2019-2020学年高中数学课时作业14双曲线的参数方程北师大版选修4-4

2019-2020学年高中数学课时作业14双曲线的参数方程北师大版选修4-4

课时作业(十四)‎ ‎1．双曲线(α为参数)的两焦点坐标是(　　)‎ A．(0，－4)，(0，4)　　　 B．(－4，0)，(4，0)‎ C．(0，－)，(0，) D．(－，0)，(，0)‎ 答案　A 解析　双曲线方程化为－＝1，所以c2＝36＋12＝48，c＝4，且焦点在y轴上，故选A.‎ ‎2．双曲线C：(φ为参数)的一个焦点为(　　)‎ A．(3，0) B．(4，0)‎ C．(5，0) D．(0，5)‎ 答案　C 解析　由得 于是()2－()2＝sec2φ－tan2φ＝1，‎ 即双曲线方程为－＝1，‎ 焦点为F1(－5，0)，F2(5，0)．故选C.‎ ‎3．抛物线y2＝2x的参数方程为(t为参数)(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　由抛物线y2＝2x，令x＝t，则y2＝2t，所以参数方程为(t为参数)．‎ ‎4．与普通方程x2＋y－1＝0等价的参数方程(t，φ，θ为参数)是(　　)‎ A.　　　　　　 B. C. D. 答案　B 7‎ 解析　∵方程x2＋y－1＝0中的x∈R，而选项A中，x∈[－1，1]，选项C中x∈[0，＋∞)，选项D中x∈[－1，1]，故选B.‎ ‎5．点M0(0，1)到双曲线x2－y2＝1的最小距离(即双曲线上任一点M到点M0距离的最小值)为(　　)‎ A．1 B. C. D．2‎ 答案　B 解析　把双曲线方程化为参数方程 设双曲线上动点M(secθ，tanθ)，则 ‎|M0M|2＝sec2θ＋(tanθ－1)2‎ ‎＝(tan2θ＋1)＋(tan2θ－2tanθ＋1)‎ ‎＝2tan2θ－2tanθ＋2＝2(tanθ－)2＋.‎ 当tanθ－＝0时，|M0M|2取得最小值，此时有|M0M|＝，即M0点到双曲线的最小距离为.‎ ‎6．把双曲线的普通方程－＝1化为参数方程是________．‎ 答案　(φ为参数)‎ 解析　由已知双曲线的普通方程，设＝，＝tanφ，即得其参数方程为(φ为参数)．‎ ‎7．抛物线(m为参数)的准线方程是________．‎ 答案　y＝1‎ 解析　由已知抛物线的参数方程，消去参数m，得抛物线的普通方程为x2＝－4y，则p＝2，＝1，抛物线的准线方程是y＝1.‎ ‎8．已知双曲线的参数方程是(φ为参数)，点P在双曲线上且对应的参数φ＝，则直线OP的斜率为________．‎ 7‎ 答案　－ 解析　把φ＝代入双曲线的参数方程，得点P的坐标为(－，1)，则直线OP的斜率为k＝－.‎ ‎9．已知双曲线的参数方程为(θ为参数)，则双曲线的离心率是________．‎ 答案　 解析　由已知双曲线的参数方程，知双曲线的焦点在y轴上，且a＝4，b＝2，则c＝＝2，离心率e＝＝.‎ ‎10．与双曲线－＝1有相同焦点，且经过点(3，2)的双曲线参数方程为________．‎ 答案　(θ为参数)‎ 解析　设所求双曲线方程为－＝1(－4<λ<16)，又∵点(3，2)在双曲线上，‎ 则－＝1，∴λ＝4或λ＝－14(舍去)，‎ ‎∴所求双曲线的标准方程为－＝1.‎ 双曲线的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎11．参数方程(θ为参数)表示的曲线的普通方程是________．‎ 答案　y2＝x＋1(－1≤x≤1)‎ 解析　由参数方程，有 y2＝(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝1＋sin2θ，‎ 将x＝sin2θ代入，得y2＝x＋1.‎ 又－1≤sin2θ≤1，则此参数方程表法的曲线的普通方程是y2＝x＋1(－1≤x≤1)．‎ ‎12．(2015·广东)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ(cosθ＋sinθ)＝－2，曲线C2的参数方程为(t为参数)，则C1与C2交点的直角坐标为________．‎ 答案　(2，－4)‎ 7‎ 解析　曲线C1的直角坐标方程为x＋y＝－2，曲线C2的普通方程为y2＝8x，由得所以C1与C2交点的直角坐标为(2，－4)．‎ ‎13．曲线(α为参数)与曲线(β为参数)的离心率分别为e1和e2，求e1＋e2的最小值．‎ 解析　将两个参数方程化为普通方程，则可得：‎ －＝1与－＝1，‎ 其离心率分别为：‎ e1＝，e2＝，‎ 故e1＋e2‎ ‎＝＋ ‎＝· ‎≥·＝2.‎ ‎14．如图所示，已知点M是椭圆＋＝1(a>b>0)上在第一象限的点，A(a，0)和B(0，b)的椭圆的两个顶点，O为原点，求四边形MAOB的面积的最大值．‎ 解析　点M是椭圆＋＝1(a>b>0)上在第一象限的点，由于椭圆＋＝1的参数方程为(φ为参数)，故可设M(acosφ，bsinφ)，其中0<φ<，因此，S四边形MAOB＝S△MAO＋S△MOB＝OA·yM＋OB·xM＝ab(sinφ＋cosφ)＝absin(φ＋)．‎ 所以，当φ＝时，四边形MAOB的面积有最大值，最大值为ab.‎ ‎15．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，‎ 7‎ 它与曲线C：(y－2)2－x2＝1交于A，B两点．‎ ‎(1)求|AB|的长；‎ ‎(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为(2，)，求点P到线段AB中点M的距离．‎ 解析　(1)将直线l的参数方程(t为参数)，代入(y－2)2－x2＝1，得t2＋t－5＝0.‎ ‎∴t1＋t2＝－，t1t2＝－.‎ ‎∴|AB|＝|t1－t2|＝＝.‎ ‎(2)P点直角坐标为(－2，2)，‎ 线段AB中点对应的参数值为，‎ ‎∴点P到线段AB中点M的距离为||＝.‎ ‎1．曲线C：(φ为参数)的一个焦点为(　　)‎ A．(3，0) B．(4，0)‎ C．(5，0) D．(0，5)‎ 答案　C 解析　由sec2φ＝1＋tan2φ，得－＝1，方程的曲线为双曲线，由a2＝9，b2＝16，得c2＝25，∴焦点坐标为(5，0)或(－5，0)，故选C.‎ ‎2．已知圆C：(x－)2＋(y－tanθ)2＝1，则圆C的圆心所在的曲线是(　　)‎ A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 答案　B 解析　设圆C的圆心坐标为(m，n)，则 ‎①2－②2得m2－n2＝1，‎ 方程m2－n2＝1表示的图形是等轴双曲线．故选B.‎ ‎3．已知椭圆＋＝1和直线l：x－2y＋c＝0有公共点，‎ 7‎ 则实数c的取值范围是________．‎ 答案　[－4，4]‎ 解析　设M(2cosθ，sinθ)，θ∈[0，2π)是椭圆和直线的公共点，则有2cosθ－2sinθ＋c＝0，所以c＝2sinθ－2cosθ＝4sin(θ－)∈[－4，4]．‎ ‎4．(2016·深圳高二检测)在直角坐标系中，已知直线l：(s为参数)与曲线C：(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|＝________．‎ 答案　 解析　直线l：(s为参数)的普通方程为y＝3－x，曲线C：(t为参数)的普通方程为y＝(x－3)2，依题意，得(x－3)2＝3－x，解得x1＝3，y1＝0；x2＝2，y2＝1，所以坐标为A(3，0)，B(2，1)，则|AB|＝.‎ ‎5．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(a>b>0，φ为参数)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心在极轴上，且经过极点的圆，已知曲线C1上的点M(1，)对应的参数φ＝，射线θ＝与曲线C2交于点D(1，)．‎ ‎(1)求曲线C1，C2的方程；‎ ‎(2)若点A(ρ1，θ)，B(ρ2，θ＋)在曲线C1上，求＋的值．‎ 解析　(1)方法一：将M(1，)及对应的参数φ＝代入得 即所以曲线C1的方程为(φ为参数)化为普通方程为＋y2＝1.‎ 设圆C2的半径为R，由题意得圆C2的方程为ρ＝2Rcosθ，‎ 将点D(1，)代入ρ＝2Rcosθ得1＝2Rcos，解得R＝1，‎ 所以曲线C2的方程为ρ＝2cosθ.‎ 方法二：将点M(1，)及对应的参数φ＝代入得 解得故曲线C1的方程为＋y2＝1.‎ 由题意设圆C2的半径为R，则方程为(x－R)2＋y2＝R2，‎ 7‎ 由D(1，)化直角坐标为(，)代入(x－R)2＋y2＝R2得R＝1，‎ 故圆C2的方程为(x－1)2＋y2＝1.‎ ‎(2)因为点A(ρ1，θ)，B(ρ2，θ＋)在曲线C1上，所以＋ρ12sin2θ＝1，＋ρ22sin2(θ＋)＝1，即＋ρ22cos2θ＝1，‎ 所以＋＝(＋sin2θ)＋(＋cos2θ)＝.‎ 7‎