河南省南阳信阳等六市高考数学一模试卷理科

河南省南阳信阳等六市高考数学一模试卷理科

‎2017年河南省南阳、信阳等六市高考数学一模试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1．（5分）已知集合，C=A∩B，则C的子集的个数是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．4‎ ‎2．（5分）复数z满足（1﹣i）=|1+i|，则复数z的实部与虚部之和为（　　）‎ A． B．﹣ C．1 D．0‎ ‎3．（5分）设直线m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列事件中是必然事件的是（　　）‎ A．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β B．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β C．若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β D．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β ‎4．（5分）给出下列四个结论：‎ ‎①已知X服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤X≤2）=0.6，则P（X＞2）=0.2；‎ ‎②若命题，则￢p：∀x∈（﹣∞，1），x2﹣x﹣1≥0；‎ ‎③已知直线l1：ax+3y﹣1=0，l2：x+by+1=0，则l1⊥l2的充要条件是．‎ 其中正确的结论的个数为（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎5．（5分）在△ABC中，，则tanC的值是（　　）‎ A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2‎ ‎6．（5分）如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m MOD n”表示m除以n的余数），若输入的m，n分别为495，135，则输出的m=（　　）‎ A．0 B．5 C．45 D．90‎ ‎7．（5分）已知z=2x+y，其中实数x，y满足，且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是（　　）‎ A． B． C．4 D．‎ ‎8．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x﹣）=f（x+）恒成立，当x∈[2，3]时，f（x）=x，则当x∈（﹣2，0）时，函数f（x）的解析式为（　　）‎ A．|x﹣2| B．|x+4| C．3﹣|x+1| D．2+|x+1|‎ ‎9．（5分）将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间[0，]和[2a，]上均单调递增，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]‎ ‎10．（5分）已知F2、F1是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的上、下焦点，点F2‎ 关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（　　）‎ A．3 B． C．2 D．‎ ‎11．（5分）一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是右图．图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形．则这个四面体的外接球的表面积是（　　）‎ A．π B．3π C．4π D．6π ‎12．（5分）中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美，给出定义：能够将圆O的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”，给出下列命题：‎ ‎①对于任意一个圆O，其“优美函数“有无数个”；‎ ‎②函数可以是某个圆的“优美函数”；‎ ‎③正弦函数y=sinx可以同时是无数个圆的“优美函数”；‎ ‎④函数y=f（x）是“优美函数”的充要条件为函数y=f（x）的图象是中心对称图形．‎ 其中正确的命题是（　　）‎ A．①③ B．①③④ C．②③ D．①④‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）已知向量，若，则=　　．‎ ‎14．（5分）（2x2+x﹣1）5的展开式中，x3的系数为　　．‎ ‎15．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c•cosB=2a+b，若△ABC的面积为S=c，则ab的最小值为　　．‎ ‎16．（5分）椭圆C：+=1的上、下顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本题必作题5小题，共60分；选作题2小题，考生任作一题，共10分.）‎ ‎17．（12分）观察下列三角形数表：‎ 假设第n行的第二个数为，‎ ‎（1）归纳出an+1与an的关系式，并求出an的通项公式；‎ ‎（2）设anbn=1（n≥2），求证：b2+b3+…+bn＜2．‎ ‎18．（12分）如图所示的几何体中，ABC﹣A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，∠ADC=60°．‎ ‎（1）若AA1=AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD；‎ ‎（2）若CD=2，AA1=λAC，二面角A﹣C1D﹣C的余弦值为，求三棱锥C1﹣A1CD的体积．‎ ‎19．（12分）为了对2016年某校中考成绩进行分析，在60分以上的全体同学中随机抽出8位，他们的数学分数（已折算为百分制）从小到大排是60、65、70、75、80、85、90、95，物理分数从小到大排是72、77、80、84、88、90、93、95．‎ ‎（1）若规定85分以上为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；‎ ‎（2）若这8位同学的数学、物理、化学分数事实上对应如下表：‎ 学生编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 数学分数x ‎60‎ ‎65‎ ‎70‎ ‎75‎ ‎80‎ ‎85‎ ‎90‎ ‎95‎ 物理分数y ‎72‎ ‎77‎ ‎80‎ ‎84‎ ‎88‎ ‎90‎ ‎93‎ ‎95‎ 化学分数z ‎67‎ ‎72‎ ‎76‎ ‎80‎ ‎84‎ ‎87‎ ‎90‎ ‎92‎ ‎①用变量y与x、z与x的相关系数说明物理与数学、化学与数学的相关程度；‎ ‎②求y与x、z与x的线性回归方程（系数精确到0.01），当某同学的数学成绩为50分时，估计其物理、化学两科的得分．‎ 参考公式：相关系数，‎ 回归直线方程是：，其中，‎ 参考数据：，，，．‎ ‎20．（12分）如图，抛物线C：y2=2px的焦点为F，抛物线上一定点Q（1，2）．‎ ‎（1）求抛物线C的方程及准线l的方程；‎ ‎（2）过焦点F的直线（不经过Q点）与抛物线交于A，B两点，与准线l交于点M，记QA，QB，QM的斜率分别为k1，k2，k3，问是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3成立？若存在λ，求出λ的值；若不存在，说明理由．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=（a﹣bx3）ex﹣，且函数f（x）的图象在点（1，e）处的切线与直线x﹣（2e+1）y﹣3=0垂直．‎ ‎（Ⅰ）求a，b；‎ ‎（Ⅱ）求证：当x∈（0，1）时，f（x）＞2．‎ ‎　‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）若以O点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρ=4cos θ．‎ ‎（1）求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；‎ ‎（2）将曲线C上各点的横坐标缩短为原来的，再将所得曲线向左平移1个单位，得到曲线C1，求曲线C1上的点到直线l的距离的最小值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．设f（x）=|x﹣1|+|x+1|．‎ ‎（1）求f（x）≤x+2的解集；‎ ‎（2）若不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2017年河南省南阳、信阳等六市高考数学一模试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1．（5分）（2017•信阳一模）已知集合，C=A∩B，则C的子集的个数是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．4‎ ‎【分析】先利用交集定义求出集合C，由此能求出C的子集的个数．‎ ‎【解答】解：∵集合，‎ ‎∴C=A∩B={（x，y）|}={（，）}，‎ ‎∴C的子集的个数是：21=2．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查交集的子集个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2017•信阳一模）复数z满足（1﹣i）=|1+i|，则复数z的实部与虚部之和为（　　）‎ A． B．﹣ C．1 D．0‎ ‎【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、实部与虚部的定义即可得出．‎ ‎【解答】解：∵（1﹣i）=|1+i|，∴（1﹣i）（1+i）=（1+i），∴=+i 则复数z的实部与虚部之和=+=．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、实部与虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2017•信阳一模）设直线m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列事件中是必然事件的是（　　）‎ A．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β B．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β C．若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β D．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β ‎【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：若m∥α，n∥β，m⊥n，则α、β位置关系不确定，故不正确；‎ 若m∥α，则α中存在直线c与m平行，m∥n，n⊥β，则c⊥β，∵c⊂α，∴α⊥β，不正确；‎ 若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α、β可以相交，不正确；‎ 若m⊥α，m∥n，则n⊥α，n⊥β，∴α∥β，正确，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查面面平行、垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2017•信阳一模）给出下列四个结论：‎ ‎①已知X服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤X≤2）=0.6，则P（X＞2）=0.2；‎ ‎②若命题，则￢p：∀x∈（﹣∞，1），x2﹣x﹣1≥0；‎ ‎③已知直线l1：ax+3y﹣1=0，l2：x+by+1=0，则l1⊥l2的充要条件是．‎ 其中正确的结论的个数为（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【分析】①，已知X服从正态分布N（0，σ2），可得正态曲线关于y轴对称，当P（﹣2≤X≤2）=0.6时，则P（X＞2）=0.2；‎ ‎②，若命题，则￢p：∀x∈[1，+∞），x2﹣x﹣1‎ ‎≥0；‎ ‎③，当a=b=0时，l1⊥l2，‎ ‎【解答】解：对于①，已知X服从正态分布N（0，σ2），可得正态曲线关于y轴对称，当P（﹣2≤X≤2）=0.6时，则P（X＞2）=0.2，正确；‎ 对于②，若命题，则￢p：∀x∈[1，+∞），x2﹣x﹣1≥0，故错；‎ 对于③，当a=b=0时，l1⊥l2，故错，‎ 故选：B ‎【点评】本题考查了命题真假的判定，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2017•信阳一模）在△ABC中，，则tanC的值是（　　）‎ A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2‎ ‎【分析】先通过cosB，求得sinB，进而可求得tanB，进而根据tanC=﹣tan（A+B），利用正切的两角和公式求得答案．‎ ‎【解答】解：∵cosB=，‎ ‎∴sinB==，tanB==，‎ ‎∴tanC=﹣tan（A+B）=﹣=﹣1．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用．当进行三角关系变换的时候，要特别注意函数值的正负．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2017•信阳一模）如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m MOD n”表示m除以n的余数），若输入的m，n分别为495，135，则输出的m=（　　）‎ A．0 B．5 C．45 D．90‎ ‎【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎【解答】解：第一次执行循环体，r=90，m=135，n=90，不满足退出循环的条件；‎ 第二次执行循环体，r=0，m=45，n=0，满足退出循环的条件；‎ 故输出的m值为45，‎ 故选：C ‎【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2017•信阳一模）已知z=2x+y，其中实数x，y满足，且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是（　　）‎ A． B． C．4 D．‎ ‎【分析】‎ 作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍，建立方程关系，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 由z=2x+y得y=﹣2x+z，‎ 平移直线y=﹣2x+z，‎ 由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最大，‎ 此时z最大，‎ 由 ，解得：，‎ 即A（1，1），此时z=2×1+1=3，‎ 当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线的截距最小，‎ 此时z最小，‎ 由 ，解得：，‎ 即B（a，a），此时z=2×a+a=3a，‎ ‎∵目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍，‎ ‎∴3=4×3a，即a=，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2017•信阳一模）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x﹣）=f（x+）恒成立，当x∈[2，3]时，f（x）=x，则当x∈（﹣2，0）时，函数f（x）的解析式为（　　）‎ A．|x﹣2| B．|x+4| C．3﹣|x+1| D．2+|x+1|‎ ‎【分析】根据f（x﹣）=f（x+）将x换为x+，再将x换为x+1，得到函数的最小正周期为2，由当x∈[2，3]时，f（x）=x，求出x∈[0，1]的解析式，再由f（x）是定义在R上的偶函数，求出x∈[﹣1，0]的解析式，再将y=f（x），x∈[0，1]的图象向左平移2个单位即得x∈[﹣2，﹣1]的图象，合并并用绝对值表示﹣2＜x＜0的解析式．‎ ‎【解答】解：∵∀x∈R，f（x﹣）=f（x+），‎ ‎∴f（x+1）=f（x﹣1），f（x+2）=f（x），‎ 即f（x）是最小正周期为2的函数，‎ 令0≤x≤1，则2≤x+2≤3，‎ ‎∵当x∈[2，3]时，f（x）=x，‎ ‎∴f（x+2）=x+2，‎ ‎∴f（x）=x+2，x∈[0，1]，‎ ‎∵f（x）是定义在R上的偶函数，‎ ‎∴f（x）=﹣x+2，x∈[﹣1，0]，‎ 令﹣2≤x≤﹣1，则0≤x+2≤1，‎ ‎∵f（x）=x+2，x∈[0，1]，‎ ‎∴f（x+2）=x+4，‎ ‎∴f（x）=x+4，x∈[﹣2，﹣1]，‎ ‎∴当﹣2＜x＜0时，函数的解析式为：f（x）=3﹣|x+1|．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查函数的奇偶性和周期性及其运用，考查解决抽象函数常用的方法：赋值法，正确赋值是解决此类问题的关键．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2017•信阳一模）将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移 个单位后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间[0，]和[2a，]上均单调递增，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]‎ ‎【分析】由函数的图象平移求得函数g（x）的解析式，进一步求出函数（x）的单调增区间，结合函数g（x）在区间[0，]和[2a，]上均单调递增列关于a的不等式组求解．‎ ‎【解答】解：将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，‎ 得g（x）=2cos2（x﹣）=2cos（2x﹣），‎ 由，得．‎ 当k=0时，函数的增区间为[]，当k=1时，函数的增区间为[]．‎ 要使函数g（x）在区间[0，]和[2a，]上均单调递增，‎ 则，解得a∈[，]．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查三角函数的图象变换，考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的性质，是中档题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2017•信阳一模）已知F2、F1是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的上、下焦点，点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（　　）‎ A．3 B． C．2 D．‎ ‎【分析】首先求出F2到渐近线的距离，利用F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，可得直角三角形MF1F2‎ ‎，运用勾股定理，即可求出双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：由题意，F1（0，﹣c），F2（0，c），‎ 一条渐近线方程为y=x，则F2到渐近线的距离为=b．‎ 设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，‎ ‎∴|MF2|=2b，A为F2M的中点，‎ 又0是F1F2的中点，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2为直角，‎ ‎∴△MF1F2为直角三角形，‎ ‎∴由勾股定理得4c2=c2+4b2‎ ‎∴3c2=4（c2﹣a2），∴c2=4a2，‎ ‎∴c=2a，∴e=2．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查了双曲线的几何性质以及有关离心率和渐近线，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）（2017•信阳一模）一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是右图．图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形．则这个四面体的外接球的表面积是（　　）‎ A．π B．3π C．4π D．6π ‎【分析】由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体．此四面体的外接球的半径为正方体的对角线长为．利用球的表面积计算公式即可得出．‎ ‎【解答】解：由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体．‎ ‎∴此四面体的外接球的直径为正方体的对角线长为．‎ ‎∴此四面体的外接球的表面积为表面积为=3π．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了三棱锥的三视图、正方体与外接球的性质、球的表面积的计算公式，考查了推理能力与空间想象能力、计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2017•信阳一模）中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美，给出定义：能够将圆O的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”，给出下列命题：‎ ‎①对于任意一个圆O，其“优美函数“有无数个”；‎ ‎②函数可以是某个圆的“优美函数”；‎ ‎③正弦函数y=sinx可以同时是无数个圆的“优美函数”；‎ ‎④函数y=f（x）是“优美函数”的充要条件为函数y=f（x）的图象是中心对称图形．‎ 其中正确的命题是（　　）‎ A．①③ B．①③④ C．②③ D．①④‎ ‎【分析】过圆心的直线都可以将圆的周长和面积同时平分，故①正确；‎ 作函数的大致图象，从而判断②的正误；‎ 将圆的圆心放在正弦函数y=sinx的对称中心上，则正弦函数y=sinx是该圆的“优美函数”；即可判断③的正误；‎ 函数y=f（x）的图象是中心对称图形，则y=f（x）是“优美函数”，但函数y=f（x）是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，作图举反例即可．‎ ‎【解答】解：过圆心的直线都可以将圆的周长和面积同时平分，‎ 故对于任意一个圆O，其“优美函数”有无数个，故①正确；‎ 函数的大致图象如图1，故其不可能为圆的“优美函数”；∴②不正确；‎ 将圆的圆心放在正弦函数y=sinx的对称中心上，‎ 则正弦函数y=sinx是该圆的“优美函数”；‎ 故有无数个圆成立，故③正确；‎ 函数y=f（x）的图象是中心对称图形，则y=f（x）是“优美函数”，‎ 但函数y=f（x）是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，如图2，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了学生的学习能力及数形结合的思想方法应用，命题真假的判断，函数的性质的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）（2017•信阳一模）已知向量，若，则=　　．‎ ‎【分析】可先求出向量的坐标，根据条件得到，从而可求出x=1，进而求出向量的坐标，从而求得该向量的长度．‎ ‎【解答】解：∵，且；‎ ‎∴=﹣x2+2x﹣1=0；‎ ‎∴x=1；‎ ‎∴；‎ ‎∴．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】考查向量坐标的概念，向量垂直的充要条件，以及向量坐标的数乘运算．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2017•信阳一模）（2x2+x﹣1）5的展开式中，x3的系数为　﹣30　．‎ ‎【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再根据通项公式，讨论r的值，即可求得x3项的系数．‎ ‎【解答】解：∵（2x2+x﹣1）5 =[（2x2+x）﹣1]5展开式的通项公式为 Tr+1=•（2x2+x）5﹣r•（﹣1）r，‎ 当r=0或1时，二项式（2x2+x）5﹣r展开式中无x3项；‎ 当r=2时，二项式（2x2+x）5﹣r展开式中x3的系数为1；‎ 当r=3时，二项式（2x2+x）5﹣r展开式中x3的系数为4；‎ 当r=4或5时，二项式（2x2+x）5﹣r，展开式中无x3项；‎ ‎∴所求展开式中x3项的系数为1×+4×（﹣）=﹣30．‎ 故答案为：﹣30．‎ ‎【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）（2017•信阳一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c•cosB=2a+b，若△ABC的面积为S=c，则ab的最小值为　12　．‎ ‎【分析】由条件里用正弦定理、两角和的正弦公式求得cosC=﹣，C=．根据△ABC的面积为S=ab•sinC=c，求得c=ab．再由余弦定理化简可得a2b2=a2+b2+ab≥3ab，由此求得ab的最小值．‎ ‎【解答】解：在△ABC中，由条件里用正弦定理可得2sinCcosB=2sinA+sinB=2sin（B+C）+sinB，‎ 即 2sinCcosB=2sinBcosC+2sinCcosB+sinB，∴2sinBcosC+sinB=0，∴cosC=﹣，C=．‎ 由于△ABC的面积为S=ab•sinC=ab=c，∴c=ab．‎ 再由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2ab•cosC，整理可得a2b2=a2+b2+ab≥3ab，‎ 当且仅当a=b时，取等号，∴ab≥12，‎ 故答案为：12．‎ ‎【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，诱导公式、两角和的正弦公式、基本不等式的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）（2017•信阳一模）椭圆C：+=1的上、下顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是　[]　．‎ ‎【分析】由题意求A1、A2的坐标，设出点P的坐标，代入求斜率，进而求PA1斜率的取值范围 ‎【解答】解：由椭圆的标准方程可知，‎ 上、下顶点分别为A1（0，）、A2（0，﹣），‎ 设点P（a，b）（a≠±2），则+=1．即=﹣‎ 直线PA2斜率k2=，直线PA1斜率k1=．‎ k1k2=•==﹣；‎ k1=﹣‎ ‎∵直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，即：﹣2≤k2≤﹣1‎ ‎∴直线PA1斜率的取值范围是[]．‎ 故答案为：[]．‎ ‎【点评】本题考查了圆锥曲线的简单性质应用，同时考查了直线的斜率公式及学生的化简能力，属于中档题 ‎　‎ 三、解答题（本题必作题5小题，共60分；选作题2小题，考生任作一题，共10分.）‎ ‎17．（12分）（2017•信阳一模）观察下列三角形数表：‎ 假设第n行的第二个数为，‎ ‎（1）归纳出an+1与an的关系式，并求出an的通项公式；‎ ‎（2）设anbn=1（n≥2），求证：b2+b3+…+bn＜2．‎ ‎【分析】（1）利用数列的关系归纳出an+1与an的关系式，利用累加法求解即可．‎ ‎（2）利用放缩法化简通项公式，通过裂项消项法求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）依题意an+1=an+n（n≥2），a2=2，‎ ‎，‎ 所以；‎ ‎（2）因为anbn=1，所以，．‎ ‎【点评】‎ 本题考查数列的应用，放缩法的应用，数列求和以及通项公式的求法，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2017•信阳一模）如图所示的几何体中，ABC﹣A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，∠ADC=60°．‎ ‎（1）若AA1=AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD；‎ ‎（2）若CD=2，AA1=λAC，二面角A﹣C1D﹣C的余弦值为，求三棱锥C1﹣A1CD的体积．‎ ‎【分析】（I）连接A1C交AC1于E，证明AA1⊥AC，CD⊥AC，推出CD⊥平面A1ACC1，然后证明AC1⊥平面A1 B1CD．‎ ‎（II）如图建立直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面 AC1D的法向量，平面C1CD的法向量为，通过向量的数量积求出λ=1，然后利用等体积法求解体积即可．‎ ‎【解答】（I）证明：连接A1C交AC1于E，因为AA1=AC，又A A1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AC，‎ 所以A1ACC1为正方形，所以A1C⊥AC1，…（2分）‎ 在△ACD中，AD=2CD，∠ADC=60°，由余弦定理得 AC2=AD2+CD2﹣2 AC•DCcos60°，‎ 所以，所以AD2=AC2+CD2，‎ 所以CD⊥AC，又AA1⊥CD．所以CD⊥平面A1ACC1，‎ 所以CD⊥AC1，所以AC1⊥平面A1 B1CD．…（6分）‎ ‎（II）如图建立直角坐标系，则D（2，0，0），，，∴，‎ 对平面 AC1D，因为，‎ 所以法向量，‎ 平面C1CD的法向量为，…（8分）‎ 由，得λ=1，…（10分）‎ 所以 A A1=AC，此时，CD=2，，‎ 所以…（12分）‎ ‎【点评】本题考查二面角的平面镜的求法与应用，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2017•信阳一模）为了对2016年某校中考成绩进行分析，在60分以上的全体同学中随机抽出8位，他们的数学分数（已折算为百分制）从小到大排是60、65、70、75、80、85、90、95，物理分数从小到大排是72、77、80、84、88、90、93、95．‎ ‎（1）若规定85分以上为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；‎ ‎（2）若这8位同学的数学、物理、化学分数事实上对应如下表：‎ 学生编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 数学分数x ‎60‎ ‎65‎ ‎70‎ ‎75‎ ‎80‎ ‎85‎ ‎90‎ ‎95‎ 物理分数y ‎72‎ ‎77‎ ‎80‎ ‎84‎ ‎88‎ ‎90‎ ‎93‎ ‎95‎ 化学分数z ‎67‎ ‎72‎ ‎76‎ ‎80‎ ‎84‎ ‎87‎ ‎90‎ ‎92‎ ‎①用变量y与x、z与x的相关系数说明物理与数学、化学与数学的相关程度；‎ ‎②求y与x、z与x的线性回归方程（系数精确到0.01），当某同学的数学成绩为50分时，估计其物理、化学两科的得分．‎ 参考公式：相关系数，‎ 回归直线方程是：，其中，‎ 参考数据：，，，．‎ ‎【分析】（1）求出从这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的基本事件数，‎ 以及这8位同学的物理分数和数学分数分别对应基本事件数，计算所求的概率值；‎ ‎（2）①变量y与x、z与x的相关系数，得出物理与数学、化学与数学成绩都是高度正相关；‎ ‎②求出y与x、z与x的线性回归方程，由此计算x=50时y与z的值即可．‎ ‎【解答】解：（1）这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀，‎ 则需要先从物理4 个优秀分数中选出3个与数学分数对应，‎ 不同的种数是（或），‎ 然后剩下的5个数学分数和物理分数任意对应，不同的种数是；‎ 根据乘法原理，满足条件的不同种数是；‎ 这8位同学的物理分数和数学分数分别对应种数共有，‎ 故所求的概率为；‎ ‎（2）①变量y与x、z与x的相关系数分别是 ‎，‎ 可以看出：物理与数学、化学与数学成绩都是高度正相关；‎ ‎②设y与x、z与x的线性回归方程分别是，‎ 根据所给的数据，计算出 ‎，‎ ‎，‎ 所以y与x、z与x的回归方程分别是 ‎、，‎ 当x=50时，，‎ ‎∴当该生的数学为50分时，其物理、化学成绩分别约为66.85分、61.2分．‎ ‎【点评】本题考查了古典概型的概率与线性回归方程的应用问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2017•信阳一模）如图，抛物线C：y2=2px的焦点为F，抛物线上一定点Q（1，2）．‎ ‎（1）求抛物线C的方程及准线l的方程；‎ ‎（2）过焦点F的直线（不经过Q点）与抛物线交于A，B两点，与准线l交于点M，记QA，QB，QM的斜率分别为k1，k2，k3，问是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3成立？若存在λ，求出λ的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【分析】（1）把Q（1，2）代入y2=2px，得2p=4，即可求抛物线C的方程及准线l的方程；‎ ‎（2）把直线AB的方程y=k（x﹣1），代入抛物线方程y2=4x，并整理，求出k1+k2，k3，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）把Q（1，2）代入y2=2px，得2p=4，所以抛物线方程为y2=4x，‎ 准线l的方程为x=﹣1．‎ ‎（2）由条件可设直线AB的方程为y=k（x﹣1），k≠0．‎ 由抛物线准线l：x=﹣1，可知M（﹣1，﹣2k），又Q（1，2），所以，‎ 把直线AB的方程y=k（x﹣1），代入抛物线方程y2=4x，并整理，可得k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，‎ 又Q（1，2），故．因为A，F，B三点共线，所以kAF=kBF=k，‎ 即，‎ 所以，‎ 即存在常数λ=2，使得k1+k2=2k3成立．‎ ‎【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2017•信阳一模）已知函数f（x）=（a﹣bx3）ex﹣，且函数f（x）的图象在点（1，e）处的切线与直线x﹣（2e+1）y﹣3=0垂直．‎ ‎（Ⅰ）求a，b；‎ ‎（Ⅱ）求证：当x∈（0，1）时，f（x）＞2．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据函数f（x）的图象在点（1，e）处的切线与直线x﹣（2e+1）y﹣3=0垂直，求得a，b；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，证f（x）＞2，即证2ex﹣exx3＞2，构造函数，确定函数的单调性，即可证明结论．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：因为f（1）=e，故（a﹣b）e=e，故a﹣b=1①；‎ 依题意，f′（1）=﹣2e﹣1；又，‎ 故f′（1）=ae﹣1﹣4be=﹣2e﹣1，故a﹣4b=﹣2②，‎ 联立①②解得a=2，b=1，…（5分）‎ ‎（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得 要证f（x）＞2，即证2ex﹣exx3＞2； …（7分）‎ 令g（x）=2ex﹣exx3，∴g′（x）=ex（﹣x3﹣3x2+2）=﹣ex（x3+3x2﹣2）=﹣ex（x+1）（x2+2x﹣2），‎ 故当x∈（0，1）时，﹣ex＜0，x+1＞0；‎ 令p（x）=x2+2x﹣2，因为p（x）的对称轴为x=﹣1，且p（0）•p（1）＜0，‎ 故存在x0∈（0，1），使得p（x0）=0；‎ 故当x∈（0，x0）时，p（x）=x2+2x﹣2＜0，g′（x）=﹣ex（x+1）（x2+2x﹣2）＞0，‎ 即g（x）在（0，x0）上单调递增；‎ 当x∈（x0，1）时，p（x）=x2+2x﹣2＞0，故g′（x）=﹣ex（x+1）（x2+2x﹣2）＜‎ ‎0，‎ 即g（x）在（x0，1）上单调递减；因为g（0）=2，g（1）=e，‎ 故当x∈（0，1）时，g（x）＞g（0）=2，…（10分）‎ 又当x∈（0，1）时，，∴…（11分）‎ 所以2ex﹣exx3＞2，即f（x）＞2…（12分）‎ ‎【点评】本题考查导数的应用，考查导数的几何意义，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）（2017•信阳一模）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）若以O点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρ=4cos θ．‎ ‎（1）求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；‎ ‎（2）将曲线C上各点的横坐标缩短为原来的，再将所得曲线向左平移1个单位，得到曲线C1，求曲线C1上的点到直线l的距离的最小值．‎ ‎【分析】（1）利用直角坐标与极坐标间的关系：ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得C的直角坐标方程，将直线l的参数消去得出直线l的普通方程．‎ ‎（2）曲线C1的方程为4x2+y2=4，设曲线C1上的任意点（cosθ，2sinθ），利用点到直线距离公式，建立关于θ的三角函数式求解．‎ ‎【解答】解：（1）由ρ=4cosθ，得出ρ2=4ρcosθ，化为直角坐标方程：x2+y2=4x 即曲线C的方程为（x﹣2）2+y2=4，直线l的方程是：x+y=0…（4分）‎ ‎（2）将曲线C横坐标缩短为原来的 ，再向左平移1个单位，得到曲线C1的方程为4x2+y2=4，设曲线C1上的任意点（cosθ，2sinθ）‎ 到直线l距离d==．‎ 当sin（θ+α）=0时 到直线l距离的最小值为0．‎ ‎【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及利用平面几何知识解决最值问题．利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．（2017•信阳一模）设f（x）=|x﹣1|+|x+1|．‎ ‎（1）求f（x）≤x+2的解集；‎ ‎（2）若不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．‎ ‎【分析】（1）运用绝对值的含义，对x讨论，分x≥1，﹣1＜x＜1，x≤﹣1，去掉绝对值，得到不等式组，解出它们，再求并集即可得到解集；‎ ‎（2）运用绝对值不等式的性质，可得不等式右边的最大值为3，再由不等式恒成立思想可得f（x）≥3，再由去绝对值的方法，即可解得x的范围．‎ ‎【解答】解：（1）由f（x）≤x+2得：‎ 或或，‎ 即有1≤x≤2或0≤x＜1或x∈∅，‎ 解得0≤x≤2，‎ 所以f（x）≤x+2的解集为[0，2]； ‎ ‎（2）=|1+|﹣|2﹣|≤|1++2﹣|=3，‎ 当且仅当（1+）（2﹣）≤0时，取等号．‎ 由不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，‎ 可得|x﹣1|+|x+1|≥3，即或或，‎ 解得x≤﹣或x≥，‎ 故实数x的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．‎ ‎【点评】‎ 本题考查绝对值不等式的解法，同时考查不等式恒成立问题的求法，运用分类讨论的思想方法和绝对值不等式的性质是解题的关键．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：zlzhan；沂蒙松；lcb001；陈远才；w3239003；豫汝王世崇；刘老师；双曲线；sxs123；刘长柏；qiss；wkl197822；742048；caoqz；minqi5（排名不分先后）‎ 菁优网 ‎2017年3月16日