2008-2017江苏高考选修系列矩阵与变换参数方程与极坐标真题含答案

2008-2017江苏高考选修系列矩阵与变换参数方程与极坐标真题含答案

江苏高考选修系列·矩阵与变换·参数方程与极坐标·真题 【2008 年】 1.选修 4—2 矩阵与变换 在平面直角坐标系 xOy 中，设椭圆 2 24 1x y  在矩阵   0 2   1 0 对应的变换作用下得到曲线 F，求 F 的方程． 2.选修 4—4 参数方程与极坐标 在平面直角坐标系 xOy 中，点 ( )P x y， 是椭圆 2 2 13 x y  上的一个动点，求 S x y  的最大值． 【2009 年】 3.选修 4 - 2：矩阵与变换 求矩阵 3 2 2 1A      的逆矩阵. 4.选修 4 - 4：坐标系与参数方程 已知曲线 C 的参数方程为 1 13( ) x t t y t t       （ t 为参数， 0t  ）.求曲线 C 的普通方程。 【2010 年】 5. 选修 4-2：矩阵与变换 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,0)，B(－2,0)，C(－2,1)。设 k 为非零实数，矩阵 M=     10 0k ,N=     01 10 ，点 A、 B、C 在矩阵 MN 对应的变换下得到点分别为 A1、B1、C1，△A1B1C1 的面积是△ABC 面积的 2 倍，求 k 的值。 6. 选修 4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知圆 2cos  与直线3 cos 4 sin 0a      相切，求实数 a 的值。 【2011 年】 7. 选修 4-2：矩阵与变换 已知矩阵 1 1 2 1      A ，向量 1 2       ．求向量 ，使得 2 A ． 8. 选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，求过椭圆 5cos 3sin x y      （ 为参数）的右焦点，且与直线 4 2 3 x t y t      （t 为参数）平行的 直线的普通方程． 【2012 年】 9.[选修 4 - 2：矩阵与变换] 已知矩阵 A 的逆矩阵 1 1 3 4 4 1 1 2 2            A ，求矩阵 A 的特征值． 10. [选修 4 - 4：坐标系与参数方程] 在极坐标中，已知圆C 经过点  2 4P ， ，圆心为直线 3sin 3 2         与极轴的交点，求圆 C 的极坐标方程． 【2013 年】 11．［选修 4-2：矩阵与变换］ 已知矩阵 1 0 1 2,0 2 0 6A B            ，求矩阵 BA 1 。 12.［选修4-4：坐标系与参数方程］ 在平面直角坐标系 xoy 中，直线 l 的参数方程为      ty tx 2 1 （t 为参数），曲线 C 的参数方程为        tan2 tan2 2 y x （ 为 参数），试求直线l 与曲线 C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标。 【2014 年】 13.【选修 4-2：矩阵与变换】 已知矩阵 1 2 1A x      ， 1 1 2 1B      ，向量 2 y      a ， ,x y 是实数，若 A Ba a ，求 ,x y 的值 14.【选修 4-4：坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系 xoy 中，已知直线l 的参数方程 21 2 22 2 x t y t       (t 是参数 ) ，直线 l 与抛物线 2 4y x 相交于 ,A B 两点， 求线段 AB 的长 【2015 年】 15.【选修 4-2：矩阵与变换】 已知 x，y∈R，向量 =     1 1 是矩阵 的属于特征值﹣2 的一个特征向量，求矩阵 A 以及它的另一个特征值． 16.【选修 4-4：坐标系与参数方程】 已知圆 C 的极坐标方程为ρ2+2 ρsin（θ﹣ ）﹣4=0，求圆 C 的半径． 【2016 年】 17. [选修 4-2：矩阵与变换] 已知矩阵 1 2 0 2      A ，矩阵 B 的逆矩阵 1 11 2 0 2         B ，求矩阵 AB． 18. [选修 4-4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为   11 ,2 3 ,2 x t t y t      为参数 ，椭圆 C 的参数方程  cos , 2sin , x y      为参数 ， 设直线 l 与椭圆C 相交于 ,A B 两点，求线段 AB 的长． 【2017 年】 19. [选修 4-2：矩阵与变换] 已知矩阵 A=   1 0   0 1 ,B=   0 1   2 0 . （1）求 AB （2）若曲线 C1： 8 2x + 2 2y =1 在矩阵 AB 对应的变换作用下得到另一曲线 C2，求 C2 的方程. 20. [选修 4-4：坐标系与参数方程] 在平面坐标系中 xOy 中，已知直线 l 的参考方程为 （t 为参数）,曲线 C 的参数方程为 （s 为参数）。设 p 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 的距离的最小值 江苏高考选修系列·矩阵与变换·参数方程与极坐标·答案 1.（2008 江苏）选修 4—2 矩阵与变换 【答案】解：设 0 0( , )P x y 是椭圆上任意一点，点 0 0( , )P x y 在矩阵 A 对应的变换下变为点 ' ' ' 0 0( , )P x y 则有 ' 0 0 ' 00 2 0 0 1 x x yy                ，即 ' 0 0 ' 0 0 2x x y y    ，所以 ' 0 0 ' 0 0 2 xx y y     又因为点 P 在椭圆上，故 2 2 0 04 1x y  ，从而 ' 2 ' 2 0 0( ) ( ) 1x y  所以，曲线 F 的方程是 2 2 1x y  。 2.（2008 江苏）选修 4—4 参数方程与极坐标 【答案】解：∵椭圆 2 2 13 x y  的参数方程为 3 cos ( sin x y       为参数）∴可设动点 P 的坐标为 ( 3 cos ,sin ），其 中 0 2   .∴ 3 13 cos sin 2( cos sin ) 2sin( )2 2 3S x y             ∴当 6   时， S 取最大值 2。 3.（2009 江苏）选修 4 - 2：矩阵与变换 【答案】解：设矩阵 A 的逆矩阵为 ,x y z w      则 3 2 1 0 ,2 1 0 1 x y z w                 即 3 2 3 2 1 0 ,2 2 0 1 x z y w x z y w             ∴ 3 2 1 2 0 3 2 0 2 1 x z x z y w y w           。解得： 1, 2, 2, 3x z y w      。∴A 的逆矩阵为 1 1 2A 2 3       。 4.（2009 江苏）选修 4 - 4：坐标系与参数方程 【答案】解：∵ 2 1 2,x t t    ∴ 2 12 3 yx t t     。∴曲线 C 的普通方程为： 23 6 0x y   。 5.（2010 江苏）选修 4-2：矩 阵与变换 【答案】解：由题设得 0 0 1 0MN 0 1 1 0 1 0 k k                 由 0 0 2 2 0 0 1 0 0 0 1 0 2 2 k k                  ，可知 A1（0，0）、 B1（0，－2）、C1（ k ，－2）。计算得△ABC 面积的面积是 1，△A1B1C1 的面积是| |k ，则由题设知：| | 2 1 2k    。 所以 k 的值为 2 或－2。 6.（2010 江苏）选修 4-4：坐标系与参数方程 【答案】解：∵ 2cos  ，∴ 2 2 cos   。∴圆 2cos  的普通方程为： 2 2 2x y x  ，即 2 2( 1) 1x y   。 直线3 cos 4 sin 0a      的普通方程为：3 4 0x y a   ，又∵圆与直线相切，∴ 2 2 | 3 1 4 0 | 1, 3 4 a      解得： 2a  ，或 8a   。 7.（2011 江苏）选修 4-2：矩阵与变换 【答案】解：设     y x ，∵         12 11 12 112A =     34 23 ，∴由  2A 得,            2 1 34 23 y x ， ∴      234 123 yx yx ，解得 1 2 x y     。∴     2 1 。 8.（2011 江苏）选修 4-4：坐标系与参数方程 【答案】解：由题意知，椭圆的长半轴长为 5a ，短半轴长 3b ，∴ 4c 。 ∴右焦点为  0,4 。将已知直线的参数方程化为普通方程得 022  yx ，∴所求的直线的斜率为 2 1 。 ∴所求的方程为 )4(2 1  xy 即 042  yx 。 9.（2012 江苏）[选修 4 - 2：矩阵与变换] 【答案】解：∵ 1A A = E ，∴   11 A = A 。 ∵ 1 1 3 4 4 1 1 2 2            A ，∴   11 2 3 2 1       A = A 。 ∴矩阵 A 的特征多项式为   22 3= = 3 42 1 f            。令  =0f  ，解得矩阵 A 的特征值 1 2= 1 =4  ， 。 10.（2012 江苏）[选修 4 - 4：坐标系与参数方程] 【答案】解：∵圆C 圆心为直线 3sin 3 2         与极轴的交点， ∴在 3sin 3 2         中令 =0 ，得 1  。 ∴圆C 的圆心坐标为（1，0）。 ∵圆C 经过点  2 4P ， ，∴圆C 的半径为  2 22 1 2 1 2 cos =14PC      。 ∴圆C 经过极点。∴圆 C 的极坐标方程为 =2cos  。 11．（2013 江苏卷 21） 解：设矩阵 A 的逆矩阵为   c a   d b ,则   0 1   2 0   c a   d b =   0 1   1 0 ，即   c a 2   d b 2 =   0 1   1 0 ， 故 a=-1，b=0，c=0，d= 2 1 ∴矩阵 A 的逆矩阵为 A-1=   0 1     2 1 0 ,∴A-1B=   0 1     2 1 0   0 1   6 2 =   0 1   3 2 12.（2013 江苏卷 21）∵直线l 的参数方程为      ty tx 2 1 ∴消去参数 t 后得直线的普通方程为 022  yx ① 同理得曲线 C 的普通方程为 xy 22  ② ①②联立方程组解得它们公共点的坐标为 )2,2( ， )1,2 1(  13．（2014 江苏卷）解： 2 2 2 yA xy      a ， 2 4 yB y      a ，由 A Ba a 得 2 2 2 2 4 y y xy y        ，解得 1 2x   ， 4y  14．（2014 江苏卷）解：直线 : 3l x y  代入抛物线方程 2 4y x 并整理得 2 10 9 0x x   ∴交点 (1,2)A ， (9, 6)B  ，故 2 28 8 8 2AB    15.（2015 江苏卷）【答案】由已知，可得 A =﹣2 ，即 = = ，则 ，即 ， ∴矩阵 A= ，从而矩阵 A 的特征多项式 f（λ）=（λ+2）（λ﹣1），∴矩阵 A 的另一个特征值为 1． 16.（2015 江苏卷）【答案】圆的极坐标方程为ρ2+2 ρsin(θ﹣ )﹣4=0，可得ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣4=0， 化为直角坐标方程为 x2+y2﹣2x+2y﹣4=0，化为标准方程为（x﹣1）2+（y+1）2=6，圆的半径 r= ． 17.（2016 江苏卷）   11 1 12 12 42 2 10 1 0 22 2                       B B ，因此 1 511 2 14 40 2 1 0 10 2                     AB ． 18.（2016 江苏卷）直线 l 方程化为普通方程为 3 3 0x y   ，椭圆 C 方程化为普通方程为 2 2 14 yx   ， 联立得 2 2 3 3 0 14 x y yx       ，解得 1 0 x y    或 1 7 8 3 7 x y       ， 因此 221 8 3 161 07 7 7AB               ． 19.（2017 江苏卷）【答案】（1）AB=   1 0   0 1   0 1   2 0 =   1 0   0 2 …………………………4 分 （2）设 C1 上点 P（x，y）在 AB 变换下得到 P’（x’，y’）…………5 分 则     ' ' y x =AB     y x =   1 0   0 2     y x =     x y2 ………………………………7 分 ∴      xy yx ' 2' 即      '2 1 ' xy yx ………………8 分 代入 C1 得 8 '2x + 8 '2y =1，则 C2：x2+y2=8…………10 分 20.（2017 江苏卷）【答案】 设 p 到直线 l 距离为 d. l：y= 2 1 (x+8)= 2 1 x+4 即 x-2y+8=0………………3 分 ∴d= 22 2 )2(1 82222   ss = 5 2 |s2-2√2s+4|= 5 2 [(s-√2)2+2]………………6 分 ∴当 s= 2 时取到最小值 5 54 .