（2）若，，求的长．‎ ‎21．解：（1）， 3分 ‎ 5分 ‎（2），，为直角三角形，‎ ‎，，‎ 由勾股定理可得 8分 ‎ 10分 ‎（08辽宁大连）19．如图9，PA、PB是⊙O的切线，点A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠ACB = 70°．求∠P的度数．‎ ‎（08辽宁十二市）图10‎ O D B C F E A 20.如图10，为的直径，为弦的中点，连接并延长交于点，与过点的切线相交于点．若点为的中点，连接．‎ 求证：．‎ 图2‎ O D B C F E A ‎20.解：（1）证明：如图2．‎ 是的直径．‎ ‎ 1分 又是的切线，‎ ‎ 3分 过圆心，，‎ ‎． 6分 为中点，‎ ‎ 8分 ‎ 9分 ‎． 10分 ‎2008年中考数学-圆-解答题 ‎(08北京市卷19题)19．（本小题满分5分）‎ D C O A B E 已知：如图，在中，，点在上，以为圆心，长为半径的圆与分别交于点，且．‎ ‎（1）判断直线与的位置关系，并证明你的结论；‎ ‎（2）若，，求的长．‎ 解：（1）‎ ‎（2）‎ ‎(08北京市卷19题解析)（本小题满分5分）‎ 解：（1）直线与相切． 1分 D C O A B E 图1‎ 证明：如图1，连结．‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎， ．‎ 又，‎ ‎．‎ ‎．‎ 直线与相切． 2分 ‎（2）解法一：如图1，连结．‎ 是的直径， ．‎ ‎，‎ ‎． 3分 ‎，，‎ ‎． 4分 ‎， ． 5分 解法二：如图2，过点作于点． ．‎ D C O A B H 图2‎ ‎，‎ ‎． 3分 ‎，，‎ ‎． 4分 ‎，‎ ‎． 5分 A B D C E O ‎（08天津市卷）21．（本小题8分）‎ 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点，‎ ‎（Ⅰ）求的度数；‎ ‎（Ⅱ）若cm，cm，求OE的长．‎ ‎21．本小题满分8分．‎ 解（Ⅰ）∵∥，‎ ‎∴． 1分 A B D C E O ‎∵⊙O内切于梯形，‎ ‎∴平分，有，‎ 平分，有．‎ ‎∴．‎ ‎∴． 4分 ‎（Ⅱ）∵在Rt△中，cm，cm，‎ ‎∴由勾股定理，得cm． 5分 ‎∵为切点，∴．有． 6分 ‎∴．‎ 又为公共角，∴△∽△． 7分 ‎∴，∴cm． 8分 ‎ ‎ ‎（08天津市卷）25．（本小题10分）‎ 已知Rt△ABC中，，，有一个圆心角为，半径的长等于的扇形绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线交于点M，N．‎ ‎（Ⅰ）当扇形绕点C在的内部旋转时，如图①，求证：；‎ 思路点拨：考虑符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△沿直线对折，得△，连，只需证，就可以了．‎ C A B E F M N 图①‎ 请你完成证明过程：‎ C A B E F M N 图②‎ ‎（Ⅱ）当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．‎ ‎25．本小题满分10分．‎ ‎（Ⅰ）证明 将△沿直线对折，得△，连，‎ 则△≌△． 1分 C A B E F D M N 有，，，．‎ 又由，得 ． 2分 由，‎ ‎，‎ 得． 3分 又，‎ ‎∴△≌△． 4分 有，．‎ ‎∴． 5分 ‎∴在Rt△中，由勾股定理，‎ 得．即． 6分 ‎（Ⅱ）关系式仍然成立． 7分 C A B E F M N G 证明 将△沿直线对折，得△，连，‎ 则△≌△． 8分 有，，‎ ‎，．‎ 又由，得 ．‎ 由，‎ ‎．‎ 得． 9分 又，‎ ‎∴△≌△．‎ 有，，，‎ ‎∴． ‎ ‎∴在Rt△中，由勾股定理，‎ 得．即． 10分 ‎（08内蒙赤峰）24．（本题满分14分）‎ 如图（1），两半径为的等圆和相交于两点，且过点．过点作直线垂直于，分别交和于两点，连结．‎ ‎（1）猜想点与有什么位置关系，并给出证明；‎ ‎（2）猜想的形状，并给出证明；‎ ‎（3）如图（2），若过的点所在的直线不垂直于，且点在点的两侧，那么（2）中的结论是否成立，若成立请给出证明．‎ O2‎ O1‎ N M B A 图（1）‎ O2‎ O1‎ N M B A 图（2）‎ O2‎ O1‎ N M B A 图（2）‎ O2‎ O1‎ N M B A 图（1）‎ ‎24．解：（1）在上 （1分）‎ 证明：过点，‎ ‎．‎ 又的半径也是，‎ 点在上． （3分）‎ ‎（2）是等边三角形 （5分）‎ 证明：，‎ ‎．‎ 是的直径，是的直径，‎ 即，在上，在上． （7分）‎ 连结，则是的中位线．‎ ‎．‎ ‎，则是等边三角形． （9分）‎ ‎（3）仍然成立． （11分）‎ 证明：由（2）得在中所对的圆周角为．‎ 在中所对的圆周角为． （12分）‎ 当点在点的两侧时，‎ 在中所对的圆周角，‎ 在中所对的圆周角，‎ 是等边三角形． （14分）‎ ‎（2），（3）是中学生猜想为等腰三角形证明正确给一半分．‎ ‎（08内蒙乌兰察布）21．（本小题11分）‎ 如图所示，是的直径，是弦，，于点．‎ ‎（1）求证：是的切线；‎ ‎（2）若，求的长．‎ ‎21．（1）证明：是的直径，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎，‎ 即．‎ ‎．‎ 是的切线．‎ ‎（2），‎ ‎．‎ ‎，，‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎．．‎ ‎（08山西省卷）23．（本题8分）如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA、CB于点E、F，点G是AD的中点。求证：GE是⊙O的切线。‎ ‎2008年中考数学-圆-解答题 ‎（08山东济南19题）19．(本小题满分7分)‎ ‎（1）已知：如图1，AB∥DE，AC∥DF，BE=CF． ‎ 求证：AB=DE．‎ O A D B C E F P 第19题图2‎ ‎（2）已知：如图2，，在射线AC上顺次截取AD=‎3cm，DB=‎10cm，以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点，求圆心O到AP的距离及EF的长．‎ 解：（08山东济南19题）19．‎ ‎（1）证明：∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF ‎∵AC∥DF，∴∠F=∠ACB 1分 ‎∵BE=CF，∴BE+EC= CF + EC即BC=EF 2分 第19题图2‎ O A D B C E　　　　　　　　　　　　　　‎ F P Ｇ ‎∴△ABC≌△DEF ‎∴AB=DE 3分 ‎（2）解：过点O作OG⊥AP于点G 连接OF 4分 ‎∵ DB=10，∴ OD=5‎ ‎∴ AO=AD+OD=3+5=8‎ ‎∵∠PAC=30°‎ ‎∴ OG=AO=cm 5分 ‎∵ OG⊥EF，∴ EG=GF ‎∵ GF= ‎ ‎∴ EF=‎6cm 7分 ‎（08山东济宁24题）24．（9分）‎ 如图，内接于，过点的直线交于点，交的延长线于点，．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）如果，的半径为1，且为的中点，求的长．‎ 解：（08山东济宁24题）（1）证明：连接． 1分 ‎，．‎ 又，‎ ‎． 3分 ‎，，‎ ‎．‎ ‎． 4分 ‎（2）解：由（1）知．‎ ‎，为等边三角形．‎ ‎． 5分 为的中点，．‎ ‎．‎ 为直径．． 7分 ‎．．‎ ‎，‎ ‎． 9分 ‎（08山东聊城24题）24．（本题满分10分）小亮家窗户上的遮雨罩是一种玻璃钢制品，它的顶部是圆柱侧面的一部分（如图1），它的侧面边缘上有两条圆弧（如图2），其中顶部圆弧的圆心在竖直边缘上，另一条圆弧的圆心在水平边缘的延长线上，其圆心角为90°，请你根据所标示的尺寸（单位：cm）解决下面的问题（玻璃钢材料的厚度忽略不计，取3.1416）.‎ ‎（1）计算出弧所对的圆心角的度数（精确到0.01度）及弧的长度（精确到‎0.1cm）；‎ ‎（2）计算出遮雨罩一个侧面的面积（精确到‎1cm2）；‎ 第24题图 ‎180‎ ‎50‎ ‎90‎ ‎20‎ ‎40‎ A E D C B O2‎ O1‎ 图2‎ 图1‎ ‎（3）制做这个遮雨罩大约需要多少平方米的玻璃钢材料（精确到0.1平方米）？‎ 解：（08山东聊城24题）（1）易知，‎ 第24题图 ‎50‎ ‎90‎ ‎20‎ ‎40‎ A E D C B O2‎ O1‎ 连接，设弧的半径为．‎ 在中，由勾股定理得 ‎．‎ 解得． 2分 由，得 ‎． 3分 弧的长（cm）． 4分 ‎（2）扇形的面积（cm2）． 5分 扇形的面积（cm2）． 6分 梯形的面积（cm2）． 7分 遮雨罩一个侧面的面积 扇形的面积+梯形 的面积－扇形的面积 ‎（cm2） 8分 ‎（注：用其它方法计算，只要误差不超过‎2cm2，可给满分）‎ ‎（3）遮雨罩顶部的面积（cm2）． 9分 遮雨罩的总面积（cm2）（cm2） .‎ 制做这个遮雨罩大约需要‎2.2平方米玻璃钢材料． 10分 ‎（08山东临沂23题）23．（本小题满分9分）‎ 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，以AB上的一点O为圆心分别与均AC、BC相切于点D、E。‎ ‎⑴求⊙O的半径；‎ ‎⑵求sin∠BOC的值。‎ 解：（08山东临沂23题）⑴连接OD、OE，设OD＝r.‎ ‎∵AC、BC切⊙O于D、E，‎ ‎∴∠ODC＝∠OEC＝90°，OD＝OE…………………………1分 解法一：又∵∠ACB＝90°，‎ ‎∴四边形是ODCE正方形,……………………………………2分 ‎∴CD＝OD＝OE＝r，OD∥BC,‎ ‎∴AD＝4－r，△AOD∽△ABC，…………………………3分 ‎∴即………………………………4分 ‎∴.……………………………………………………5分 解法二：∵，……………………3分 ‎∴，‎ 即，…………………………4分 ‎∴.……………………………………………………………………5分 ‎⑵过点C作CF⊥AB，垂足为F，在Rt△ABC与Rt△OEC中，根据勾股定理,得 ‎,,…………7分 由，得…………8分 ‎∴,即.…………9分 ‎（08山东泰安24题）24．（本小题满分10分）‎ ‎（第24题）‎ B D C E A O 如图所示，是直角三角形，，以为直径的交于点，点是边的中点，连结．‎ ‎（1）求证：与相切；‎ ‎（2）若的半径为，，求．‎ ‎（08山东泰安24题）（本小题满分10分）‎ ‎（1）证明：连结 是直径 ‎ 1分 是的中点 ‎ 2分 又 即 4分 但 ‎ 5分 是的切线 6分 ‎（2）‎ ‎ 9分 ‎ 10分 ‎（08山东潍坊20题）20．（本题满分9分）‎ A P D B C O 如图，是圆的直径，厘米，是圆的切线，为切点．过作，交于点，连结．‎ ‎（1）求证；‎ ‎（2）若切线的长为‎12厘米，求弦的长．‎ ‎（08山东烟台24题）24、（本题满分10分）‎ 如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=30°，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，且∠ECF=∠E.‎ ‎（1）证明CF是⊙O的切线；‎ ‎（2）设⊙O的半径为1，且AC=CE，求MO的长.‎ ‎（08山东枣庄23题）A B C E D O M 23．(本题满分10分)已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M 为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连结DE，DE=.‎ ‎(1) 求证：；‎ ‎(2) 求EM的长；‎ ‎（3）求sin∠EOB的值.‎ A B C E D O M F ‎（08山东枣庄23题）(本题满分10分)‎ 解：⑴ 连接AC，EB，则∠CAM=∠BEM. ……………1分 又∠AMC=∠EMB, ∴△AMC∽△EMB．‎ ‎∴　，即．………3分 ‎(2) ∵DC为⊙O的直径，‎ ‎∴∠DEC=90°，EC= ………………………4分 ‎∵OA=OB=4，M为OB的中点，∴AM=6，BM=2． …………………………………5分 设EM=x，则CM=7－x．代入(1),得 .‎ 解得x1=3，x2=4．但EM＞MC，∴EM=4. …………………………………………7分 ‎(3) 由(2)知，OE=EM=4．作EF⊥OB于F，则OF=MF=OB=1． ………………8分 在Rt△EOF中，EF=　 …………………………9分 ‎∴sin∠EOB=. ……………………………………………………………10分 ‎（08年江苏淮安26题）(本小题10分)‎ 如图，AB是⊙O的直径,BC是⊙O的弦，半径OD⊥BC,垂足为E，若BC=6，DE=3．‎ 求：(1) ⊙O的半径； (2)弦AC的长； (3)阴影部分的面积．‎ ‎（08年江苏连云港18题）（本小题满分8分）‎ B C P O A ‎（第18题图）‎ 如图，内接于，为的直径，，，过点作的切线与的延长线交于点，求的长．‎ ‎（08年江苏连云港18题）解：是的直径，．又，‎ ‎，． 3分 又，所以是等边三角形，由，知． 5分 是的切线，．‎ 在中，，，‎ 所以，． 8分 ‎（08年江苏连云港25题）（本小题满分12分）‎ 我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段的最小覆盖圆就是以线段为直径的圆．‎ ‎（1）请分别作出图1中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；‎ ‎（2）探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论（不要求证明）；‎ ‎（3）某地有四个村庄（其位置如图2所示），现拟建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此中转站应建在何处？请说明理由．‎ ‎（08年江苏连云港25题）解：（1）如图所示： 4分 A A B B C C ‎（第25题答图1）‎ ‎（注：正确画出1个图得2分，无作图痕迹或痕迹不正确不得分）‎ ‎（2）若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆； 6分 若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆． 8分 ‎（3）此中转站应建在的外接圆圆心处（线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点处）． 10分 理由如下：‎ G H E F ‎（第25题答图2）‎ M 由，‎ ‎，，‎ 故是锐角三角形，‎ 所以其最小覆盖圆为的外接圆，‎ 设此外接圆为，直线与交于点，‎ 则．‎ 故点在内，从而也是四边形的最小覆盖圆．‎ 所以中转站建在的外接圆圆心处，能够符合题中要求．‎ ‎ 12分 ‎（第22题）‎ A B C M N O ‎·‎ ‎（08年江苏南通22题）已知：如图，M是的中点，过点M的弦MN交AB于点C，设⊙O的半径为‎4cm，MN＝‎4‎cm．‎ ‎（1）求圆心O到弦MN的距离；‎ ‎（2）求∠ACM的度数． ‎ ‎（08年江苏南通22题）解：（1）连结OM．∵点M是的中点，∴OM⊥AB． …………………………………1分 过点O作OD⊥MN于点D，‎ ‎（第22题）‎ A B C M N O ‎·‎ D 由垂径定理，得． ………………………3分 ‎ 在Rt△ODM中，OM＝4，，∴OD＝．‎ 故圆心O到弦MN的距离为‎2 cm． …………………………5分 ‎（2）cos∠OMD＝，…………………………………6分 ‎∴∠OMD＝30°，∴∠ACM＝60°．……………………………8分 ‎（08年江苏南通27题）在一次数学探究性学习活动中，某学习小组要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为‎16cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面．他们首先设计了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二．（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧与正方形的两边相切）‎ ‎（1）请说明方案一不可行的理由；‎ ‎（2）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆半径；若不可行，请说明理由‎（第27题）‎ 方案一 A B C D 方案二 A B C D ‎·‎ O1‎ ‎·‎ O2‎ ．‎ ‎（08年江苏南通27题）解：（1）理由如下：‎ ‎∵扇形的弧长＝16×＝8π，圆锥底面周长＝2πr，∴圆的半径为‎4cm．………2分 由于所给正方形纸片的对角线长为cm，而制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长为cm，，‎ ‎∴方案一不可行． ………………………………………………………………………5分 ‎ （2）方案二可行．求解过程如下：‎ 设圆锥底面圆的半径为rcm，圆锥的母线长为Rcm，则 ‎， ① ． ② …………………………7分 由①②，可得，． ………………9分 故所求圆锥的母线长为cm，底面圆的半径为cm． ………10分 ‎（08年江苏苏州27题）(本题9分)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BM平分∠ABC交AC于M，以A为圆心，AM为半径作OA交BM于N，AN的延长线交BC于D，直线AB交OA于P、K两点．作MT⊥BC于T ‎(1)求证AK=MT； ‎ ‎(2)求证：AD⊥BC；‎ ‎(3)当AK=BD时，‎ ‎ 求证：．‎ ‎（08年江苏宿迁23题）（本题满分10分）‎ 如图，⊙的直径是，过点的直线是⊙的切线，、是⊙上的两点，连接、、和．‎ 第23题 ‎(1)求证：；‎ ‎(2)若是的平分线，且，求的长．‎ ‎（08年江苏宿迁23题）(1)证明: ∵是⊙的直径 ‎∴‎ ‎∵切⊙于点 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴.‎ ‎(2) 如右图,连接,过点作于点.‎ ‎∵平分 ‎∴‎ ‎∴弧弧 ‎∵是⊙的直径 ‎∴‎ 又∵‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ ‎（08年江苏泰州23题）如图，⊿ABC内接于⊙O，AD是⊿ABC的边BC上的高，AE是⊙O的直径，连接BE，⊿ABE与⊿ADC相似吗？请证明你的结论。‎ ‎（08年江苏泰州23题）解：△ABE与△ADC相似.………………………………………………………… ２分 ‎∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°……………………………………………… ５分 ‎∵∠ADC=90°， ∴∠ABE=∠ADC…………………………………………………７分 又∵∠AEB=∠ACD，∴△ABE∽△ADC…………………………………………… 9分 ‎（08年江苏扬州24题）（本题满分12分）‎ 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A、与大圆相交于点B。小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB。‎ ‎（1）试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由；‎ ‎（3）若AB=8㎝，BC=10㎝，求大圆与小圆围成的圆环的面积。（结果保留π）‎ ‎（08年江苏镇江26题）（本小题满分7分）推理运算 如图，为直径，为弦，且，垂足为．‎ A B D E O C H ‎（1）的平分线交于，连结．求证：为的中点；‎ ‎（2）如果的半径为，，‎ ‎①求到弦的距离；‎ ‎②填空：此时圆周上存在 个点到直线的距离为．‎ ‎（08年江苏镇江26题）（1）， （1分）‎ 又，．‎ ‎． （2分）‎ 又，．‎ 为的中点． （3分）‎ ‎（2）①，为的直径，，‎ ‎． （4分）‎ 又，．‎ ‎， （5分）‎ ‎．‎ 作于，则． （6分）‎ ‎②3 （7分）‎ ‎（08浙江淮安26题）26．(本小题10分)‎ 如图，AB是⊙O的直径,BC是⊙O的弦，半径OD⊥BC,垂足为E，若BC=6，DE=3．‎ 求：(1) ⊙O的半径；‎ ‎ (2)弦AC的长；‎ ‎ (3)阴影部分的面积．‎ ‎（08浙江嘉兴20题）‎（第20题）‎ 20．如图，正方形网格中，为格点三角形（顶点都是格点），将绕点按逆时针方向旋转得到．‎ ‎（1）在正方形网格中，作出；‎ ‎（2）设网格小正方形的边长为1，求旋转 过程中动点所经过的路径长．‎ 解：（08浙江嘉兴20题）20．（1）如图 ‎（第20题）‎ ‎（2）旋转过程中动点所经过的路径为一段圆弧．‎ ‎，，．‎ 又，‎ 动点所经过的路径长为．‎ ‎（08浙江金华20题）20、(本题8分)如图，CD切⊙O于点D，连结OC，交⊙O于点B，过点B作弦AB⊥OD，点E为垂足，已知⊙O的半径为10，sin∠COD=。(1)求弦AB的长；（2）CD的长；（3）劣弧AB的长（结果保留三个有效数字，sin53.13o≈0.8,Л≈3.142）‎ ‎（08浙江宿迁）23．（本题满分10分）‎ 如图，⊙的直径是，过点的直线是⊙的切线，、是⊙上的两点，连接、、和．‎ 第23题 ‎(1)求证：；‎ ‎(2)若是的平分线，且，求的长．‎ ‎（08浙江义乌） O A D B C H 20．已知：如图△ABC内接于⊙O，于H，过A点的切线与OC的延长线交于点D，0，．请求出：‎ ‎（1）的度数；‎ ‎（2）劣弧的长（结果保留）；‎ ‎（3）线段AD的长（结果保留根号）.‎ O A D B C H ‎20．解：（1） ………………………………2分 ‎（2）在三角形AOC中，‎ ‎ ∴ ……………………1分 ‎ ∴的长= ……1分 ‎ ∴的长是……………………………………………………………………1分 ‎（3） ∵AD是切线 ∴ ……………………………………………………1分 ‎∵ ∴ …………………………………………………1分 ‎∴线段AD的长是 ……………………………………………………………1分 ‎（08上海市卷）21．（本题满分10分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分7分）‎ ‎“创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图7所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆的半径所在的直线为对称轴的轴对称图形，是与圆的交点．‎ O C A D E H 图8‎ 图7‎ ‎（1）请你帮助小王在图8中把图形补画完整；‎ ‎（2）由于图纸中圆的半径的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中是坡面的坡度），求的值．‎ ‎21．（1）（图形正确）； （3分）‎ ‎（2）解：由已知，垂足为点，则．‎ ‎，． （1分）‎ 在中，．设，，又，‎ 得，解得．，． （3分）‎ ‎，，．‎ 在中，，．‎ 解得． （3分）‎ ‎（08安徽芜湖23题）23． （本小题满分12分）在Rt△ABC中，BC=9， CA=12，∠ABC的平分线BD交AC与点D， DE⊥DB交AB于点E．‎ ‎（1）设⊙O是△BDE的外接圆，求证:AC是⊙O的切线;‎ ‎（2）设⊙O交BC于点F，连结EF，求的值．‎ ‎（08安徽芜湖23题解析）‎ ‎ （1） 证明：由已知DE⊥DB，⊙O是Rt△BDE的外接圆，∴BE是⊙O的直径，点O是BE的中点，连结OD， 1分 ‎∵，∴．‎ 又∵BD为∠ABC的平分线，∴．‎ ‎∵，∴．‎ ‎∴，即∴ 4分 又∵OD是⊙O的半径，‎ ‎∴AC是⊙O的切线． 5分 ‎ （2） 解：设⊙O的半径为r， ‎ 在Rt△ABC中， ，‎ ‎∴ 7分 ‎∵，，∴△ADO∽△ACB．‎ ‎∴．∴．‎ ‎∴．∴ 10分 又∵BE是⊙O的直径．∴．∴△BEF∽△BAC ‎∴． 12分 ‎（08江西省卷）‎ C B A O ‎22．如图，是的内接三角形，点是优弧上一点（点不与重合），设，．‎ ‎（1）当时，求的度数；‎ ‎（2）猜想与之间的关系，并给予证明．‎ C B A O ‎22．（1）解：连接，则，‎ ‎． 1分 ‎ ‎． 2分 ‎． 3分 ‎（2）答：与之间的关系是． 4分 证一：连接，则．． 5分 ‎． 6分 ‎．‎ ‎． 8分 证二：连接，则．‎ C B A O D ‎． 5分 过作于点，则平分． 6分 ‎ ‎．‎ 在中，， 7分 ‎． 8分 C B A O E 证三：延长交于，连接，‎ 则． 5分 是的直径，． 6分 ‎，‎ ‎． 8分 ‎（08江西南昌）‎ ‎21．如图，为的直径，于点，交于点，于点．‎ C B A O F D E ‎（1）请写出三条与有关的正确结论；‎ ‎（2）当，时，求圆中阴影部分的面积．‎ ‎21．解：（1）答案不唯一，只要合理均可．例如：‎ ‎①；②；③；④；⑤；⑥；⑦是直角三角形；⑧是等腰三角形． 3分 C B A O F D E ‎（2）连结，则．‎ ‎，，． 4分 为的直径，．‎ 在中，，，． 5分 ‎，．‎ ‎，是的中位线．‎ ‎．‎ ‎． 6分 ‎． 7分 ‎． 8分 说明：第（1）问每写对一条得1分，共3分．‎ ‎(08福建南平21题)21．（9分）如图，线段经过圆心，交于点，点在上，连接，．是的切线吗？请说明理由．‎ ‎(08福建南平21题解析)21．答：是的切线． 2分 理由1：连接，， 4分 ‎， 7分 即 是的切线． 9分 理由2：连接，，‎ ‎ 4分 ‎ 7分 ‎，‎ ‎，即 是的切线． 9分 理由3：连接，， 4分 在的延长线上取一点，‎ ‎ 7分 ‎，即 是的切线． 9分 理由4：连接，， 4分 连接，则 5分 ‎ 6分 ‎，‎ ‎， 7分 ‎，即 是的切线． 9分 ‎ (08福建泉州25题) 25、（8分）如图：⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4的半径都为1，其中⊙O1与⊙O2外切，⊙O2、⊙O3、⊙O4两两外切，并且O1、O2、O3三点在同一直线上。‎ ‎（1）请直接O2O4写出的长；‎ ‎（2）若⊙O1沿图中箭头所示方向在⊙O2、的圆周上滚动，最后⊙O1滚动到⊙O4的位置上，试求在上述滚动过程中圆心O1移动的距离（精确到0.01）。‎ ‎ (08福建厦门23题)23．（本题满分10分）‎ 已知：如图，中，，以为直径的交于点，于点．‎ C P B O A D ‎（第23题）‎ ‎（1）求证：是的切线；‎ ‎（2）若，求的值．‎ ‎23．（1）证明：，‎ ‎． 1分 又，‎ ‎ 2分 ‎． 3分 ‎ 4分 又于，，‎ ‎． 5分 是的切线． 6分 C P B O A D ‎（2）连结，是直径，‎ ‎， 8分 ‎，，‎ ‎． 9分 ‎． 10分 ‎2008年中考数学-圆-解答题 ‎（08湖北鄂州25题）25．如图12，已知：边长为1的圆内接正方形中，为边的中点，直线交圆于点．‎ ‎（1）求弦的长．‎ B A D E P C 图12‎ ‎（2）若是线段上一动点，当长为何值时，三角形与以为顶点的三角形相似．‎ ‎（08湖北鄂州25题解答）（1）如图1．过点作于点．‎ 在中， 1分 又 ‎ 2分 的度数为 ‎ 4分 B A D E P C ‎25题图1‎ F B A D E P C ‎25题图2‎ Q B A D E P C ‎25题图3‎ ‎（Q）‎ ‎（2）如图2．当时有 得：．‎ 即点与点重合， 5分 如图3，当时，有 得，即 7分 当或时，三角形与以点为顶点的三角形相似． 8分 ‎（08湖北恩施22题）22.（本题满分9分）如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E.‎ E O D C B A 图10‎ ‎（1）求证：AB=AC；‎ ‎（2）求证：DE为⊙O的切线；‎ ‎（3）若⊙O的半径为5,∠BAC=60°,求DE的长.‎ ‎（08湖北恩施22题解答）解：(1)证明:连接AD ‎ ∵AB是⊙O的直径 ‎ ∴∠ADB=90°‎ ‎ 又BD=CD ‎ ∴AD是BC的垂直平分线 ‎ ∴AB=AC 3分 ‎ (2)连接OD ‎ ∵点O、D分别是AB、BC的中点 ‎ ∴OD∥AC ‎ 又DE⊥AC ‎ ∴OD⊥DE ‎ ∴DE为⊙O的切线 6分 ‎ (3)由AB=AC, ∠BAC=60°知∆ABC是等边三角形 ‎ ∵⊙O的半径为5‎ ‎ ∴AB=BC=10, CD=BC=5‎ ‎ 又∠C=60°‎ ‎ ∴DE=CD·sin60°= 9分 ‎ ‎（08湖北黄冈）D E C A O B 16．（本题满分8分）已知：如图，在中，，以为直径的交于点，过点作于点．‎ 求证：是的切线．‎ ‎（08湖北黄冈）17．（本题满分8分）如图是“明清影视城”的圆弧形门，黄红同学到影视城游玩，很想知道这扇门的相关数据．于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，cm，cm，且与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助黄红同学计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少？‎ A C B D ‎（08湖北荆门26题）26．（本小题满分10分）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB为直径，ABC=30°，CD是⊙O的切线，ED⊥AB于F，‎ ‎(1)判断△DCE的形状；(2)设⊙O的半径为1，且OF=，求证△DCE≌△OCB． ‎ 第26题图 A B D E O F C ‎ ‎ ‎（08湖北荆门26题解答）解：(1)∵∠ABC=30°，∴∠BAC=60°．‎ 又∵OA=OC, ∴△AOC是正三角形．‎ 又∵CD是切线，∴∠OCD=90°，‎ ‎∴∠DCE=180°-60°-90°=30°．‎ 而ED⊥AB于F，∴∠CED=90°-∠BAC=30°．‎ 故△CDE为等腰三角形． …………………………………………………4分 ‎(2)证明：在△ABC中，∵AB=2，AC=AO=1，∴BC==．‎ OF=,∴AF=AO+OF=．‎ 又∵∠AEF=30°,∴AE=2AF=+1． ∴CE=AE-AC==BC．‎ 而∠OCB=∠ACB-∠ACO=90°-60°=30°=∠ABC,‎ 故△CDE≌△COB. ……………………………………………10分 ‎（08湖北荆州21题）A B C D ‎·O ‎45°‎ 21．（本题7分）已知：如图，AB是⊙O的切线，切点为A，OB交⊙O于C且C为OB中点，过C点的弦CD使∠ACD＝45°，的长为，求弦AD、AC的长．‎ ‎（08湖北十堰23题）23．(8分)如图，AB、BC、CD分别与⊙O切于E、F、G，且AB∥CD．连接OB、OC，延长CO交⊙O于点M，过点M作MN∥OB交CD于N．‎ ‎⑴求证：MN是⊙O的切线；‎ ‎⑵当0B=‎6cm，OC=‎8cm时，求⊙O的半径及MN的长．‎ ‎（08湖北十堰23题解答）解：⑴证明：∵AB、BC、CD分别与⊙O切于点E、F、G，‎ ‎∴ …………………1分 ‎∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠DCB＝180°．‎ ‎∴‎ ‎∴ ……2分 ‎∵MN∥OB，∴∠NMC＝∠BOC＝90°．∴MN是⊙O的切线．……4分 ‎⑵连接OF，则OF⊥BC．…………………………………5分 由⑴知，△BOC是Rt△，∴ ‎ ‎∵‎ ‎∴6×8＝10×OF．∴‎0F＝4.8．‎ 即⊙O的半径为‎4.8cm． …………………………………6分 由⑴知，∠NCM＝∠BCO，∠NMC＝∠BOC＝90°，‎ ‎∴△NMC∽△BOC．　　　　　 …………………7分 ‎∴‎ ‎∴MN＝9.6(cm)． …………………………………8分 ‎（08湖北天门22题）22．(本小题满分10分)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过D点作EF∥BC交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F．‎ ‎(1)求证：EF为⊙O的切线；‎ A B C D E F O ‎(第22题图)‎ ‎(2)若sin∠ABC＝，CF＝1，求⊙O的半径及EF的长．‎ ‎（08湖北武汉）22.（本题8分）如图，AB是⊙O的直 线 ，AC是 弦 ，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E.OE交AD于点F.（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AC      AB＝35，求AFDF的值.‎ ‎22.⑴略；⑵；‎ ‎（08湖北仙桃等22题）22. （本题满分8分）‎ 如图，为半圆的直径，点C在半圆上，过点作的平行线交于点，交过点的直线于点，且.‎ ‎（1）求证：是半圆O的切线；‎ ‎（2）若，，求的长.‎ ‎（08湖北仙桃等22题解答）（8分）（1）证明：∵为半⊙的直径 ‎∴ ‎ 又∵∥， ∴‎ ‎∴ 而 ‎∴‎ ‎∴是半圆O的切线………………………………………………（3分）‎ ‎ （2）∵ ∴‎ ‎ 在中，…（5分）‎ ‎ 由∽可得：‎ ‎ 即 ‎∴…………………………………………………………（8分）‎ ‎ (08湖北咸宁21题)21．（本题满分9分）‎ 如图，BD是⊙O的直径，AB与⊙O相切于点B，过点D作OA的平行线交⊙O于点C，AC与BD的延长线相交于点E．‎ (1) 试探究A E与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ (1) 已知EC＝a，ED＝b，AB＝c，请你思考后，选用以上适当的数据，设计出计算⊙O的半径r的一种方案：‎ ‎①你选用的已知数是　　　　　　　　；‎ ‎ ②写出求解过程（结果用字母表示）．‎ ‎(08湖北咸宁21题解答)21．解：（1）A E与⊙O相切．----------------1分 理由：连接OC ．‎ ‎∵CD∥OA ∴， ．‎ 又∵ODOC， ∴．∴．‎ ‎ 在△AOC和△AOB中 ‎ OA=OA， ，OB=OC，‎ ‎∴△AOC≌△AOB， ∴．‎ ‎∵AB与⊙O相切， ∴=90°．‎ ‎∴A E与⊙O相切． --------------------------------------------------5分 ‎（2）①选择a、b、c，或其中2个 ‎② 解答举例：‎ 若选择a、b、c，‎ 方法一：由CD∥OA， ，得．‎ 方法二：在Rt△ABE中 ，由勾股定理，‎ 得 ．‎ ‎ 方法三：由Rt△OCE∽Rt△ABE，，得．‎ 若选择a、b ‎　方法一：在Rt△OCE中 ，由勾股定理：，得；‎ 方法二：连接BC，由△DCE∽△CBE，得．‎ 若选择a、c；需综合运用以上多种方法，得．‎ 说明：（１）此问满分４分，考生只需选择一组数据并正确完成计算即可；‎ ‎（２）若考生作出选择，但未完成计算或计算错误不给分．‎ ‎（08湖北襄樊24题）24．（本小题满分10分）‎ 如图14，直线经过上的点，并且，，交直线于，连接．‎ ‎（1）求证：直线是的切线；‎ ‎（2）试猜想三者之间的等量关系，并加以证明；‎ ‎（3）若，的半径为3，求的长．‎ ‎ ‎ ‎（08湖北襄樊24题解答）解：（1）证明：如图3，连接． （1分）‎ ‎，，． （2分）‎ 是的切线． （3分）‎ ‎（2）． （4分）‎ 是直径，．‎ ‎．‎ 又，，‎ ‎． （5分）‎ 又，． （6分）‎ ‎．． （7分）‎ ‎（3），．‎ ‎，． （8分）‎ 设，则．‎ 又，． （9分）‎ 解之，得，．，．‎ ‎． （10分）‎ ‎（08湖北孝感20题）20．（本题满分8分）‎ 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，心理学测试表明，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感，现将同学们在教学活动中，折叠黄金矩形的方法归纳出以下作图步骤（如图所示）：‎ 第一步：作一个任意正方形；‎ 第二步：分别取的中点，连接；‎ 第三步：以为圆心，长为半径画弧，交的延长线于；‎ 第四步：过作交的延长线于，‎ 请你根据以上作法，证明矩形为黄金矩形，（可取）‎ A B C D E F M N ‎（第20题图）‎ ‎（08湖北孝感20题解答）证明：在正方形中，取 为的中点，‎ ‎ 2分 在中， 4分 又，‎ ‎， 6分 ‎． 7分 故矩形为黄金矩形． 8分 ‎（08湖北孝感23题）23．（本题满分10分）‎ A B C D O P T Q ‎（第23题图）‎ 如图，为的直径，切于，于，交于．‎ ‎（1）求证：平分；（5分）‎ ‎（2）若，，求的半径．（5分）‎ A B C D O P T Q M ‎（第23题图）‎ ‎（08湖北孝感23题解答）（1）证明：连接，‎ 切于，‎ ‎． 1分 又，‎ ‎ 3分 又 ‎．‎ ‎，即平分． 5分 ‎（2）解：过点作于， 6分 ‎．‎ 又 7分 四边形为矩形． 8分 ‎，‎ 在中，．‎ 即的半径为2． 10分 ‎（08湖北宜昌21题）21．如图，⊙O的半径OD经过弦AB(不是直径)的中点C，过AB的延长线上一点P作⊙O的切线PE，E为切点，PE∥OD；延长直径AG交PE于点H；直线DG交OE于点F，交PE于点K．‎ ‎(第21题)‎ ‎（1）求证：四边形OCPE是矩形；‎ ‎（2）求证：HK＝HG；‎ ‎（3）若EF＝2，FO＝1，求KE的长．‎ ‎（08湖北宜昌21题）解：(1)∵AC＝BC，AB不是直径，‎ ‎∴OD⊥AB，∠PCO＝90°(1分)‎ ‎∵PE∥OD,∴∠P＝90°，‎ ‎∵PE是切线，∴∠PEO＝90°，(2分)‎ ‎∴四边形OCPE是矩形.(3分)‎ ‎(2)∵OG＝OD,∴∠OGD＝∠ODG.‎ ‎∵PE∥OD,∴∠K＝∠ODG.(4分)‎ ‎∵∠OGD＝∠HGK,∴∠K＝∠HGK,‎ ‎∴HK＝HG.(5分)‎ ‎(3)∵EF＝2，OF＝1,∴EO＝DO＝3.(6分)‎ ‎∵PE∥OD，∴∠KEO＝∠DOE，∠K＝∠ODG.‎ ‎∴△OFD∽△EFK，(7分)∴EF∶OF＝KE∶OD＝2∶1,‎ ‎∴KE＝6.(8分)‎ ‎（08湖南常德21题）21．如图4，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，若PA⊥AB，PO过AC的中点M，‎ A B O C P M 图4‎ 求证：PC是⊙O的切线．‎ A B O C P M 图4‎ ‎（08湖南常德21题解答）证明：连接OC，‎ ‎∵PA⊥AB， ∴∠PA0=900，…………1分 ‎∵PO过AC的中点M，OA=OC，‎ ‎∴PO平分∠AOC，‎ ‎∴∠AOP=∠COP .……………………3分 ‎∴在△PAO与△PCO中有 OA=OC，∠AOP=∠COP，PO=PO,‎ ‎∴△PAO≌△PCO, …………… 6分 ‎∴∠PCO=∠PA0=900,‎ ‎ 即PC是⊙O的切线．… ………… 7分 ‎（08湖南湘潭24题）24．（本题满分8分）‎ 如图所示，的直径AB=4，点P是AB延长线上的一点，过P点作 的切线，切点为C，连结AC.‎ ‎（1）若∠CPA=30°，求PC的长；‎ M P O C B A ‎（2）若点P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点M. 你认为∠CMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠CMP的大小.‎ M P O C B A ‎（08湖南湘潭24题解答）解：（1）连结OC，‎ ‎ 为的切线，‎ ‎ 4分 ‎ （2） 的大小没有变化 5分 ‎ 6分 ‎ 7分 ‎ ‎ ‎ 8分 ‎（08湖南永州24题）24．（10分）如图，‎ 已知⊙O的直径AB＝2，直线m与⊙O相切于点A，P为⊙O上一动点（与点A、点B不重合），PO的延长线与⊙O相交于点C，过点C的切线与直线m相交于点D．‎ ‎（1）求证：△APC∽△COD．‎ ‎（2）设AP＝x，OD＝y，试用含x的代数式表示y．‎ ‎（3）试探索x为何值时，△ACD是一个等边三角形．‎ ‎ ‎ ‎（08湖南永州24题解答）（10分）（1）∵是⊙O的直径，CD是⊙O的切线 ‎∠PAC＝∠OCD＝90°，显然△DOA≌△DOC 1分 ‎∴∠DOA＝∠DOC 2分 ‎∴∠APC＝∠COD 3分 ‎ 4分 ‎（2）由，得 6分 ‎， 7分 ‎（3）若是一个等边三角形，则 8分 于是，可得，‎ 故，当时，是一个等边三角形 10分 ‎（08湖南株洲21题）21、（本题满分7分）如图所示，的直径AB=4，点P是AB延长线上的一点，过点P作的切线，切点为C，连结AC.‎ ‎ （1）若∠CPA=30°，求PC的长；‎ ‎ （2）若点P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点M. 你认为∠CMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出∠CMP的值.‎ P O B A C M ‎（08湖南株洲21题解答）（1）连结OC ……1分 由AB=4，得OC=2，在Rt中，，得 ……3分 ‎（2）不变 …4分 ……7分 ‎2008年中考数学-圆-解答题 ‎（08广东广州23题）图9‎ 23、（12分）如图9，射线AM交一圆于点B、C，射线AN交该圆于点D、E，且 ‎（1）求证：AC=AE ‎（2）利用尺规作图，分别作线段CE的垂直平分线与∠MCE的平分线，两线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）求证：EF平分∠CEN ‎（08广东广州23题）（1）作OP⊥AM，OQ⊥AN证由BC＝CD，得得证 ‎（2）同AC＝AE得，‎ 由CE＝EF得得证 ‎（08广东广州24题）24、（14分）如图10，扇形OAB的半径OA=3，圆心角∠AOB=90°，点C是上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连结DE，点G、H在线段DE上，且DG=GH=HE ‎（1）求证：四边形OGCH是平行四边形 ‎（2）当点C在上运动时，在CD、CG、DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度 ‎（3）求证：是定值 图10‎ ‎（08广东广州24题解答）（1）连结OC交DE于M，由矩形得OM＝CG，EM＝DM ‎　　　　因为DG=HE所以EM－EH＝DM－DG得HM＝DG ‎（2）DG不变，在矩形ODCE中，DE＝OC＝3，所以DG＝1‎ ‎（3）设CD＝x,则CE＝，由得CG＝‎ ‎　　所以所以HG＝3－1－‎ ‎ 所以3CH2＝‎ 所以 ‎（08广东茂名22题）22.（本题满分10分）‎ ‎（第22题图）‎ 如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC，点D在弧BC上运动，过点D作DE∥BC，DE交AB的延长线于点E，连结AD、BD．‎ ‎（1）求证：∠ADB=∠E；（3分）‎ ‎（2）当点D运动到什么位置时，DE是⊙O的切线？请说明理由．（3分）‎ ‎（3）当AB=5，BC=6时，求⊙O的半径．（4分）‎ 解：‎ ‎ （08广东茂名22题解答）解：（1）在△ABC中，∵AB=AC，‎ ‎∴∠ABC=∠C． 1分 ‎ ∵DE∥BC，∴∠ABC=∠E，‎ ‎ ∴∠E=∠C． 2分 又∵∠ADB=∠C， ‎ ‎　　　　　∴∠ADB=∠E． 3分 ‎（2）当点D是弧BC的中点时，DE是⊙O的切线． 4分 理由是：当点D是弧BC的中点时，则有AD⊥BC，且AD过圆心O． 5分 ‎ 又∵DE∥BC，∴ AD⊥ED． ‎ ‎ ∴ DE是⊙O的切线． 6分 ‎ （3）连结BO、AO，并延长AO交BC于点F， ‎ ‎ 则AF⊥BC，且BF=BC=3． 7分 ‎ 又∵AB=5，∴AF=4． 8分 ‎ 设⊙O的半径为，在Rt△OBF中，OF=4－，OB=，BF=3， ‎ ‎　　　　　　∴　＝3＋（4－） 9分 ‎ 解得＝， ∴⊙O的半径是． 10分 ‎（08广东深圳20题）20．如图8，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB＝AD＝AO．‎ ‎（1）求证：BD是⊙O的切线．‎ ‎（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，‎ 且△BEF的面积为8，cos∠BFA＝，求△ACF的面积．‎ ‎（08广东深圳20题解答）（1）证明：连接BO， …………………………1分 方法一：∵ AB＝AD＝AO ‎∴△ODB是直角三角形 …………………………3分 ‎∴∠OBD＝90° 即：BD⊥BO ‎ ∴BD是⊙O的切线． …………………………4分 方法二：∵AB＝AD， ∴∠D＝∠ABD ‎∵AB＝AO， ∴∠ABO＝∠AOB 又∵在△OBD中，∠D+∠DOB+∠ABO+∠ABD＝180°‎ ‎ ∴∠OBD＝90° 即：BD⊥BO ‎ ∴BD是⊙O的切线 …………………………4分 ‎（2）解：∵∠C＝∠E，∠CAF＝∠EBF ‎∴△ACF∽△BEF …………………………5分 ‎ ∵AC是⊙O的直径 ‎ ∴∠ABC＝90°‎ 在Rt△BFA中，cos∠BFA＝‎ ‎∴ …………………………7分 ‎ 又∵＝8‎ ‎ ∴＝18 …………………………8分 ‎ (08广东肇庆24题)24.（本小题满分10分）‎ 如图6，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点，‎ ‎⊙O经过A、B、D三点，CB的延长线交⊙O于点E.‎ (1) 求证AE=CE； ‎ (2) EF与⊙O相切于点E，交AC的延长线于点F，‎ 若CD=CF=‎2cm，求⊙O的直径；‎ ‎ （3）若 （n>0），求sin∠CAB. ‎ ‎(08广东肇庆24题解答) （本小题满分10分）‎ 证明：（1）连接DE，∵∠ABC=90°∴∠ABE=90°，‎ ‎∴AE是⊙O直径． （1分）‎ ‎∴∠ADE=90°，∴DE⊥AC． （2分）‎ 又∵D是AC的中点，∴DE是AC的垂直平分线．‎ ‎∴AE=CE． （3分） ‎ ‎（2）在△ADE和△EFA中，‎ ‎∵∠ADE=∠AEF=90°，∠DAE=∠FAE，‎ ‎∴△ADE∽△EFA． （4分）‎ ‎∴，‎ ‎∴． （5分）‎ ‎∴AE=‎2cm． （6分）‎ ‎（3） ∵AE是⊙O直径，EF是⊙O的切线，∴∠ADE=∠AEF=90°，‎ ‎∴Rt△ADE∽Rt△EDF．　　　∴． （7分）‎ ‎∵，AD=CD，∴CF=nCD，∴DF=（1+n）CD， ∴DE=CD． （8分）‎ 在Rt△CDE中，CE=CD+DE=CD+（CD） =（n+2）CD．‎ ‎∴CE=CD． （9分）‎ ‎∵∠CAB=∠DEC，∴sin∠CAB=sin∠DEC ===． （10分）‎ ‎（08广东佛山25题）25．我们所学的几何知识可以理解为对“构图”的研究：根据给定的（或构造的）几何图形提出相关的概念和问题（或者根据问题构造图形），并加以研究.‎ 例如：在平面上根据两条直线的各种构图，可以提出“两条直线平行”、“两条直线相交”的概念；若增加第三条直线，则可以提出并研究“两条直线平行的判定和性质”等问题（包括研究的思想和方法）. ‎ 请你用上面的思想和方法对下面关于圆的问题进行研究：‎ ‎(1) 如图1，在圆O所在平面上，放置一条直线（和圆O分别交于点A、B），根据这个图形可以提出的概念或问题有哪些（直接写出两个即可）？‎ ‎(2) 如图2，在圆O所在平面上，请你放置与圆O都相交且不同时经过圆心的两条直线和（与圆O分别交于点A、B，与圆O分别交于点C、D）.‎ 请你根据所构造的图形提出一个结论，并证明之.‎ ‎(3) 如图3，其中AB是圆O的直径，AC是弦，D是ABC 的中点，弦DE⊥AB于点F. 请找出点C和点E重合的条件，并说明理由.‎ A B O m 第25题图1‎ O 第25题图2‎ A B O E 第25题图3‎ D C F G D C ‎（08广东佛山25题解答）25．解：(1) 弦（图中线段AB）、弧（图中的ACB弧）、弓形、求弓形的面积（因为是封闭图形）等. ‎ ‎（写对一个给1分，写对两个给2分）‎ ‎(2) 情形1 如图21，AB为弦，CD为垂直于弦AB的直径. …………………………3分 结论：（垂径定理的结论之一）. ……………………………………………………………………4分 证明：略（对照课本的证明过程给分）. ……………………………………………………………7分 情形2 如图22，AB为弦，CD为弦，且AB与CD在圆内相交于点P.‎ O n D A C B m 第25题图21‎ P 结论：.‎ 证明：略.‎ 情形3 （图略）AB为弦，CD为弦，且与在圆外相交于点P.‎ 结论：.‎ 证明：略.‎ AD BC 情形4 如图23，AB为弦，CD为弦，且AB∥CD.‎ 结论： = .‎ 证明：略.‎ ‎（上面四种情形中做一个即可，图1分，结论1分，证明3分；‎ 其它正确的情形参照给分；若提出的是错误的结论，则需证明结论是错误的）‎ ‎(3) 若点C和点E重合，‎ 则由圆的对称性，知点C和点D关于直径AB对称. …………………………………………8分 ABC 设，则，.…………………………………………9分 又D是 的中点，所以，‎ 即.………………………………………………………………10分 解得.……………………………………………………………………11分 A B O E 第25题图3‎ D C F G O 第25题图22‎ n D A C B m P O 第25题图23‎ n D A C B m ‎（若求得或等也可，评分可参照上面的标准；也可以先直觉猜测点B、C是圆的十二等分点，然后说明）‎ ‎（08广东湛江）图9‎ E D B A O C 25． 如图9所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且ABCD于点E．连接AC、OC、BC．‎ ‎（1）求证：ACO=BCD． ‎ ‎（2）若EB=，CD=，求⊙O的直径．‎ ‎25． 证明：(1)∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且ABCD于E，‎ E D B A O C 第25题图 ‎∴CE=ED， （2分）‎ ‎∴BCD=BAC （3分）‎ ‎∵OA=OC ∴OAC=OCA ‎ ‎∴ACO=BCD （5分）‎ ‎(2)设⊙O的半径为Rcm，则OE=OBEB=R8‎ CE=CD=24=12 (6分）‎ 在RtCEO中，由勾股定理可得 OC=OE+CE 即R= (R8) +12 （8分）‎ 解得 R=13 ∴2R=213=26 ‎ 答：⊙O的直径为‎26cm． （10分）‎ ‎2008年中考数学-圆-解答题 ‎（08云南双柏）18．（本小题6分）是⊙O的直径，切⊙O于，交⊙O于，连．若，求的度数．‎ ‎ ‎A B C P O ‎18．（本小题6分）‎ 切⊙O于是⊙O的直径， ‎ ‎∴． ‎ ‎，∴．‎ ‎∴．‎ ‎（08贵州贵阳24题）24．（本题满分10分）‎ 如图10，已知是的直径，点在上，且，．‎ ‎（图10）‎ A B C D O ‎（1）求的值．（3分）‎ ‎（2）如果，垂足为，求的长．（3分）‎ ‎（3）求图中阴影部分的面积（精确到0.1）．（4分）‎ ‎（08四川巴中）25．已知：如图10，在中，点是的角平分线上一点，于点，过点作交于点．求证：点是过三点的圆的圆心．‎ ‎25．证明：点在的平分线上 ‎ 1分 又 ‎， 2分 ‎ 3分 又于点， 4分 A B C D E ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ 5分 ‎ 6分 ‎ 7分 ‎ 8分 过三点确定一圆，又 是所在的圆的直径． 9分 点是所在的圆的圆心． 10分 ‎（08四川广安）24．如图9，AB为⊙O的直径，OE交弦AC于点P，交于点M，且=，‎ A P O C B 图9‎ M E ‎（1）求证：；‎ ‎（2）如果且，求⊙O的半径．‎ ‎（08四川泸州）19．如图6，在气象站台A的正西方向的B处有一台风中心，该台风中心以每小时的速度沿北偏东的BD方向移动，在距离台风中心内的地方都要受到其影响。‎ ‎⑴台风中心在移动过程中，与气象台A的最短距离是多少？‎ ‎⑵台风中心在移动过程中，气象台将受台风的影响，求台风影响气象台的实践会持续多长？‎ 图6‎ ‎ ‎ ‎（08四川泸州）8．如图10，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，D是劣弧的中点，BD交AC于点E.‎ ‎⑴求证：‎ ‎⑵若，，求DE的长 A D F E O C B G ‎（第19题图）‎ ‎（08四川南充）19．如图，已知的直径垂直于弦于点，过点作交的延长线于点，连接并延长交于点，且．‎ ‎（1）试问：是的切线吗？说明理由；‎ ‎（2）请证明：是的中点；‎ ‎（3）若，求的长．‎ ‎19．（1）解：是的切线 1分 理由：‎ 即．‎ 是的切线． 2分 A D F E O C B G ‎（第19题图1）‎ ‎（2）第一种方法：‎ 证明：连接，如图（第19题图1）‎ ‎，‎ 且过圆心 ‎，‎ 是等边三角形． 3分 ‎ 4分 在中，‎ D F E O C B G ‎（第19题图2）‎ A 点为的中点 5分 第二种方法：‎ 证明：连接，如图（第19题图2）‎ 为的直径 又 ‎ 3分 且过圆心 ‎ 4分 点为的中点． 5分 ‎（3）解：‎ 又 ‎ 6分 ‎ 7分 ‎ 8分 ‎（08四川自贡）24．如图，A、B为⊙O上的点，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D。若AC为∠BAD的平分线。‎ 求证：（1）AB为⊙O的直径 ‎（2）AC2＝AB·AD ‎24．‎ 证明：（1）连结BC AC平分∠BAD ‎∴∠DAC＝∠CAB 又CD切⊙O于点C ‎∴∠ACD＝∠B(弦切角定理)‎ ‎∵AD⊥CD ‎∴∠ACD+∠DAC＝90°‎ 即∠B+∠CAB＝90°‎ ‎∴∠BCA＝90°‎ ‎∴AB是⊙O的直径（90°圆周角所对弦是直径）‎ ‎（2）∵∠ACD＝∠B ‎∠DAC＝∠CAB ‎∴△ACD∽△ABC ‎∴‎ ‎∴AC2＝AB·AD ‎2008年中考数学-圆-解答题 ‎（08陕西省卷）23、（本题满分8分）‎ ‎ 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，CB＝12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE。‎ ‎（第23题图）‎ A C B D E ‎ （1）求证：AC＝AE；‎ ‎ （2）求△ACD外接圆的半径。‎ ‎23、（1）证明：∵∠ACB＝90°，‎ ‎ ∴AD为直径。 …………………………（1分）‎ 又∵AD是△ABC的角平分线，‎ ‎∴，∴‎ ‎∴AC＝AE …………………………（3分）‎ ‎ （2）解：∵AC=5，CB=12，‎ ‎∴AB=‎ ‎∵AE=AC=5，∴BE=AB-AE=13-5=8‎ ‎∵AD是直径，∴∠AED=∠ACB=90°‎ ‎∵∠B=∠B，∴△ABC∽△DBE………………………（6分）‎ ‎∴，∴ DE＝‎ ‎∴AD＝‎ ‎∴△ACD外接圆的半径为 …………………（8分）‎ D E C B O A 图18‎ ‎(08甘肃兰州27题)27．（本题满分10分）如图18，四边形内接于，是的直径，，垂足为，平分．‎ ‎（1）求证：是的切线；‎ ‎（2）若，求的长．‎ ‎(08甘肃兰州27题)（本题满分10分）‎ ‎（1）证明：连接，平分，．‎ ‎．．‎ ‎． 3分 D E C B O A ‎，．‎ ‎．‎ 是的切线． 5分 ‎（2）是直径，．‎ ‎，‎ ‎． 6分 平分，．‎ ‎． 8分 在中，．‎ 在中，．‎ 的长是‎1cm，的长是‎4cm． 10分 ‎(08甘肃白银等20题)20．（6分）请你类比一条直线和一个圆的三种位置关系，在图11①、②、③中，分别各画出一条直线，使它与两个圆都相离、都相切、都相交，并在图11④中也画上一条直线，使它与两个圆具有不同于前面3种情况的位置关系．‎ 图11‎ ‎(08甘肃白银等20题解答) 本小题满分6分 答案不唯一． 可供参考的有：‎ 相离：‎ ‎ 1分 相切： 3分 相交： 5分 其它：‎ ‎ 6分 ‎(08甘肃白银等24题)24．（8分））图15是一盒刚打开的“兰州”牌香烟，图16(1)是它的横截面（矩形ABCD），已知每支香烟底面圆的直径是‎8mm．‎ ‎(1) 矩形ABCD的长AB= mm；‎ ‎（2）利用图15(2)求矩形ABCD的宽AD．‎ ‎（≈1.73，结果精确到‎0.1mm）‎ ‎(1)‎ O1‎ O2‎ O3‎ 图16‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎(08甘肃白银等24题解答)本小题满分8分 解：(1)56； 3分 O1‎ O2‎ O3‎ D ‎（2）如图，△O1 O2 O3是边长为‎8mm的正三角形，‎ 作底边O2O3上的高O1 D． 4分 则 O1D=O1O3·sin60°=4≈6.92． 6分 ‎∴ AD=2(O1D+4)=2×10.92≈21.8（mm）． 8分 说明：(1)用勾股定理求O1D，参考本标准评分；‎ ‎ （2）在如图大正三角形中求高后再求AD，‎ 也参考本标准评分．‎ ‎（08宁夏区卷）24．(8分)‎ 如图，梯形内接于⊙， ∥，与相交于点 ，在不添加任何辅助线的情况下：‎ (1) 图中共有几对全等三角形，请把它们一一写出来，并选择其中一对全等三角形进行证明．‎ (2) 若平分∠，请找出图中与△相似的所有三角形．‎ ‎24．解：（1）图中共有三对全等三角形： ‎ ‎①△≌△②△≌△ ③△≌△ 3分 选择①△≌△证明 在⊙中，∠=∠,∠=∠‎ ‎ ∵∥ ∴∠=∠ ∴∠=∠‎ 又∵‎ ‎∴△≌△ 5分 ‎ ‎（2）图中与△相似的三角形有：‎ ‎△，△， △． 8分 ‎（08青海省卷）27．已知，如图，直线交于两点，是直径，平分交于，过作于．‎ 第27题图 C O B A D M E N ‎（1）求证：是的切线；‎ ‎（2）若cm，cm，求的半径．‎ C O B A D M E N ‎27．（1）证明：连接．‎ ‎，‎ ‎． （1分）‎ ‎，‎ ‎． （2分）‎ ‎． （3分）‎ ‎，‎ ‎．‎ 即． （4分）‎ 在上，‎ 是的切线． （5分）‎ ‎（2）解：，，，‎ ‎． （6分）‎ 连接．‎ 是的直径，‎ ‎． （7分）‎ ‎，‎ ‎． （8分）‎ ‎．‎ ‎．‎ 则（cm）． （9分）‎ 的半径是‎7.5cm． （10分）‎ ‎（08新疆区卷）18．（8分）如图，⊙O的半径，直线l⊥CO，垂足为H，交⊙O于A、B两点，，直线l平移多少厘米时能与⊙O相切？‎ ‎18．（8分）解法1：如图，连结OA，延长CO交⊙O于D，‎ ‎∵l⊥OC，‎ ‎∴OC平分AB．‎ ‎∴AH=8． 3分 在Rt△AHO中，， 6分 ‎∴．‎ 答：直线AB向左移‎4cm，或向右平移‎16cm时与圆相切． 8分 解法2：设直线AB平移时能与圆相切，‎ ‎ 3分 ‎ ‎ ‎∴． 8分 答：略．（只答一个方向的平移扣2分）‎