2014步步高高考数学第一轮复习04两角和与差的正弦余弦正切

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

2014步步高高考数学第一轮复习04两角和与差的正弦余弦正切

‎§4.5 两角和与差的正弦、余弦、正切 ‎2014高考会这样考 1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换;2.利用三角变换讨论三角函数的图象和性质.‎ 复习备考要这样做 1.牢记和差公式、倍角公式,把握公式特征;2.灵活使用(正用、逆用、变形用)两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换,三角变换中角的变换技巧是解题的关键.‎ ‎1. 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β (Cα-β)‎ cos(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_β (Cα+β)‎ sin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_β (Sα-β)‎ sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_β (Sα+β)‎ tan(α-β)= (Tα-β)‎ tan(α+β)= (Tα+β)‎ ‎2. 二倍角公式 sin 2α=2sin_αcos_α;‎ cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;‎ tan 2α=.‎ ‎3. 在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形用等.如Tα±β可变形为 tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan_αtan_β),‎ tan αtan β=1-=-1.‎ ‎4. 函数f(α)=acos α+bsin α(a,b为常数),可以化为f(α)= sin(α+φ)或f(α)=cos(α-φ),其中φ可由a,b的值唯一确定.‎ ‎[难点正本 疑点清源]‎ 三角变换中的“三变”‎ ‎(1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑”.‎ ‎(2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.‎ ‎(3)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手法通常有“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.‎ ‎1. 已知sin(α+β)=,sin(α-β)=-,则的值为_______.‎ 答案  解析 由sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=,‎ sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=-,‎ 得sin αcos β=,cos αsin β=,‎ 所以==.‎ ‎2. 函数f(x)=2sin x(sin x+cos x)的单调增区间为______________________.‎ 答案  (k∈Z)‎ 解析 f(x)=2sin2x+2sin xcos x ‎=2×+sin 2x=sin 2x-cos 2x+1‎ ‎=sin+1,‎ 由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,‎ 得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.‎ 所以所求区间为 (k∈Z).‎ ‎3. (2012·江苏)设α为锐角,若cos=,则 sin的值为________.‎ 答案  解析 ∵α为锐角且cos=,‎ ‎∴sin=.‎ ‎∴sin=sin ‎=sin 2cos -cos 2sin ‎=sincos- ‎=××- ‎=-=.‎ ‎4. (2012·江西)若=,则tan 2α等于 (  )‎ A.- B. C.- D. 答案 B 解析 由=,等式左边分子、分母同除cos α得,=,解得tan α=-3,则tan 2α==.‎ ‎5. (2011·辽宁)设sin(+θ)=,则sin 2θ等于 (  )‎ A.- B.- C. D. 答案 A 解析 sin(+θ)=(sin θ+cos θ)=,‎ 将上式两边平方,得(1+sin 2θ)=,∴sin 2θ=-.‎ 题型一 三角函数式的化简、求值问题 例1 (1)化简:‎ ·;‎ ‎(2)求值:[2sin 50°+sin 10°(1+tan 10°)]·.‎ 思维启迪:切化弦;注意角之间的联系及转化.‎ 解 (1)· ‎=· ‎=· ‎=·=.‎ ‎(2)原式=·sin 80°‎ ‎=×cos 10°‎ ‎=2[sin 50°·cos 10°+sin 10°·cos(60°-10°)]‎ ‎=2sin(50°+10°)=2×=.‎ 探究提高 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则,一看角,二看名,三看式子结构与特征.‎ ‎(2)对于给角求值问题,往往所给角都是非特殊角,解决这类问题的基本思路有 ‎①化为特殊角的三角函数值;‎ ‎②化为正、负相消的项,消去求值;‎ ‎③化分子、分母出现公约数进行约分求值.‎ ‎ 在△ABC中,已知三个内角A,B,C成等差数列,则tan +tan +tan tan 的值为________.‎ 答案  解析 因为三个内角A,B,C成等差数列,且A+B+C=π,所以A+C=,=,tan =,‎ 所以tan +tan +tan tan ‎=tan+tan tan ‎=+tan tan =.‎ 题型二 三角函数的给角求值与给值求角问题 例2 (1)已知0<β<<α<π,且cos=-,sin=,求cos(α+β)的值;‎ ‎(2)已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=,tan β=-,求2α-β的值.‎ 思维启迪:(1)拆分角:=-,利用平方关系分别求各角的正弦、余弦.‎ ‎(2)2α-β=α+(α-β);α=(α-β)+β.‎ 解 (1)∵0<β<<α<π,‎ ‎∴-<-β<,<α-<π,‎ ‎∴cos==,‎ sin==,‎ ‎∴cos =cos ‎=coscos+sinsin ‎=×+×=,‎ ‎∴cos(α+β)=2cos2-1=2×-1=-.‎ ‎(2)∵tan α=tan[(α-β)+β]= ‎==>0,∴0<α<,‎ 又∵tan 2α===>0,‎ ‎∴0<2α<,‎ ‎∴tan(2α-β)===1.‎ ‎∵tan β=-<0,‎ ‎∴<β<π,-π<2α-β<0,∴2α-β=-.‎ 探究提高 (1)注意变角-=,可先求cos 或sin 的值.(2)先由tan α=tan[(α-β)+β],求tan α的值,再求tan 2α的值,这种方法的优点是可确定2α的取值范围.(3)通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,遵照以下原则:①已知正切函数值,选正切函数;②已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范围是,选正、余弦皆可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围为,选正弦较好.‎ ‎(4)解这类问题的一般步骤:‎ ‎①求角的某一个三角函数值;‎ ‎②确定角的范围;‎ ‎③根据角的范围写出所求的角.‎ ‎ 已知cos α=,cos(α-β)=,且0<β<α<,求β.‎ 解 ∵0<β<α<,∴0<α-β<.‎ 又∵cos(α-β)=,cos α=,0<β<α<,‎ ‎∴sin α==,‎ ‎∴sin(α-β)==,‎ ‎∴cos β=cos[α-(α-β)]‎ ‎=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)‎ ‎=×+×=.‎ ‎∵0<β<,∴β=.‎ 题型三 三角变换的简单应用 例3 已知f(x)=sin2x-2sin·sin.‎ ‎(1)若tan α=2,求f(α)的值;‎ ‎(2)若x∈,求f(x)的取值范围.‎ 思维启迪:(1)化简f(x),由tan α=2代入求f(α);(2)化成f(x)=Asin(ωx+φ)+b的形式,求f(x)的取值范围.‎ 解 (1)f(x)=(sin2x+sin xcos x)+2sin·‎ cos ‎=+sin 2x+sin ‎=+(sin 2x-cos 2x)+cos 2x ‎=(sin 2x+cos 2x)+.‎ 由tan α=2,得sin 2α===.‎ cos 2α===-.‎ 所以,f(α)=(sin 2α+cos 2α)+=.‎ ‎(2)由(1)得f(x)=(sin 2x+cos 2x)+ ‎=sin+.‎ 由x∈,得≤2x+≤.‎ ‎∴-≤sin≤1,0≤f(x)≤,‎ 所以f(x)的取值范围是.‎ 探究提高 (1)将f(x)化简是解题的关键,本题中巧妙运用“1”的代换技巧,将sin 2α,cos 2α化为正切tan α,为第(1)问铺平道路.‎ ‎(2)把形如y=asin x+bcos x化为y=sin(x+φ),可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性.‎ ‎ 已知函数f(x)=sin+‎ ‎2sin2 (x∈R).‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)求使函数f(x)取得最大值时x的集合.‎ 解 (1)因为f(x)=sin+1-cos 2 ‎=2[sin-cos]+1‎ ‎=2sin+1=2sin+1,‎ 所以f(x)的最小正周期T==π.‎ ‎(2)当f(x)取得最大值时,sin=1,‎ 此时2x-=2kπ+(k∈Z),即x=kπ+ (k∈Z),‎ 所以所求x的集合为{x|x=kπ+,k∈Z}.‎ 利用三角变换研究三角函数的性质 典例:(12分)(2011·北京)已知函数f(x)=4cos x·‎ sin-1.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.‎ 审题视角 (1)问首先化为形如y=Asin(ωx+φ)的形式,由T=求得;(2)问由x∈求得ωx+φ的范围,从而求得最值.‎ 规范解答 解 (1)因为f(x)=4cos xsin-1‎ ‎=4cos x-1‎ ‎=sin 2x+2cos2x-1=sin 2x+cos 2x ‎=2sin,[4分]‎ 所以f(x)的最小正周期为π.[6分]‎ ‎(2)因为-≤x≤,‎ 所以-≤2x+≤.[8分]‎ 于是,当2x+=,‎ 即x=时,f(x)取得最大值2;[10分]‎ 当2x+=-,即x=-时,f(x)取得最小值-1.[12分]‎ 答题模板 第一步:将f(x)化为asin x+bcos x的形式.‎ 第二步:构造f(x)=(sin x·+‎ ‎ cos x·).‎ 第三步:和角公式逆用f(x)=sin(x+φ) (其中 ‎ φ为辅助角).‎ 第四步:利用f(x)=sin(x+φ)研究三角函数的性质.‎ 第五步:反思回顾,查看关键点、易错点和答题规范.‎ 温馨提醒 (1)在本题的解法中,运用了二倍角的正、余弦公式,还引入了辅助角,技巧性较强.值得强调的是辅助角公式asin α+bcos α=sin(α+φ)(其中tan φ=),或asin α+bcos α= cos(α-φ) (其中tan φ=),在历年高考中使用频率是相当高的,几乎年年使用到、考查到,应特别加以关注.‎ ‎(2)本题的易错点是想不到引入辅助角或引入错误.‎ 方法与技巧 ‎1. 巧用公式变形:‎ 和差角公式变形:tan x±tan y=tan(x±y)·(1∓tan xtan y);‎ 倍角公式变形:降幂公式cos2α=,sin2α=;‎ 配方变形:1±sin α=2,1+cos α=2cos2,1-cos α=2sin2.‎ ‎2. 利用辅助角公式求最值、单调区间、周期.由y=asin α+bcos α=sin(α+φ)(其中tan φ=)有≥|y|.‎ ‎3. 重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式”;变角:对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角;变名:尽可能减少函数名称;变式:对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时,一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等变形.‎ ‎4. 已知和角函数值,求单角或和角的三角函数值的技巧:把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减,观察是不是常数角,只要是常数角,就可以从此入手,给这个等式两边求某一函数值,可使所求的复杂问题简单化.‎ ‎5. 熟悉三角公式的整体结构,灵活变换.本节要重视公式的推导,既要熟悉三角公式的代数结构,更要掌握公式中角和函数名称的特征,要体会公式间的联系,掌握常见的公式变形,倍角公式应用是重点,涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形.‎ 失误与防范 ‎1.运用公式时要注意审查公式成立的条件,要注意和、差、倍角的相对性,要注意升次、降次的灵活运用,要注意“‎1”‎的各种变通.‎ ‎2.在(0,π)范围内,sin(α+β)=所对应的角α+β不是唯一的.‎ ‎3.在三角求值时,往往要估计角的范围后再求值.‎ A组 专项基础训练 ‎(时间:35分钟,满分:57分)‎ 一、选择题(每小题5分,共20分)‎ ‎1. (2012·江西)若tan θ+=4,则sin 2θ等于 (  )‎ A. B. C. D. 答案 D 解析 由tan θ+=+==4,‎ 得sin θcos θ=,‎ 则sin 2θ=2sin θcos θ=2×=.‎ ‎2. (2012·大纲全国)已知α为第二象限角,sin α+cos α=,则cos 2α等于 (  )‎ A.- B.- C. D. 答案 A 解析 方法一 ∵sin α+cos α=,∴(sin α+cos α)2=,∴2sin αcos α=-,即sin 2α=-.‎ 又∵α为第二象限角且sin α+cos α=>0,‎ ‎∴2kπ+<α<2kπ+π(k∈Z),‎ ‎∴4kπ+π<2α<4kπ+π(k∈Z),‎ ‎∴2α为第三象限角,‎ ‎∴cos 2α=-=-.‎ 方法二 由sin α+cos α=,‎ 两边平方得1+2sin αcos α=,‎ ‎∴2sin αcos α=-.‎ ‎∵α为第二象限角,∴sin α>0,cos α<0,‎ ‎∴sin α-cos α= ‎==.‎ 由得 ‎∴cos 2α=2cos2α-1=-.‎ ‎3. 已知α,β都是锐角,若sin α=,sin β=, 则α+β等于 (  )‎ A. B. C.和 D.-和- 答案 A 解析 由于α,β都为锐角,所以cos α==,‎ cos β==.‎ 所以cos(α+β)=cos α·cos β-sin α·sin β=,‎ 所以α+β=.‎ ‎4. (2011·福建)若α∈,且sin2α+cos 2α=,则tan α的值等于 (  )‎ A. B. C. D. 答案 D 解析 ∵α∈,且sin2α+cos 2α=,‎ ‎∴sin2α+cos2α-sin2α=,∴cos2α=,‎ ‎∴cos α=或-(舍去),‎ ‎∴α=,∴tan α=.‎ 二、填空题(每小题5分,共15分)‎ ‎5. cos275°+cos215°+cos 75°cos 15°的值为________.‎ 答案  解析 由诱导公式及倍角公式,‎ 得cos275°+cos215°+cos 75°cos 15°‎ ‎=sin215°+cos215°+sin 15°cos 15°‎ ‎=1+sin 30°=.‎ ‎6. =________.‎ 答案 -4 解析 原式= ‎= ‎== ‎==-4.‎ ‎7. sin α=,cos β=,其中α,β∈,则α+β=____________.‎ 答案  解析 ∵α、β∈,∴α+β∈(0,π),‎ ‎∴cos α=,sin β=,‎ ‎∴cos(α+β)=×-×=0,∴α+β=.‎ 三、解答题(共22分)‎ ‎8. (10分)已知-=-2tan α,试确定使等式成立的α的取值集合.‎ 解 因为- ‎=- ‎=- ‎= ‎=,‎ 所以=-2tan α=-.‎ 所以sin α=0或|cos α|=-cos α>0.‎ 故α的取值集合为{α|α=kπ或2kπ+<α<2kπ+π或2kπ+π<α<2kπ+,k∈Z}.‎ ‎9. (12分)已知α∈,且sin +cos =.‎ ‎(1)求cos α的值;‎ ‎(2)若sin(α-β)=-,β∈,求cos β的值.‎ 解 (1)因为sin +cos =,‎ 两边同时平方,得sin α=.‎ 又<α<π,所以cos α=-.‎ ‎(2)因为<α<π,<β<π,‎ 所以-π<-β<-,故-<α-β<.‎ 又sin(α-β)=-,得cos(α-β)=.‎ cos β=cos[α-(α-β)]‎ ‎=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)‎ ‎=-×+×=-.‎ B组 专项能力提升 ‎(时间:25分钟,满分:43分)‎ 一、选择题(每小题5分,共15分)‎ ‎1. (2012·山东)若θ∈,sin 2θ=,则sin θ等于 (  )‎ A. B. C. D. 答案 D 解析 ∵θ∈,∴2θ∈.‎ ‎∴cos 2θ=-=-,‎ ‎∴sin θ==.‎ ‎2. 已知tan(α+β)=,tan=,那么tan等于 (  )‎ A. B. C. D. 答案 C 解析 因为α++β-=α+β,‎ 所以α+=(α+β)-,所以 tan=tan ‎==.‎ ‎3. 当-≤x≤时,函数f(x)=sin x+cos x的 (  )‎ A.最大值是1,最小值是-1‎ B.最大值是1,最小值是- C.最大值是2,最小值是-2‎ D.最大值是2,最小值是-1‎ 答案 D 解析 f(x)=sin x+cos x ‎=2=2sin,‎ 由-≤x≤,得-≤x+≤.‎ 所以当x+=时,f(x)有最大值2,‎ 当x+=-时,f(x)有最小值-1.‎ 二、填空题(每小题5分,共15分)‎ ‎4. 已知锐角α满足cos 2α=cos,则sin 2α=________.‎ 答案  解析 ∵α∈,∴2α∈(0,π),-α∈.‎ 又cos 2α=cos,‎ ‎∴2α=-α或2α+-α=0,‎ ‎∴α=或α=-(舍),∴sin 2α=sin =.‎ ‎5. 已知cos=,α∈,则=________.‎ 答案  解析 ∵cos=(cos α+sin α)=,‎ ‎∴sin α+cos α=,‎ ‎1+2sin αcos α=,2sin αcos α=,‎ ‎1-2sin αcos α=,cos α-sin α=,‎ = ‎=(cos α-sin α)=.‎ ‎6. 设x∈,则函数y=的最小值为________.‎ 答案  解析 因为y==,‎ 所以令k=.又x∈,‎ 所以k就是单位圆x2+y2=1的左半圆上的动点P(-sin 2x,cos 2x)与定点Q(0,2)所成直线的斜率.又kmin=tan 60°=,所以函数y=的最小值为.‎ 三、解答题 ‎7. (13分)(2012·广东)已知函数f(x)=2cos(其中ω>0,x∈R)的最小正周期为10π.‎ ‎(1)求ω的值;‎ ‎(2)设α,β∈,f=-,f ‎=,求cos(α+β)的值.‎ 解 (1)由T==10π得ω=.‎ ‎(2)由得 整理得 ∵α,β∈,‎ ‎∴cos α==,sin β==.‎ ‎∴cos(α+β)=cos αcosβ -sin αsin β ‎=×-×=-.‎
查看更多

相关文章

您可能关注的文档