【数学】2018届一轮复习北师大版第三章三角函数解三角形第五节函数y＝Asinωx＋φ的图象及三角函数模型的简单应用教案

【数学】2018届一轮复习北师大版第三章三角函数解三角形第五节函数y＝Asinωx＋φ的图象及三角函数模型的简单应用教案

第五节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用 ‎☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆‎ 考纲要求 真题举例 命题角度 ‎1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响；‎ ‎2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题。‎ ‎2016，全国卷Ⅰ，12,5分(三角函数图象对称性、单调性)‎ ‎2016，全国卷Ⅱ，7,5分(三角函数图象平移)‎ ‎2016，全国卷Ⅲ，14,5分(三角函数图象平移)‎ ‎2015，全国卷Ⅰ，8,5分(三角函数的图象与性质)‎ ‎1.主要考查正弦型函数的图象的五点法画图、图象之间的变换、由图象求解析式以及利用正弦型函数解决实际问题等；‎ ‎2.题型多种多样，属于中档题。‎ 微知识　小题练 自|主|排|查 ‎1．用五点画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图 用五点画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示。‎ x ‎－ ‎－＋ － ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π y＝Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ A ‎0‎ ‎－A ‎0‎ ‎2.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤如下 ‎　‎ ‎3．简谐振动y＝Asin(ωx＋φ)中的有关物理量 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 微点提醒 ‎1．由y＝sin(ωx)到y＝sin(ωx＋φ)的变换：向左平移(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度。‎ ‎2．平移前后两个三角函数的名称如果不一致，应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值。‎ 小|题|快|练 一 、走进教材 ‎1．(必修4P‎70A组T16改编)函数y＝sin在区间上的简图是(　　)‎ ‎【解析】　当x＝0时，y＝sin＝－，排除B，D，当x＝时，y＝0。排除C。故选A。‎ ‎【答案】　A ‎2．(必修4P‎58A组T4改编)电流i(单位：A)随时间t(单位：s)变化的函数关系是i＝5sin，t∈[0，＋∞)。则电流i变化的初相、周期分别是________。‎ ‎【解析】　由初相和周期的定义，得电流i变化的初相是，周期T＝＝。‎ ‎【答案】　， 二、双基查验 ‎1．y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　)‎ A．2，，－　　　　　 B．2，，－ C．2，，－ D．2，，－ ‎【解析】　由振幅、频率和初相的定义可知，函数y＝2sin 的振幅为2，周期为π，频率为，初相为－。‎ ‎【答案】　A ‎2．(2016·四川高考)为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点(　　)‎ A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 ‎【解析】　因为y＝sin＝sin，所以只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度即可。故选D。‎ ‎【答案】　D ‎3．将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度后得到的函数图象的对称轴是(　　)‎ A．x＝＋，k∈Z B．x＝＋，k∈Z C．x＝－，k∈Z D．x＝kπ－，k∈Z ‎【解析】　y＝sin的图象向右平移个单位长度，得y＝sin＝sin。‎ 令2x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z。故选B。‎ ‎【答案】　B ‎4．(2016·江苏高考)定义在区间[0,3π]上的函数y＝sin2x的图象与y＝cosx的图象的交点个数是______。‎ ‎【解析】　由sin2x＝cosx可得cosx＝0或sinx＝，又x∈[0,3π]，则x＝，，或x＝，，，，故所求交点个数是7。‎ ‎【答案】　7‎ ‎5．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝__________。‎ ‎【解析】　由图可知，＝－，即T＝。‎ 所以＝，故ω＝。‎ ‎【答案】　 微考点　大课堂 考点一 ‎ 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象画法及变换 ‎【典例1】　已知函数y＝2sin。‎ ‎(1)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；‎ ‎(2)说明y＝2sin的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变换而得到。‎ ‎【解析】　(1)令X＝2x＋，‎ 则y＝2sin＝2sinX。‎ 列表如下：‎ x ‎－ X ‎0‎ π ‎2π y＝sinX ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎－1‎ ‎0‎ y＝2sin ‎0‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎－2‎ ‎0‎ 描点画出图象，如图所示：‎ ‎(2)解法一：把y＝sinx的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y＝sin的图象；‎ 再把y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象；最后把y＝sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin的图象。‎ 解法二：将y＝sinx的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin2x的图象；‎ 再将y＝sin2x的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin＝sin的图象；‎ 再将y＝sin的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，即得到y＝2sin的图象。‎ ‎【答案】　见解析 反思归纳　1.五点法作简图：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x ‎，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象。‎ ‎2．图象变换：由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”。‎ ‎【变式训练】　(1)要得到函数y＝cos的图象，可由函数y＝sin2x(　　)‎ A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位 C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位 ‎(2)将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sinx的图象，则f＝________。‎ ‎【解析】　(1)因为y＝cos＝cos＝sin＝sin＝sin2，所以要得到函数y＝cos的图象，可将函数y＝sin2x的图象向左平移个长度单位。故选A。‎ ‎(2)将函数y＝sinx的图象向左平移个单位得y＝sin的图象，再把图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，得y＝sin的图象，即f(x)＝sin，‎ 所以f＝sin＝sin＝。‎ ‎【答案】　(1)A　(2) 考点二 ‎ 求函数y＝Asin(ωx＋φ)的表达式……母题发散 ‎【典例2】　已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象的一部分如图所示：‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)求f(x)的单调递增区间。‎ ‎【解析】　(1)由图象可知，函数的最大值M＝3，最小值m＝－1，‎ 则A＝＝2，b＝＝1。‎ 又T＝2＝π，‎ ω＝＝＝2，‎ 所以f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1。‎ 将x＝，y＝3代入上式，得sin＝1，‎ 所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z。‎ 因为|φ|<，所以φ＝，‎ 所以f(x)＝2sin＋1。‎ ‎(2)由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得 kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，‎ 所以函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z)。‎ ‎【答案】　(1)f(x)＝2sin＋1‎ ‎(2)(k∈Z)‎ ‎【母题变式】　对于本典例，求f(x)的对称中心。‎ ‎【解析】　由例题解析知，f(x)＝2sin2x＋＋1，令2x＋＝kπ，k∈Z，得x＝－，k∈Z，所以f(x)的对称中心是，k∈Z。‎ ‎【答案】　，k∈Z 反思归纳　确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法：‎ ‎(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，‎ 则A＝，b＝。‎ ‎(2)求ω，确定函数的最小正周期T，则可得ω＝。‎ ‎(3)求φ，常用的方法有：‎ ‎①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)。‎ ‎②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口。具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”为ωx＋φ＝2π。‎ ‎【拓展变式】　将函数f(x)＝sin(2x＋θ)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P，则φ的值可以是(　　)‎ A.　　　　　　　　 B. C. D. ‎【解析】　∵P在f(x)的图象上，∴f(0)＝sinθ＝。‎ ‎∵θ∈，∴θ＝，‎ ‎∴f(x)＝sin。∴g(x)＝sin。‎ ‎∵g(0)＝，∴sin＝。‎ 验证φ＝π时，‎ sin＝sin＝sin＝成立。故选B。‎ ‎【答案】　B 考点三 ‎ 函数y＝Asin(ωx＋φ)的应用…………多维探究 角度一：三角函数模型的实际应用 ‎【典例3】　(2015·陕西高考)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k。据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　)‎ A．5 B．6‎ C．8 D．10‎ ‎【解析】　由题图可知－3＋k＝2，k＝5，故y＝3sin＋5，所以ymax＝3＋5＝8。故选C。‎ ‎【答案】　C 角度二：函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质应用 ‎【典例4】　已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π。‎ ‎(1)求ω和φ的值；‎ ‎(2)当x∈时，求函数y＝f(x)的最大值和最小值。‎ ‎【解析】　(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2。‎ 又因为f(x)的图象关于直线x＝对称，‎ 所以2·＋φ＝kπ＋，k∈Z，‎ 由－≤φ<得k＝0，‎ 所以φ＝－＝－。‎ 综上，ω＝2，φ＝－。‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝sin，‎ 当x∈时，－≤2x－≤，‎ ‎∴当2x－＝，即x＝时，f(x)最大＝；‎ 当2x－＝－，即x＝0时，f(x)最小＝－。‎ ‎【答案】　(1)ω＝2，φ＝－ ‎(2)最大值为，最小值为－ 反思归纳　(1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型再利用三角函数的有关知识解决问题。‎ ‎(2)三角函数图象和性质的应用：‎ 先将y＝f(x)化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题。‎ ‎【变式训练】　(1)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为‎28 ℃‎，12月份的月平均气温最低，为‎18 ℃‎，则10月份的平均气温值为________℃。‎ ‎(2)(2017·呼伦贝尔模拟)将函数f(x)＝sin的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，若关于x的方程g(x)＋k＝0在区间上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围。‎ ‎【解析】　(1)依题意知，a＝＝23，A＝＝5，‎ ‎∴y＝23＋5cos，‎ 当x＝10时，y＝23＋5cos＝20.5‎ ‎(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到y＝sin 的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin的图象。所以g(x)＝sin。令2x－＝t，因为0≤x≤，所以－≤t≤。‎ g(x)＋k＝0在区间上有且只有一个实数解，即函数g(x)＝sint与y＝－k在区间上有且只有一个交点，如图，‎ 由正弦函数的图象可知－≤－k<或－k＝1。‎ 所以－0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f的值是(　　)‎ A．－ B. C．1 D. 解析　由题意可知该函数的周期为，‎ ‎∴＝，ω＝2，f(x)＝tan2x，‎ ‎∴f＝tan＝。故选D。‎ 答案　D ‎3．方程sinπx＝x的解的个数是(　　)‎ A．5 B．6‎ C．7 D．8‎ 解析　如图所示，在x≥0时，有4个交点，‎ ‎∴方程sinπx＝x的解有7个。故选C。‎ 答案　C ‎4．(2016·泰安模拟)若y＝Asin(ωx＋θ)(A>0，ω>0，|θ|<)的图象如图所示，则此函数的解析式为______________。‎ 解析　由题图知周期T＝π－＝π，‎ ‎∴ω＝＝2，且A＝2。∴y＝2sin(2x＋θ)。‎ 把x＝0，y＝1代入上式得2sinθ＝1，‎ 即sinθ＝。‎ 又|θ|<，∴θ＝。‎ 即y＝2sin。‎ 答案　y＝2sin ‎5．若函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移个单位后，与函数y＝sin的图象重合，则φ＝________。‎ 解析　将y＝cos(2x＋φ)的图象向右平移个单位后得到y＝cos的图象，化简得y＝－cos(2x＋φ)，又可变形为y＝sin。由题意可知φ－＝＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝＋2kπ(k∈Z)，结合－π≤φ<π知φ＝。‎ 答案