【数学】2019届一轮复习北师大版1-3　充分条件、必要条件与命题的四种形式学案

【数学】2019届一轮复习北师大版1-3　充分条件、必要条件与命题的四种形式学案

§1.3　充分条件、必要条件与命题的四种形式 最新考纲 考情考向分析 1.了解“若 p，则 q”形式的命题及其逆命题、 否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关 系． 2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义. 命题的真假判断和充分必要条件的判定是考 查的主要形式，多与集合、函数、不等式、 立体几何中的线面关系相交汇，考查学生的 推理能力，题型为选择、填空题，低档难度. 1．充分条件、必要条件与充要条件 (1)“如果 p，则 q”形式的命题为真时，记作 p⇒q，称 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条 件． (2)如果既有 p⇒q，又有 q⇒p，记作 p⇔q，则 p 是 q 的充要条件，q 也是 p 的充要条件． p 是 q 的充要条件又常说成 q 当且仅当 p，或 p 与 q 等价． 2．命题的四种形式及真假关系 互为逆否的两个命题等价(同真或同假)；互逆或互否的两个命题不等价． 知识拓展 从集合的角度理解充分条件与必要条件 若 p 以集合 A 的形式出现，q 以集合 B 的形式出现，即 A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充 分条件、必要条件又可以叙述为： (1)若 A⊆B，则 p 是 q 的充分条件； (2)若 A⊇B，则 p 是 q 的必要条件； (3)若 A＝B，则 p 是 q 的充要条件； (4)若 AB，则 p 是 q 的充分不必要条件； (5)若 AB，则 p 是 q 的必要不充分条件； (6)若 A⊈B 且 A⊉B，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件． 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)命题“若 p，则 q”的否命题是“若 p，则綈 q”．(　×　) (2)当 q 是 p 的必要条件时，p 是 q 的充分条件．(　√　) (3)当 p 是 q 的充要条件时，也可说成 q 成立当且仅当 p 成立．(　√　) (4)若 p 是 q 的充分不必要条件，则綈 p 是綈 q 的必要不充分条件．(　√　) 题组二　教材改编 2．下列命题是真命题的是(　　) A．矩形的对角线相等 B．若 a＞b，c＞d，则 ac＞bd C．若整数 a 是素数，则 a 是奇数 D．命题“若 x2＞0，则 x＞1”的逆否命题 答案　A 3．“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充 分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案　充分不必要 题组三　易错自纠 4．命题“若 x2>y2，则 x>y”的逆否命题是(　　) A．若 xy，则 x2>y2 D．若 x≥y，则 x2≥y2 答案　B 解析　根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若 x2>y2，则 x>y”的逆否命 题是“若 x≤y，则 x2≤y2”． 5．设 x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 答案　C 解析　x＞y⇏x＞|y|(如 x＝1，y＝－2)， 但当 x＞|y|时，能有 x＞y. ∴“x＞y”是“x＞|y|”的必要不充分条件． 6．已知 p：x>a 是 q：2＜x＜3 的必要不充分条件，则实数 a 的取值范围是________． 答案　(－∞，2] 解析　由已知，可得{x|2＜x＜3}{x|x＞a}，∴a≤2. 题型一　命题及其关系 1．某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是(　　) A．不拥有的人们会幸福 B．幸福的人们不都拥有 C．拥有的人们不幸福 D．不拥有的人们不幸福 答案　D 2．原命题为“△ABC 中，若 cos A<0，则△ABC 为钝角三角形”，关于其逆命题、否命题、 逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　) A．真，真，真 B．假，假，真 C．真，真，假 D．真，假，假 答案　B 解析　若 cos A<0，A 为钝角，则△ABC 为钝角三角形，所以原命题为真，则逆否命题也为 真；△ABC 为钝角三角形，可能是 B 或者 C 为钝角，A 可能为锐角，cos A>0.所以逆命题为 假，则否命题也为假．故选 B. 3．设 m∈R，命题“若 m＞0，则方程 x2＋x－m＝0 有实根”的逆否命题是____________． 答案　若方程 x2＋x－m＝0 没有实根，则 m≤0 思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时，需注意： ①对于不是“若 p，则 q”形式的命题，需先改写； ②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提． (2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即 可． (3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直 接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假． 题型二　充分必要条件的判定 典例 (1)“0≤m≤1”是“函数 f(x)＝cos x＋m－1 有零点”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　方法一　若 0≤m≤1，则 0≤1－m≤1， ∴cos x＝1－m 有解． 要使函数 f(x)＝cos x＋m－1 有零点， 只需|m－1|≤1，解得 0≤m≤2，故选 A. 方法二　函数 f(x)＝cos x＋m－1 有零点， 则|m－1|≤1，解得 0≤m≤2， ∵{m|0≤m≤1}{m|0≤m≤2}． ∴“0≤m≤1”是“函数 f(x)＝cos x＋m－1”有零点的充分不必要条件． (2)已知条件 p：x>1 或 x<－3，条件 q：5x－6>x2，则綈 p 是綈 q 的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　由 5x－6>x2，得 21 且 y>1，q：实数 x，y 满足 x＋y>2，则 p 是 q 的________条 件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案　充分不必要 解析　当 x>1，y>1 时，x＋y>2 一定成立，即 p⇒q， 当 x＋y>2 时，可令 x＝－1，y＝4，即 q⇏p， 故 p 是 q 的充分不必要条件． 11．已知命题 p：a≤x≤a＋1，命题 q：x2－4x＜0，若 p 是 q 的充分不必要条件，则 a 的取 值范围是________． 答案　(0,3) 解析　令 M＝{x|a≤x≤a＋1}， N＝{x|x2－4x＜0}＝{x|0＜x＜4}． ∵p 是 q 的充分不必要条件，∴MN， ∴Error!解得 0＜a＜3. 12．有下列几个命题： ①“若 a＞b，则 a2＞b2”的否命题；②“若 x＋y＝0，则 x，y 互为相反数”的逆命题；③“若 x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题． 其中真命题的序号是________． 答案　②③ 解析　①原命题的否命题为“若 a≤b，则 a2≤b2”，错误； ②原命题的逆命题为“若 x，y 互为相反数，则 x＋y＝0”，正确；③原命题的逆否命题为“若 x≥2 或 x≤－2，则 x2≥4”，正确． 13．(2017·邵阳二模)“m>1”是“函数 f(x)＝3x＋m－3 3在区间[1，＋∞)上无零点”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　函数 f(x)＝3x＋m－3 3在区间[1，＋∞)上无零点，则 31＋m>3 3，即 m＋1>3 2，解得 m> 1 2， 故“m>1”是“函数 f(x)＝3x＋m－3 3在区间[1，＋∞)上无零点”的充分不必要条件，故选 A. 14．已知条件 p：2x2－3x＋1≤0，条件 q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若綈 p 是綈 q 的必要不 充分条件，则实数 a 的取值范围是________． 答案　[0，1 2 ] 解析　方法一　命题 p 为Error!， 命题 q 为{x|a≤x≤a＋1}． 綈 p 对应的集合 A＝Error!， 綈 q 对应的集合 B＝{x|x>a＋1 或 x0，即 2n＋1>2λ 对任意的 n∈N ＋都成立，于是可得 3>2λ，即 λ<3 2. 故所求 λ 的取值范围是[3 2，＋∞). 16．设 a，b 为正数，则“a－b>1”是“a2－b2>1”的________条件．(选填“充分不必要”“必 要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案　充分不必要 解析　∵a－b>1，即 a>b＋1. 又∵a，b 为正数， ∴a2>(b＋1)2＝b2＋1＋2b>b2＋1，即 a2－b2>1 成立；反之，当 a＝ 3，b＝1 时，满足 a2－ b2>1，但 a－b>1 不成立．所以“a－b>1”是“a2－b2>1”的充分不必要条件．