上海中考二模数学压轴题精选

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24. （本题 12 分）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点 O 为圆心，2 为半径画圆，P 是⊙O 上一动点且在第一象限内，过点 P 作⊙O 的切线，与 x、y 轴分别交于点 A、B。 （1） 求证：△OBP 与△OPA 相似； （2） 当点 P 为 AB 中点时，求出 P 点坐标； （3） 在⊙O 上是否存在一点 Q，使得以 Q、O、A、P 为顶点的四边形是平行四边形。若 存在，试求出 Q 点坐标；若不存在，请说明理由。 25. （本题 14 分）如图，抛物线 )0(2  acbxaxy 交 x 轴于 A、B 两点（A 点在 B 点 左侧），交 y 轴于点 C。已知 B（8，0）， 2 1tan ABC ，△ABC 的面积为 8. （1） 求抛物线的解析式； （2） 若动直线 EF（EF//x 轴）从点 C 开始，以每秒 1 个长度单位的速度沿 y 轴负方向平 移，且交 y 轴、线段 BC 于 E、F 两点，动点 P 同时从点 B 出发，在线段 OB 上以每 秒 2 个单位的速度向原点 O 运动。联结 FP，设运动时间 t 秒。当 t 为何值时， OP  EF OPEF 的值最小，求出最大值； （3） 在满足（2）的条件下，是否存在 t 的值，使以 P、B、F 为顶点的三角形与△ABC 相似。若存在，试求出 t 的值；若不存在，请说明理由。 x y O A BC D 第 24 题图 xy 3 2 24．（本题满分 12 分，每小题各 4 分） 已知，矩形 OABC 在平面直角坐标系中位置如图所示，A 的坐标 )0,4( ，C 的坐标 )20( ， ， 直线 xy 3 2 与边 BC 相交于点 D， (1)求点 D 的坐标； (2)抛物线 cbxaxy  2 经过点 A、D、O，求此抛物线的表达式； (3)在这个抛物线上是否存在点 M ，使O 、 D 、 A 、 M 为 顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点 M 的坐标； 若不存在，请说明理由。 25．（本题满分 14 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 5 分，第（3）小题 5 分） 已知：在 Rt ABC△ 中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，过点 A 作直线 MN⊥AC，点 E 是 直线 MN 上的一个动点， （1）如图 1，如果点 E 是射线 AM 上的一个动点(不与点 A 重合)，联结 CE 交 AB 于点 P．若 AE 为 x ，AP 为 y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域； (2) 在射线 AM 上是否存在一点 E，使以点 E、A、P 组成的三角形与△ABC 相似，若存在 求 AE 的长，若不存在，请说明理由； （3）如图 2，过点 B 作 BD⊥MN，垂足为 D ，以点 C 为圆心，若以 AC 为半径的⊙C 与以 ED 为半径的⊙E 相切，求⊙E 的半径． A B C P E M 第 25 题图 1 D A B C M 第 25 题图 2 N y O N M PB A x y O x 24.（本题 12 分）已知点 P 是函数 xy 2 1 （x>0）图像上一点，PA⊥x 轴于点 A，交函数 xy 1 （x>0）图像于点 M, PB⊥y 轴于点 B，交函数 xy 1 （x>0）图像于点 N.（点 M、N 不重 合） （1）当点 P 的横坐标为 2 时，求△PMN 的面积； （2）证明：MN‖AB；（如图 7） （3）试问：△OMN 能否为直角三角形？若能，请求出此时点 P 的坐标；若不能，请 说明理由. （图 7） （备用图） P O NM P O N M F E D CB A 25、（本题 14 分）如图，一把“T 型”尺（图 8），其中 MN⊥OP，将这把“T 型”尺放置于 矩形 ABCD 中（其中 AB=4,AD=5），使边 OP 始终经过点 A，且保持 OA=AB，“T 型”尺在 绕点 A 转动的过程中，直线 MN 交边 BC、CD 于 E、F 两点.(图 9) （1）试问线段 BE 与 OE 的长度关系如何？并说明理由； （2）当△CEF 是等腰直角三角形时,求线段 BE 的长； （3）设 BE=x,CF=y，试求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数定义域. (图 8) （图 9） 24．（本题满分 12 分，每小题满分各 6 分） 在直角坐标平面内，O 为原点，二次函数 2y x bx c    的图像经过 A（-1，0）和点 B（0，3），顶点为 P。 （1）求二次函数的解析式及点 P 的坐标； （2）如果点 Q 是 x 轴上一点，以点 A、P、Q 为顶点的三角形是直角三角形， 求点 Q 的坐标。 1 2 3 4 5 6 70-1-2-3-4 x y 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 A B 图 7 25．（本题满分 14 分，第（1）小题满分 4 分，第（2）小题满分 4 分，第（3）小题满分 6 分） 如图 8，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=BC，D 是 AB 边上一点，E 是在 AC 边上的一个动 点（与点 A、C 不重合），DF⊥DE，DF 与射线 BC 相交于点 F。 （1）如图 9，如果点 D 是边 AB 的中点，求证：DE=DF； （2）如果 AD∶DB=m，求 DE∶DF 的值； （3）如果 AC=BC=6，AD∶DB=1∶2，设 AE=x，BF=y， ①求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域； ②以 CE 为直径的圆与直线 AB 是否可相切，若可能，求出此时 x 的值，若不可能，请 说明理由。 C A BD E F 图 8 C A BD E F 图 9 C A BD 备用图 2 C A BD 备用图 1 24．（本题满分 12 分，第（1）小题 6 分，第（2）小题 6 分） 如图，二次函数图像的顶点为坐标原点 O、且经过点 A（3，3），一次函数的图像经过 点 A 和点 B（6，0）． （1）求二次函数与一次函数的解析式； （2）如果一次函数图像与 y 相交于点 C， 点 D 在线段 AC 上，与 y 轴平行的直 线 DE 与二次函数图像相交于点 E， ∠CDO=∠OED，求点 D 的坐标． 25．（本题满分 14 分，第（1）小题 6 分，第（2）小题 2 分，第（3）小题 6 分） 在半径为 4 的⊙O 中，点 C 是以 AB 为直径的半圆的中点，OD⊥AC，垂足为 D，点 E 是射线 AB 上的任意一点，DF//AB，DF 与 CE 相交于点 F，设 EF= x ，DF= y ． （1）如图 1，当点 E 在射线 OB 上时，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数定义域； （2）如图 2，当点 F 在⊙O 上时，求线 段 DF 的长； （3）如果以点 E 为圆心、EF 为半径的圆 与⊙O 相切，求线段 DF 的长． A B E F C D O A B O x y （第 24 题图） C B D B E B （第 25 题图 1） A B E F C D O （第 25 题图 2） 24．（本题满分 12 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 21 2 y x bx c    经过点 (1,3)A ， (0,1)B ． （1）求抛物线的表达式及其顶点坐标； （2）过点 A 作 x 轴的平行线交抛物线于另一点 C， ①求△ABC 的面积； ②在 y 轴上取一点 P，使△ABP 与△ABC 相似， 求满足条件的所有 P 点坐标． x y 0 25．（本题满分 14 分） 数学课上，张老师出示了问题 1： （1）经过思考，小明认为可以通过添加辅助线——过点 O 作 OM⊥BC，垂足为 M 求解．你 认为这个想法可行吗？请写出问题 1 的答案及相应的推导过程； （2）如果将问题 1 中的条件“四边形 ABCD 是正方形，BC =1”改为“四边形 ABCD 是平 行四边形，BC=3，CD=2，”其余条件不变（如图 25-2），请直接写出条件改变后的函数解析 式； （3）如果将问题 1 中的条件“四边形 ABCD 是正方形，BC =1”进一步改为：“四边形 ABCD 是梯形，AD∥BC，BC a ，CD b ， AD c (其中 a ，b ，c 为常量)”其余条件不变（如 图 25-3），请你写出条件再次改变后 y 关于 x 的函数解析式以及相应的推导过程． 如图 25-1，四边形 ABCD 是正方形， BC =1，对角线交点记作 O，点 E 是边 BC 延长线上一点．联结 OE 交 CD 边于 F，设 CE x ， CF y ，求 y 关于 x 的函 数解析式及其定义域． 24 题图 F O B D A C E 图 25-1 题图 F O B A C D E图 25-2 F O B C A D E图 25-3 24．（本题共 3 小题，第（1）小题 3 分，第（2）小题 4 分，第（3）小题 5 分，满分 12 分） 如图，已知抛物线 2 2 1y x x m     与 x 轴相交于 A、B 两点，与 y 轴相交于点 C，其 中点 C 的坐标是（0，3），顶点为点 D，联结 CD，抛物线的 对称轴与 x 轴相交于点 E． （1）求 m 的值； （2）求∠CDE 的度数； （3）在抛物线对称轴的右侧部分上是否存在一点 P，使得 △PDC 是等腰三角形？如果存在，求出符合条件的点 P 的坐 标；如果不存在，请说明理由． 25．（本题共 3 小题，第（1）小题 4 分，第（2）、（3）小题每小题 5 分，满分 14 分） 如图，在△ABC 中，AB = BC = 5，AC = 6，BO⊥AC，垂足为点 O．过点 A 作射线 AE // BC，点 P 是边 BC 上任意一点，联结 PO 并延长与射线 AE 相交于点 Q，设 B、P 两点间的 距离为 x． （1）如图 1，如果四边形 ABPQ 是平行四边形，求 x 的值； （2）过点 Q 作直线 BC 的垂线，垂足为点 R，当 x 为何值时，△PQR∽△CBO？ （3）设△AOQ 的面积为 y，求 y 与 x 的函数关系式，并写出函数的定义域． y O x C A B D （第 24 题图） E C O B A E （备用图） C O PB QA E （第 25 题图 1） C O B A E （第 25 题图） Q P 24．（本题满分 12 分，其中每小题各 4 分） 如图，已知在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（-2，0），点 B 是点 A 关于原点的对 称点，P 是函数 )0(2  xxy 图像上的一点，且△ABP 是 直角三角形． （1）求点 P 的坐标； （2）如果二次函数的图像经过 A、B、P 三点，求这个 二次函数的解析式； （3）如果第（2）小题中求得的二次函数图像与 y 轴交 于点 C，过该函数图像上的点 C、点 P 的直线与 x 轴交于 点 D，试比较∠BPD 与∠BAP 的大小，并说明理由． 25．（本题满分 14 分，其中第（1）小题 3 分，第（2）小题 5 分，第（3）小题 6 分） 如图，已知在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，P 是边 BC 延长线上的一点，联接 AP 交 边 CD 于点 E，把射线 AP 沿直线 AD 翻折，交射线 CD 于点 Q，设 CP=x，DQ=y． （1）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域． （2）当点 P 运动时，△APQ 的面积是否会发生变化？ 如果发生变化，请求出△APQ 的面积 S 关于 x 的函数解 析式，并写出定义域；如果不发生变化，请说明理由． （3）当以 4 为半径的⊙Q 与直线 AP 相切，且⊙A 与 ⊙Q 也相切时，求⊙A 的半径． A B C Q D （第 25 题图） P E A O y x （第 24 题图） A DN PE F MB C 24. 如图，在平面直角坐标系中，点 O 为原点，已知点 A 的坐标为（2，2），点 B、C 在 x 轴 上，BC=8，AB=AC，直线 AC 与 y 轴相交于点 D． 1）求点 C、D 的坐标； 2）求图象经过 B、D、A 三点的二次函数解析式 及它的顶点坐标． 25．如图，已知 Sin∠ABC= 1 3 ，⊙O 的半径为 2， 圆心 O 在射线 BC 上，⊙O 与射线 BA 相交于 E、F 两点，EF= 2 3 ， （1） 求 BO 的长； （2） 点 P 在射线 BC 上，以点 P 为圆心作圆，使得⊙P 同时与⊙O 和射线 BA 相切， 求所有满足条件的⊙P 的半径. 23．如图，在梯形 ABCD 中，AD//BC， E、F 分别是 AB、DC 边的中点，AB=4，∠B= 60 ． （1）求点 E 到 BC 边的距离； （2）点 P 为线段 EF 上的一个动点，过 P 作 PM⊥BC， 垂足为 M，过点 M 作 MN//AB 交线段 AD 于点 N， 联结 PN．探究：当点 P 在线段 EF 上运动时， △PMN 的面积是否发生变化？若不变，请求出 △PMN 的面积；若变化，请说明理由． D C F A B O 第 25 题 E G y OB C D x A 第 24 题 O A B C y x 24．如图，直线 OA 与反比例函数的图像交于点 A(3，3)，向下平移直线 OA，与反比例函 数的图像交于点 B(6，m)与 y 轴交于点 C． （1）求直线 BC 的解析式； （2）求经过 A、B、C 三点的二次函数的解析式； （3）设经过 A、B、C 三点的二次函数图像的顶点为 D， 对称轴与 x 轴的交点为 E． 问：在二次函数的对称轴上是否存在一点 P，使以 O、E、P 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在， 请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 25．如图，已知△ABC 中，AB=AC= 5 ，BC=4，点 O 在 BC 边上运动，以 O 为圆心，OA 为半径的圆与边 AB 交于点 D（点 A 除外），设 OB x ，AD y ． （1）求 ABCsin 的值； （2）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当点 O 在 BC 边上运动时，⊙O 是否可能与以 C 为圆心， 4 1 BC 长为半径的⊙C 相 切？如果可能，请求出两圆相切时 x 的值；如果不可能，请说明理由． CO D B A 24．（本题满分 12 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 3 分，第（2）小题 5 分） 如图，在平面直角坐标系中，直线 34 3  xy 分别与 x 轴、y 轴交于点 A 和点 B． 二次函数 caxaxy  42 的图象经过点 B 和点 C（-1，0），顶点为 P. （1）求这个二次函数的解析式，并求出 P 点坐标； （2）若点 D 在二次函数图象的对称轴上，且 AD∥BP，求 PD 的长； （3）在（2）的条件下，如果以 PD 为直径的圆与圆 O 相切，求圆 O 的半径． OC B A y x （第 24 题图） （第 25 题图） 25．（本题满分 14 分，第（1）小题①4 分，第（1）小题②5 分，第（2）小题 5 分） 如图，正方形 ABCD 中， AB=1，点 P 是射线 DA 上的一动点， DE⊥CP,垂足为 E， EF⊥BE 与射线 DC 交于点 F． （1）若点 P 在边 DA 上（与点 D、点 A 不重合）． ①求证：△DEF∽△CEB； ②设 AP=x，DF=y，求 y 与 x 的函数关系式，并写出函数定义域； （2）当 EFCBEC SS   4 时，求 AP 的长． 24．（本题满分 12 分，第（1）、（2）、（3）题各 4 分） 已知：如图，在平面直角坐标系中，点 B 在 x 轴上，以 3 为半径的⊙B 与 y 轴相切， 直线l 过点  2, 0A  ,且和⊙B 相切，与 y 轴相交于点 C． （1）求直线l 的解析式； （2）若抛物线 2 ( 0)y ax bx c a    经过点O 和Ｂ，顶点在⊙B 上，求抛物线的解析式； (3) 若点 E 在直线l 上，且以 A 为圆心，AE 为半径的圆与⊙B 相切，求点 E 的坐标． A B CD A B CD E F P 25．（本题满分 14 分，第（1）题 3 分、第（2）题 4 分、第（3）题 7 分） 已知如图，在等腰梯形 ABCD 中， AD∥BC，AB=CD，AD=3，BC=9， 3 4tan ABC ， 直线 MN 是梯形的对称轴，点 P 是线段 MN 上一个动点（不与 M、N 重合），射线 BP 交线 段 CD 于点 E，过点 C 作 CF∥AB 交射线 BP 于点 F． （1） 求证： 2PC PE PF  ； （2） 设 PN x ，CE y ，试建立 y 和 x 之间的函数关系式，并求出定义域； （3） 联结 PD，在点 P 运动过程中，如果 EFC 和 PDC 相似，求出 PN 的长． 24．已知直线 1y kx  与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，与抛物线 2y ax x c   交于 点 A 和点 C 1 5( , )2 4 ，抛物线的顶点为 D。 （1）求直线和抛物线的解析式； （2）求 ABD 的面积。 P E F N M D C B A x y O O D xC A. y B （ 图 四 ） 25．（本题满分 14 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分，第（3）小题 4 分） 在等腰梯形 ABCD 中，AD//BC，AD=3，AB=CD=4，BC=5，∠B 的平分线交 DC 于点 E，交 AD 的延长线于点 F。 （1）如图（1），若∠C 的平分线交 BE 于点 G，写出图中所有的相似三角形（不必证明）； （2）在（1）的条件下求 BG 的长； （3）若点 P 为 BE 上动点，以点 P 为圆心，BP 为半径的⊙P 与线段 BC 交于点 Q（如图（2））， 请直接写出当 BP 取什么范围内值时，①点 A 在⊙P 内；②点 A 在⊙P 内而点 E 在⊙P 外。 22．（本题满分 10 分，每小题满分各 5 分） 已知：如图四，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点， 以 y 轴负半轴上一点 A 为圆心，5 为半径作圆 A，交 x 轴于点 B、点 C，交 y 轴于点 D、点 E，tan∠DBO＝ 2 1 ． 求：（1）点 D 的坐标； （2）直线 CD 的函数解析式． A B C D E F G 图（1） DA B C F E P Q 图（2） B CO y A x D （ 图 六 ） 23．（本题满分 12 分，每小题满分各 6 分） 已知：如图五，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝DC， 点 E 为边 BC 上一点，且 AE＝DC． （1）求证：四边形 AECD 是平行四边形； （2）当∠B＝2∠DCA 时，求证：四边形 AECD 是菱形． 24．（本题满分 12 分，第（1）小题满分 3 分，第（2）小题满分 4 分，第（3）小题满分 5 分） 已知：如图六，抛物线的顶点为点 D，与 y 轴相交于点 A，直线 y＝ax＋3 与 y 轴也交 于点 A，矩形 ABCO 的顶点 B 在此抛物线上，矩形面积为 12． （1）求该抛物线的对称轴； （2）⊙P 是经过 A、B 两点的一个动圆，当⊙P 与 y 轴 相交，且在 y 轴上两交点的距离为 4 时，求圆心 P 的坐标； （3）若线段 DO 与 AB 交于点 E，以点 D、A、E 为顶点 的三角形是否有可能与以点 D、O、A 为顶点的三角形相似， 如果有可能，请求出点 D 坐标及抛物线解析式；如果不可能， 请说明理由． A B C D E （ 图 五 ） -5 5 10 15 20 25 14 12 10 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 y x O B C A （ 图 七 ） 25．（本题满分 14 分，第(1)小题满分 5 分，第(2)小题满分 4 分，第(3)小题满分 5 分） 如图七，在直角坐标平面内有点 A(6, 0)，B(0, 8)，C(-4, 0)，点 M、N 分别为线段 AC 和 射线 AB 上的动点，点 M 以 2 个单位长度/秒的速度自 C 向 A 方向作匀速运动，点 N 以 5 个 单位长度/秒的速度自 A 向 B 方向作匀速运动，MN 交 OB 于点 P． (1)求证：MN∶NP 为定值； (2)若△BNP 与△MNA 相似，求 CM 的长； (3)若△BNP 是等腰三角形，求 CM 的长．