高中数学推理与证明

高中数学推理与证明

推理与证明 要点 1：合情推理 例 1：（2010·福建高考文科·Ｔ１６）观察下列等式： ① cos2a=2 2cos a -1; ② cos4a=8 4cos a - 8 2cos a + 1; ③ cos6a=32 6cos a - 48 4cos a + 18 2cos a - 1; ④ cos8a=128 8cos a - 256 6cos a + 160 4cos a - 32 2cos a + 1; ⑤ cos10a= m 10cos a - 12 80 8cos a + 1120 6cos a + n 4cos a + p 2cos a - 1. 可以推测，m – n + p = . 【规范解答】观察得：式子中所有项的系数和为 1， m 1280 1120 n p 1 1       ， m n p 162    ，又 9p 10 5 50,m 2 512     ， n 400   ， m n p 962    ． 【答案】962． 要点 2：演绎推理 例 2：（2010·浙江高考理科·Ｔ14）设 1 12, , (2 ) (3 ) 2 3 n nn n N x x     2 0 1 2 n na a x a x a x     ， 将 (0 )ka k n  的最小值记为 nT ，则 2 3 4 53 3 5 5 1 1 1 10, , 0, , , , 2 3 2 3 nT T T T T          其中 nT =__________________ . 【规范解答】观察 nT 表达式的特点可以看出 2 40, 0T T  ，……，当 n为偶数时， 0nT  ； 3 3 3 1 1 2 3 T   ， 5 5 5 1 1 2 3 T   ，……， 当 n为奇数时， 1 1 2 3n n nT   ．【答案】 0 , 1 1 , 2 3 n n n n T n     当 为偶数时 当 为奇数时 ． 要点 3：直接证明与间接证明 例 3：（2010·北京高考文科·Ｔ20） 已 知 集 合 )2}(,,2,1},1,0{,),,,({ 21  nnixxxxXXS inn  对 于 1 2( , ,..., )nA a a a ， 1 2( , , , )n nB b b b S … ，定义 A与 B的差为 1 1 2 2(| |,| |, | |);n nA B a b a b a b    … A 与 B 之间的距离为    n i ii baBAd 1 ),( （Ⅰ）当 n=5 时，设 (0,1,0,0,1), (1,1,1,0,0)A B  ，求 A B ， ( , )d A B ； （Ⅱ）证明： , , ,n nA B C S A B S   有 ，且 ( , ) ( , )d A C B C d A B   ; (Ⅲ) 证明： , , , ( , ), ( , ), ( , )nA B C S d A B d A C d B C  三个数中至少有一个是偶数 【思路点拨】（I）（Ⅱ）直接按定义证明即可；(Ⅲ) “至少”问题可采用反证法证明． 【规范解答】（Ⅰ） ( 0 1 , 1 1 , 0 1 , 0 0 , 1 0 )A B       ＝（1,0,1,0,1） ( , ) 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0d A B           ＝3 ( Ⅱ ) 设 1 2 1 2 1 2( , , , ), ( , , , ), ( , , , )n n n nA a a a B b b b C c c c S       因 为 1 1, {0,1}a b  ， 所 以 1 1 {0,1}( 1,2, , )a b i n    , 从 而 1 1 2 2( , , )n n nA B a b a b a b S       , 由 题 意 知 , , {0,1}( 1,2, , )i i ia b c i n   , 当 0ic  时 ， i i i i i ia c b c a b     , 当 1ic  时 ， (1 ) (1 )i i i i i i i ia c b c a b a b         ,所以 1 ( , ) ( , ) n i i i d A C B C a b d A B       (Ⅲ)证明：设 1 2 1 2 1 2( , , , ), ( , , , ), ( , , , )n n n nA a a a B b b b C c c c S       , ( , ) , ( , ) , ( , )d A B k d A C l d B C h   记 0 (0,0, 0) nS   由（Ⅱ）可知 ( , ) ( , ) (0, ) ( , ) ( , ) (0, ) ( , ) ( , ) d A B d A A B A d B A k d A C d A A C A d C A l d B C d B A C A h                 ,所以 ( 1, 2, , )i ib a i n   中 1的个数 为 k, ( 1, 2, , )i ic a i n   中 1 的个数为 l ,设 t是使 1i i i ib a c a    成立的 i的个数。则 2h l k t   由此可知， , ,k l h 三个数不可能都是奇数，即 ( , ), ( , ), ( , )d A B d A C d B C 三个数中至少有一个是偶数． 注：有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可； 要点 4：数学归纳法 例 4：等比数列{ na }的前 n项和为 nS ， 已知对任意的 n N  ，点 ( , )nn S ，均在函数 ( 0xy b r b   且 1, ,b b r 均为常 数)的图像上.（1）求 r的值;（11）当 b=2 时，记 22(log 1)( )n nb a n N    证明：对任意的 n N  ，不等式 1 2 1 2 11 1· ······ 1n n bb b n b b b     成立 【解析】因为对任意的 n N  ,点 ( , )nn S ，均在函数 ( 0xy b r b   且 1, ,b b r 均为常数的图像上.所以得 n nS b r  ,当 1n  时, 1 1a S b r   ,当 2n  时, 1 1 1 1 ( ) ( 1)n n n n n n n na S S b r b r b b b b             ,又因为{ na }为等比数 列,所以 1r   ,公比为b , 1( 1) n na b b   （2）当 b=2 时， 1 1( 1) 2n n na b b     , 1 2 22(log 1) 2(log 2 1) 2n n nb a n     , 则 1 2 1 2 n n b n b n    ,所以 1 2 1 2 11 1 3 5 7 2 1· ······ 2 4 6 2 n n bb b n b b b n        . 下面用数学归纳法证明不等式 1 2 1 2 11 1 3 5 7 2 1· ······ 1 2 4 6 2 n n bb b n n b b b n         成立. 1 当 1n  时,左边= 3 2 ,右边= 2 ,因为 3 2 2  ,所以不等式成立. 2 假设当 n k 时不等式成立,即 1 2 1 2 11 1 3 5 7 2 1· ······ 1 2 4 6 2 k k bb b k k b b b k         成立.则当 1n k  时,左边 = 11 2 1 2 1 1 11 1 3 5 7 2 1 2 3· ······ 2 4 6 2 2 2 k k k k b bb b k k b b b b k k                2 22 3 (2 3) 4( 1) 4( 1) 1 11 ( 1) 1 ( 1) 1 2 2 4( 1) 4( 1) 4( 1) k k k kk k k k k k k                       所以当 1n k  时,不等式也成立.由①、②可得不等式恒成立. 注：（1）用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式，命题关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少 项，项的多少与 n的取值是否有关，由 n=k到 n=k+1时等式的两边会增加多少项，增加怎样的项。 （2）在本例证明过程中，①考虑“n取第一个值的命题形式”时，需认真对待，一般情况是把第一个值供稿通项，判断命题的真 假，②在由 n=k到 n=k+1的递推过程中，必须用归纳假设，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法。 （3）在用数学归纳法证明的第 2个步骤中，突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确 n=k+1时证明的目标， 充分考虑由 n=k到 n=k+1时，命题形式之间的区别和联系。 【高考真题探究】 1．（2010·山东高考文科·Ｔ１０）观察 2 '( ) 2x x ， 4 ' 3( ) 4x x ， '(cos ) sinx x  ，由归纳推理可得：若定义在 R上的函 数 ( )f x 满足 ( ) ( )f x f x  ，记 ( )g x 为 ( )f x 的导函数，则 ( )g x =（ ） （A） ( )f x (B) ( )f x (C) ( )g x (D) ( )g x 【规范解答】选 D．通过观察所给的结论可知，若 ( )f x 是偶函数，则导函数 ( )g x 是奇函数，故选 D． 2．（2010·陕西高考理科·Ｔ１２）观察下列等式： 3 3 21 2 3 ,  3 3 3 21 2 3 6 ,   3 3 3 3 21 2 3 4 10    ,……，根据上述规律， 第五个等式为 ____________. 【规范解答】由所给等式可得：等式两边的幂式指数规律明显，底数关系如下： 1 2 3,1 2 3 6,1 2 3 4 10,         即 左 边 底 数 的 和 等 于 右 边 的 底 数 。 故 第 五 个 等 式 为 ： 3 3 3 3 3 3 2 21 2 3 4 5 6 (1 2 3 4 5 6) 21 .            【答案】 3 3 3 3 3 3 21 2 3 4 5 6 21 .      3．（2010·北京高考理科·Ｔ20）已知集合 )2}(,,2,1},1,0{,),,,({ 21  nnixxxxXXS inn  对于 1 2( , ,..., )nA a a a ， 1 2( , , , )n nB b b b S … ，定义 A与 B的差为 1 1 2 2(| |,| |, | |);n nA B a b a b a b    … A 与 B 之间的距离为    n i ii baBAd 1 ),( ；（Ⅰ）证明： , , ,n nA B C S A B S   有 ，且 ( , ) ( , )d A C B C d A B   ; （Ⅱ）证明： , , , ( , ), ( , ), ( , )nA B C S d A B d A C d B C  三个数中至少有一 个是偶数 (Ⅲ) 设 P nS ，P中有 m(m≥2)个元素，记 P 中所有两元素间距离的平均值为 d (P).证明： d （P）≤ 2( 1) mn m  . 【思路点拨】（I）直接按定义证明即可；（Ⅱ）“至少”问题可采用反证法证明；(Ⅲ)把 , ( , ) A B P d A B   表示出来，再利用均值不等式 证明．【规范解答】（I）设 1 2( , ,..., )nA a a a ， 1 2( , ,..., )nB b b b ， 1 2( , ,..., )nC c c c nS 因为 ia ，  0,1ib  ，所以  | | 0,1i ia b  , ( 1, 2,..., )i n ,从而 1 1 2 2(| |,| |,...,| |)n n nA B a b a b a b S      又 1 ( , ) || | | || n i i i i i d A C B C a c b c        , 由 题 意 知 ia ， ib ， ic  0,1 ( 1, 2,..., )i n ., 当 0ic  时 ， || | | || | |i i i i i ia c b c a b     ;, 当 1ic  时 ， || | | || | (1 ) (1 ) | | |i i i i i i i ia c b c a b a b         , 所 以 1 ( , ) | | ( , ) n i i i d A C B C a b d A B       ,(II)设 1 2( , ,..., )nA a a a ， 1 2( , ,..., )nB b b b ， 1 2( , ,..., )nC c c c nS ( , )d A B k ， ( , )d A C l ， ( , )d B C h . 记 (0,0,...,0) nO S  ，由（I）可知, ( , ) ( , )d A B d O B A k   ， ( , ) ( , )d A C d O C A l   , ( , ) ( , )d B C d B A C A h    , 所 以 | | ( 1, 2,..., )i ib a i n  中 1 的 个 数 为 k ， | | ( 1, 2,..., )i ic a i n  中 1的 个数为 l． 设 t是使 | | | | 1i i i ib a c a    成立的 i的个数，则 2h l k t   由此可知， , ,k l h 三个数不可能都是奇数，即 ( , )d A B , ( , )d A C , ( , )d B C 三个数中至少有一个是偶数． （III） 2 , 1( ) ( , ) A B Pm d P d A B C    ,其中 , ( , ) A B P d A B   表示 P中所有两个元素间距离的总和，设 P中所有元素的第 i个位置的数 字 中 共 有 it 个 1 ， im t 个 0 则 , ( , ) A B P d A B   ＝ 1 ( ) n i i i t m t   , 由 于 it ( )im t 2 ( 1,2,..., ) 4 m i n  所 以 , ( , ) A B P d A B   2 4 nm  ,从而 2 2 2 , 1( ) ( , ) 4 2( 1)A B Pm m nm mnd P d A B C C m     【方法技巧】（1）证明“至少有一个……”的时，一般采用反证法；（2）证明不等式时要多观察形式，适当变形转化为基本不等式． 4．（2010·江苏高考·Ｔ23）已知△ABC 的三边长都是有理数。 （1）求证：cosA 是有理数；（2）求证：对任意正整数 n，cosnA 是有理数。 【思路点拨】（1）利用余弦定理表示 cosA，由三边 , ,a b c 是有理数，求得结论；（2）可利用数学归纳法证明. 【规范解答】方法一：（1）设三边长分别为 , ,a b c ， 2 2 2 cos 2 b c aA bc    ，∵ , ,a b c 是有理数， 2 2 2b c a  是有理数，分母 2bc 为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，∴ 2 2 2 2 b c a bc   必为有理数，∴cosA 是有理数。 （2）①当 1n  时，显然 cosA 是有理数；当 2n  时，∵ 2cos2 2cos 1A A  ，因为 cosA 是有理数， ∴ cos2A也是有理数； ②假设当 ( 2)n k k  时，结论成立，即 coskA、 cos( 1)k A 均是有理数。 当 1n k  时， cos( 1) cos cos sin sink A kA A kA A   ， 1cos( 1) cos cos [cos( ) cos( )] 2 k A kA A kA A kA A      ， 1 1cos( 1) cos cos cos( 1) cos( 1) 2 2 k A kA A k A k A      ，解得： cos( 1) 2cos cos cos( 1)k A kA A k A    ∵cosA， cos kA， cos( 1)k A 均是有理数，∴ 2cos cos cos( 1)kA A k A  是有理数，∴ cos( 1)k A 是有理数 即当 1n k  时，结论成立。综上所述，对于任意正整数 n，cosnA 是有理数。 方法二：（1）由 AB、BC、AC 为有理数及余弦定理知 2 2 2 cos 2 AB AC BCA AB AC     是有理数。 （2）用数学归纳法证明 cosnA 和 sin sinA nA 都是有理数。 ①当 1n  时，由（1）知 cos A是有理数，从而有 2sin sin 1 cosA A A   也是有理数。 ②假设当 ( 1)n k k  时，cos kA和 sin sinA kA 都是有理数。当 1n k  时，由 cos( 1) cos cos sin sink A A kA A kA     ， sin sin( 1) sin (sin cos cos sin ) (sin sin ) cos (sin sin ) cosA k A A A kA A kA A A kA A kA A             ， 及 ① 和 归 纳 假 设 ， 知 cos( 1)k A 和 sin sin( 1)A k A  都是有理数。即当 1n k  时，结论成立。综合①、②可知，对任意正整数 n，cosnA 是有理数。 5．（2009 江苏高考）设 a≥b＞0,求证： 3 33 2a b ≥ 2 23 2a b ab . 【解析】本小题主要考查比较法证明不等式的常见方法，考查代数式的变形能力。满分 10 分。 证明： 3 3 2 2 2 2 2 23 2 (3 2 ) 3 ( ) 2 ( ) (3 2 )( ).a b a b ab a a b b b a a b a b          因为 a≥b＞0,所以 a b ≥0， 2 23 2a b ＞0， 从而 2 2(3 2 )( )a b a b  ≥0， 即 3 33 2a b ≥ 2 23 2a b ab . 6．（2008 安徽高考）设数列{ }na 满足 3 * 1 10, 1 , ,n na a ca c c N c     其中 为实数 （Ⅰ）证明： [0,1]na  对任意 *n N 成立的充分必要条件是 [0,1]c ； （Ⅱ）设 10 3 c  ，证明： 1 *1 (3 ) ,n na c n N … ; （Ⅲ）设 10 3 c  ，证明： 2 2 2 * 1 2 21 , 1 3na a a n n N c         【解析】（Ⅰ）必要性：∵ 1 20, 1a a c   ，又∵ 2 [0,1]a  ，∴ 0 1 1c„ „ ，即 [0,1]c . 充分性：设 [0,1]c ，对任意 *n N 用数学归纳法证明 [0,1]na  .当 1n  时， 1 0 [01]a   ，. 假设当 n k 时， [0,1]( 1)ka k … ，则 3 1 1 1 1k ka ca c c c      „ ，且 3 1 1 1 0k ka ca c c    … … ， 1 [0,1]ka   . 由数学归纳法知， [0,1]na  对任意 *n N 成立.(Ⅱ) 设 10 3c  ，当 1n  时， 1 0a  ，结论成立； 当 2n… 时，∵ 3 1 1n na ca c   ，∴ 3 2 1 1 1 11 (1 ) (1 )(1 )n n n n na c a c a a a          .∵ 10 3c  ，由（Ⅰ）知 1 [0,1]na   ， ∴ 2 1 11 3n na a   „ 且1 0na … ，∴ 2 1 1 1 2 11 3 (1 ) (3 ) (1 ) (3 ) (1 ) (3 )n n n n na c a c a c a c       „ „ „ „ ， ∴   11 3 , *n na c n N … .(Ⅲ)设 10 3c  ,当 1n  时， 2 1 20 2 1 3a c    ，结论成立； 当 2n… 时，由(Ⅱ)知   11 3 0n na c  … ，∴ 2 1 2 1 2( 1) 1[1 (3 ) ] 1 2(3 ) (3 ) 1 2(3 )n n n n na c c c c          . ∴ 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2[(3 ) (3 ) (3 ) ]n n na a a a a n c c c               2[1 (3 ) ] 21 11 3 1 3 ncn nc c          . 【跟踪模拟训练】 一、选择题（每小题 6分，共 36 分） 1．已知 p 是 q的充分不必要条件，则 q 是 p 的（ ） （Ａ） 充分不必要条件 （Ｂ） 必要不充分条件（Ｃ） 充要条件 （Ｄ） 既不充分也不必要条件 2．设 a、b、c都是正数，则 1a b  , 1b c  , 1c a  三个数（ ） A、都大于 2 B、至少有一个大于 2 C、至少有一个不大于 2 D、至少有一个不小于 2 3．在△ ABC中， , ,A B C所对的边分别为 , ,a b c，且 cos cos a b A B  ，则△ ABC 一定是（ ） （Ａ） 等腰三角形 （Ｂ） 直角三角形 （Ｃ）等边三角形 （Ｄ） 等腰直角三角形 4．已知函数 ( )y f x 的定义域为 D ，若对于任意的 1 2 1 2, ( )x x D x x  ，都有 1 2 1 2( ) ( ) ( ) 2 2 x x f x f x f    ，则称 ( )y f x 为 D 上的凹函数.由此可得下列函数中的凹函数为 （ ） （Ａ） 2logy x （B） y x （C） 2y x （D） 3y x 5.给定正整数 n(n≥2)按下图方式构成三角形数表；第一行依次写上数 1，2，3，…，n，在下面一行的每相邻两个数的正中间上方写 上这两个数之和，得到上面一行的数（比下一行少一个数），依次类推，最后一行（第 n 行）只有一个数.例如 n=6 时数表如图所示， 则当 n=2 007 时最后一行的数是（ ） (A)251×22 007 (B)2 007×22 006 (C)251×22 008 (D)2 007×22 005 6.如图，坐标纸上的每个单元格的边长为 1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6 的横、纵坐标分别对应数列{an}(n∈N*)的前 12 项（即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项），按如此规律下去,则 a2 009+a2 010+a2 011 等于( ) (A)1 003 (B)1 005 (C)1 006 (D)2 011 二、填空题（每小题 6分，共 18 分） 7．对于等差数列 na 有如下命题：“若 na 是等差数列， 01 a ， ts、 是互不相等的正整数，则有 011  st atas ）（）（ ”。类比此命题，给出等比数列 nb 相应的一个正确命题是：“________________________”。 8．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则△A1B 1C1是 三角形，△A2B2C2是 三 角形.（用“锐角”、“钝角”或“直角”填空） 9．(2010 汉沽模拟)在直角三角形 ABC中，两直角边分别为 a b、 ，设 h为斜边上的高，则 2 2 2 1 1 1 h a b   ，由此类比：三棱锥 S ABC 的三个侧棱 SB SCSA、 、 两两垂直，且长分别为a b、 、c，设棱锥底面 ABC上的高为h，则 . 三、解答题（10、11 题每题 15 分，12 题 16 分，共 46 分） 10.观察下表： 1， 2，3 4，5，6，7 8，9，10，11，12，13，14，15， …… 问：（1）此表第 n行的最后一个数是多少？ （2）此表第 n行的各个数之和是多少？ （3）2010 是第几行的第几个数? （4）是否存在 n∈N*，使得第 n行起的连续 10 行的所有数之和为 227-213-120？若存在，求出 n的值；若不存在，请说明理由. 11．已知数列 na ： 1 1a  ， 2 2a  ， 3a r ， 3 2n na a   （ n是正整数），与数列 nb ： 1 1b  ， 2 0b  ， 3 1b   ， 4 0b  ， 4n nb b  （ n是正整数）．记 1 1 2 2 3 3n n nT b a b a b a b a     ． （1）若 1 2 3 12 64a a a a     ，求 r的值；（2）求证：当 n是正整数时， 12 4nT n  ； （3）已知 0r  ，且存在正整数m，使得在 12 1mT  ， 12 2mT  ，， 12 12mT  中有 4项为 100．求 r的值，并指出哪 4项为 100． 12．已知数列 na ， 0na ， 01 a ， )(1 2 1 2 1    Nnaaa nnn ．记 nn aaaS  21 ． )1()1)(1( 1 )1)(1( 1 1 1 21211 n n aaaaaa T         ．求证：当  Nn 时， （Ⅰ） 1 nn aa ；（Ⅱ） 2 nSn ；（Ⅲ） 3nT 。 参考答案 一、选择题 1．【解析】选Ａ.反证法的原理：“原命题”与“逆否命题”同真假，即：若 p q 则 q p  . 2．【解析】选 D. 3．【解析】选 A. cos cos a b A B  ， sin sin cos cos A B A B   ， tan tanA B  ，又因为  , 0,A B  ， A B  ； 4．【解析】选 C.可以根据图像直观观察；对于（C）证明如下：欲证 1 2 1 2( ) ( ) ( ) 2 2 x x f x f x f    ，即证 2 2 2 1 2 1 2 2 2 x x x x       ， 即证  2 2 2 1 2 1 22 2x x x x   ，即证  21 2 0x x  ，显然，这个不等式是成立的，且每一步可逆，故原不等式得证； 5．【解析】选 C.由题意知，112=7×24,48=6×23，20=5×22，故 n行时，最后一行数为(n+1)·2n-2， 所以当 n=2 007 时，最后一行数为 2 008×22 005=251×22 008. 二、填空题 6．【解析】选 B.观察点坐标的规律可知，偶数项的值等于其序号的一半.a4n-3=n,a4n-1=-n, 又 2 009=4×503-3,2 011=4×503-1,∴ a2 009=503,a2 011=-503,a2 010=1 005, ∴a2 009+a2 010+a2 011=1 005. 7．【解析】这是一个从等差数列到等比数列的平行类比，等差数列中  、、、 类比到等比数列经常 是 nn ()、、（）、 ，类比方法的关键在于善于发现不同对象之间的“相似”，“相似”是类比的基础。     111 1 11 1 1 1 sts t tt s s b qb b b q         .答案：若 nb 是等比数列， 11 b ， ts、 是互不相等的正整数，则有 11 1   t s s t b b 。 8．答案：锐角 钝角 9．答案： 2 2 2 2 1 1 1 1 h a b c    三、解答题 10．【解析】（1）∵第 n+1 行的第 1个数是 2n，∴第 n 行的最后一个数是 2n-1. （2）2n-1+（2n-1+1）+(2n-1+2)+…+（2n-1） =3·22n-3-2n-2. （3）∵210=1 024,211=2 048,1 024＜2 010＜2 048， ∴2 010 在第 11 行，该行第 1个数是 210=1 024，由 2 010-1024+1=987，知 2 010 是第 11 行的第 987 个数. （4）设第 n行的所有数之和为 an，第 n 行起连续 10 行的所有数之和为 Sn. 则 an=3·22n-3-2n-2,an+1=3·22n-1-2n-1，an+2=3·22n+1-2n，…，an+9=3·22n+15-2n+7, ∴Sn=3(2 2n-3+22n-1+…+22n+15)-(2n-2+2n-1+…+2n+7) =22n+17-22n-3-2n+8+2n-2，n=5 时，S5=2 27-128-213+8=227-213-120. ∴存在 n=5 使得第 5行起的连续 10 行的所有数之和为 227-213-120. 11．【解析】（1） 1 2 3 12...a a a a         1 2 3 4 2 5 6 4 7 8 6r r r r               48 4 .r  ∵ 48 4 64, 4.r r    （2）用数学归纳法证明：当 12, 4 .nn Z T n  时 1 当 n=1 时， 12 1 3 5 7 9 11 4,T a a a a a a        等式成立 2 假设n=k 时等式成立，即 12 4 ,kT k  那么当 1n k  时，   12 12 1 12 3 12 5 12 7 12 9 12 1112 1 k k k k k k kkT T a a a a a a                        4 8 1 8 8 4 8 5 8 4 8 8k k k r k k k r k                4 4 4 1 ,k k      等式也成立. 根据①和②可以断定：当 12, 4 .nn Z T n  时 （3）  12 4 1 .mT m m   12 1, 12 2 4 1; 12 3, 12 4 4 1 ; 12 5, 12 6 4 5 ; 12 7, 12 8 4 ; 12 9, 12 10 4 4; n n n n n n m m T m n m m T m r n m m T m r n m m T m r n m m T m                              当 时， 当 时， 当 时， 当 时， 当 时， 12 11, 12 12 , 4 4.nn m m T m     当 时 … ∵ 4m+1 是奇数， 4 1 , 4 , 4 4m r m r m       均为负数，∴ 这些项均不可能取到 100. 此时， 293 294 297 298, , ,T T T T 为 100. 12．【解析】（Ⅰ）证明：用数学归纳法证明． ①当 1n  时，因为 2a 是方程 2 1 0x x   的正根，所以 1 2a a ． ②假设当 *( )n k k N 时， 1k ka a  ， 因为 2 2 1k ka a  2 2 2 2 1 1( 1) ( 1)k k k ka a a a         2 1 2 1( )( 1)k k k ka a a a       ， 所以 1 2k ka a  ．即当 1n k  时， 1 2k ka a  也成立． 根据①和②，可知 1n na a  对任何 *nN 都成立． （Ⅱ）证明：由 2 2 1 1 1k k ka a a    ， 1 2 1k n ，， ， （ 2n≥ ），得 2 2 2 3 1( ) ( 1)n na a a a n a       ． 因为 1 0a  ，所以 21n nS n a   ．由 1n na a  及 2 2 1 11 2 1n n na a a     得 1na  ， 所以 2nS n  ． （Ⅲ）证明：由 2 2 1 1 1 2k k k ka a a a    ≥ ，得 1 1 1 ( 2 3 1 3) 1 2 k k k a k n n a a      ≤ ，， ， ， ≥ 所以 2 3 4 2 1 ( 3) (1 )(1 ) (1 ) 2 n n n a a a a a a   ≤ ≥ ， 于是 2 2 2 2 2 3 2 2 1 1 ( 3) (1 )(1 ) (1 ) 2 ( ) 2 2 n n n n n n a a n a a a a a        ≤ ≥ ， 故当 3n≥ 时， 2 1 11 1 3 2 2n nT       ，又因为 1 2 3T T T  ， 所以 3nT  ． 1.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案: 则第 n个图案中有白色地面砖的块数是________. 【解析】观察三个图形知：白色地面砖有 4n+2 块. 答案：4n+2 2.如图甲，在△ABC 中，AB⊥AC，AD⊥BC，D 是垂足，则 AB2=BD·BC，该结论称为射影定理.如图乙，在三棱锥 A-BCD 中，AD⊥平面 ABC， AO⊥平面 BCD，O 为垂足，且 O在△BCD 内，类比射影定理，探究 S△ABC、S△BCO、S△BCD 这三者之间满足的关系式是__________.