高中数学必修1公开课教案3_1_2 用二分法求方程的近似解

高中数学必修1公开课教案3_1_2 用二分法求方程的近似解

‎3.1.2 用二分法求方程的近似解 整体设计 教学分析 求方程的解是常见的数学问题，这之前我们学过解一元一次、一元二次方程，但有些方程求精确解较难.本节从另一个角度来求方程的近似解，这是一种崭新的思维方式，在现实生活中也有着广泛的应用.用二分法求方程近似解的特点是：运算量大，且重复相同的步骤，因此适合用计算器或计算机进行运算.在教学过程中要让学生体会到人类在方程求解中的不断进步.‎ 三维目标 ‎1.让学生学会用二分法求方程的近似解，知道二分法是科学的数学方法.‎ ‎2.了解用二分法求方程的近似解特点，学会用计算器或计算机求方程的近似解，初步了解算法思想.‎ ‎3.回忆解方程的历史，了解人类解方程的进步历程，激发学习的热情和学习的兴趣.‎ 重点难点 用二分法求方程的近似解.‎ 课时安排 ‎1课时 教学过程 导入新课 思路1.(情景导入)‎ 师：(手拿一款手机)如果让你来猜这件商品的价格，你如何猜？‎ 生1：先初步估算一个价格，如果高了再每隔10元降低报价.‎ 生2：这样太慢了，先初步估算一个价格，如果高了每隔100元降低报价.如果低了，每50元上升；如果再高了，每隔20元降低报价；如果低了，每隔10元上升报价……‎ 生3：先初步估算一个价格，如果高了，再报一个价格；如果低了，就报两个价格和的一半；如果高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；如果低了，就把刚刚报出的价格与前面的价格结合起来取其和的半价……‎ 师：在现实生活中我们也常常利用这种方法.譬如，一天，我们华庄校区与锡南校区的线路出了故障，(相距大约3 500米)电工是怎样检测的呢？是按照生1那样每隔10米或者按照生2那样每隔100米来检测,还是按照生3那样来检测呢？‎ 生：(齐答)按照生3那样来检测.‎ 师：生3的回答，我们可以用一个动态过程来展示一下(展示多媒体课件，区间逼近法).‎ 思路2.(事例导入)‎ 有12个小球，质量均匀，只有一个球是比别的球重，你用天平称几次可以找出这个球，要求次数越少越好.(让同学们自由发言，找出最好的办法)‎ 解：第一次，两端各放六个球，低的那一端一定有重球.‎ 第二次，两端各放三个球，低的那一端一定有重球.‎ 第三次，两端各放一个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球.‎ 其实这就是一种二分法的思想，那什么叫二分法呢？‎ 推进新课 新知探究 提出问题 ‎①解方程2x-16=0.‎ ‎②解方程x2-x-2=0.‎ ‎③解方程x3-2x2-x+2=0.‎ ‎④解方程(x2-2)(x2-3x+2)=0.‎ ‎⑤我们知道，函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2，3)内有零点.进一步的问题是，如何找出这个零点的近似值？‎ ‎⑥“取中点”后，怎样判断所在零点的区间?‎ ‎⑦什么叫二分法?‎ ‎⑧试求函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2，3)内零点的近似值.‎ ‎⑨总结用二分法求函数零点近似值的步骤.‎ ‎⑩思考用二分法求函数零点近似值的特点.‎ 讨论结果：‎ ‎①x=8.‎ ‎②x=-1,x=2.‎ ‎③x=-1,x=1,x=2.‎ ‎④x=,x=,x=1,x=2.‎ ‎⑤如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值.为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围.〔“取中点”,一般地,我们把x=称为区间(a,b)的中点〕‎ ‎⑥比如取区间(2，3)的中点2.5,用计算器算得f(2.5)<0,因为f(2.5)·f(3)<0,所以零点在区间(2.5,3)内.‎ ‎⑦对于在区间［a,b］上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection).‎ ‎⑧因为函数f(x)=lnx+2x-6，用计算器或计算机作出函数f(x)=lnx+2x-6的对应值表.‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ f(x)‎ ‎-4‎ ‎-1.306‎ ‎1.0986‎ ‎3.3863‎ ‎5.6094‎ ‎7.7918‎ ‎9.9459‎ ‎12.0794‎ ‎14.1972‎ 由表可知，f(2)<0,f(3)>0,则f(2)·f(3)<0，这说明f(x)在区间内有零点x0，取区间(2，3)的中点x1=2.5,用计算器算得f(2.5)≈-0.084，因为f(2.5)·f(3)<0，所以x0∈(2.5,3).‎ 同理,可得表(下表)与图象(如图3-1-2-1).‎ 区间 中点的值 中点函数的近似值 ‎(2，3)‎ ‎2.5‎ ‎-0.084‎ ‎(2.5,3)‎ ‎2.75‎ ‎0.512‎ ‎(2.5,2.75)‎ ‎2.625‎ ‎0.215‎ ‎(2.5,2.625)‎ ‎2.5625‎ ‎0.066‎ ‎(2.5,2.5625)‎ ‎2.53-1-2-5‎ ‎-0.009‎ ‎(2.53-1-2-5,2.5625)‎ ‎2.546875‎ ‎0.029‎ ‎(2.53-1-2-5,2.546875)‎ ‎2.5390625‎ ‎0.010‎ ‎(2.53-1-2-5,2.5390625)‎ ‎2.53515625‎ ‎0.001‎ 图3-1-2-1‎ 由于(2,3)(2.5,3)(2.5,2.75),所以零点所在的范围确实越来越小了.如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小(见上表).这样，在一定的精确度下，我们可以在有限次重复相同步骤后，将所得的零点所在区间内的任意一点作为函数零点的近似值.特别地，可以将区间端点作为函数零点的近似值.例如，当精确度为0.01时，由于|2.5390625-2.53-1-2-5|=0.0078125<0.01，所以，我们可以将x=2.53-1-2-5作为函数f(x)=lnx+2x-6零点的近似值.‎ ‎⑨给定精度ε，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：‎ ‎1°确定区间［a,b］，验证f(a)·f(b)<0，给定精度ε.‎ ‎2°求区间(a,b)的中点c.‎ ‎3°计算f(c):‎ a.若f(c)=0，则c就是函数的零点；‎ b.若f(a)·f(c)<0，则令b=c〔此时零点x0∈(a,c)〕；‎ c.若f(c)·f(b)<0，则令a=c〔此时零点x0∈(c,b)〕.‎ ‎4°判断是否达到精度ε；即若|a-b|<ε，则得到零点值a(或b)；否则重复步骤2°~4°．‎ ‎⑩由函数的零点与相应方程的关系，我们可用二分法来求方程的近似解.由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算.‎ 应用示例 思路1‎ 例1借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解(精确度为0.1).‎ 活动：①师生共同探讨交流，引出借助函数f(x)=2x+3x-7的图象，能够缩小根所在区间，并根据f(1)<0,f(2)>0,可得出根所在区间(1,2)；‎ ‎②引发学生思考，如何进一步有效缩小根所在的区间；‎ ‎③共同探讨各种方法，引导学生探寻出通过不断对分区间，有助于问题的解决；‎ ‎④用图例演示根所在区间不断被缩小的过程，加深学生对上述方法的理解；‎ ‎⑤引发学生思考在有效缩小根所在区间时，到什么时候才能达到所要求的精确度.‎ 学生简述上述求方程近似解的过程.‎ 解：原方程即2x+3x-7=0,令f(x)=2x+3x-7,用计算器或计算机做出函数f(x)=2x+3x-7的对应值表与图象(3-1-2-2).‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ f(x)‎ ‎-6‎ ‎-2‎ ‎3‎ ‎10‎ ‎21‎ ‎40‎ ‎75‎ ‎142‎ ‎273‎ 图3-1-2-2‎ 观察图表可知f(1)·f(2)<0,说明这个函数在区间(1，2)内有零点x0.‎ 取区间(1，2)的中点x=1.5,用计算器算得f(1.5)≈0.33.‎ 因为f(1)·f(1.5)<0,所以x0∈(1,1.5).‎ 再取区间(1，1.5)的中点x=1.25,用计算器算得f(1.25)≈-0.87.‎ 因为f(1.25)·f(1.5)<0,‎ 所以x0∈(1.25,1.5).‎ 同理,可得，x0∈(1.375,1.5)，x0∈(1.375,1.4375).‎ 由于|1.375-1.437 5|=0.0625<0.1,‎ 所以，原方程的近似解可取为1.4375.‎ 例2利用计算器，求方程x2-2x-1=0的一个近似解(精确度0.1)．‎ 活动：教师帮助学生分析:‎ 画出函数f(x)=x2-2x-1的图象，如图3-1-2-3所示.从图象上可以发现，方程x2-2x-1=0的一个根x1在区间(2，3)内，另一个根x2在区间(-1，0)内.‎ 根据图象，我们发现f(2)=-1<0，f(3)=2>0，这表明此函数图象在区间(2，3)上穿过x轴一次，即方程f(x)=0在区间(2，3)上有唯一解.‎ 图3-1-2-3‎ 计算得f()=>0，发现x1∈(2，2.5)(如图3-1-2-3)，这样可以进一步缩小x1所在的区间.‎ 解：设f(x)=x2-2x-1，先画出函数图象的简图，如图3-1-2-3.‎ 因为f(2)=-1<0，f(3)=2>0，‎ 所以在区间(2，3)内，方程x2-2x-1=0有一解，记为x1.‎ 取2与3的平均数2.5，因为f(2.5)=0.25>0，‎ 所以20x1∈(2,3),‎ f(2)<0,f(2.5)>0x1∈(2,2.5),‎ f(2.25)<0，f(2.5)>0x1∈(2.25,2.5),‎ f(2.375)<0，f(2.5)>0x1∈(2.375,2.5),‎ f(2.375)<0，f(2.437 5)>0x1∈(2.375,2.437 5).‎ 因为2.375与2.437 5精确到0.1的近似值都为2.4，所以此方程的近似解为x1≈2.4.‎ 点评：利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解.‎ 思路2‎ 例1利用计算器，求方程lgx=3-x的近似解(精确度0.1).‎ 活动：学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.‎ 分别画出y=lgx和y=3-x的图象，如图3124所示.在两个函数图象的交点处，函数值相等.因此，这个点的横坐标就是方程lgx=3-x的解.由函数y=lgx与y=3-x的图象可以发现，方程lgx=3-x有唯一解，记为x1，并且这个解在区间(2，3)内.‎ 图3-1-2-4‎ 解：设f(x)=lgx+x-3，设x1为函数的零点即方程lgx=3-x的解.‎ 用计算器计算，得 f(2)<0，f(3)>0x1∈(2,3)，‎ f(2.5)<0，f(3)>0x1∈(2.5,3)，‎ f(2.5)<0，f(2.75)>0x1∈(2.5,2.75)，‎ f(2.5)<0，f(2.625)>0x1∈(2.5,2.625)，‎ f(2.562 5)<0，f(2.625)>0x1∈(2.562 5,2.625).‎ 因为2.562 5与2.625精确到0.1的近似值都为2.6，所以原方程的近似解为x1≈2.6.‎ 例2求方程lnx-2x+3=0在区间［1,2］内的根(精确度0.1).‎ 解：设f(x)=lnx-2x+3,则原方程的根为函数f(x)的零点.‎ 设x1为函数的零点即方程lnx-2x+3=0的解.‎ 如图3-1-2-5,因为f(1)=1,f(2)=-0.306 852 819,‎ 所以f(1)f(2)<0,即函数f(x)在［1,2］内有一个零点.根据二分法，用计算器得出以下表格：‎ x y ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎-0.306852819‎ ‎3‎ ‎-1.901387711‎ ‎4‎ ‎-3.613705639‎ ‎5‎ ‎-5.390562088‎ ‎6‎ ‎-7.208240531‎ ‎7‎ ‎-9.054089851‎ ‎8‎ ‎-10.92055846‎ ‎(步长为1)‎ x y ‎1‎ ‎1‎ ‎1.5‎ ‎50.405465108‎ ‎2‎ ‎-0.306852819‎ ‎2.5‎ ‎-1.083709268‎ ‎3‎ ‎-1.901387711‎ ‎3.5‎ ‎-2.747237032‎ ‎4‎ ‎3.613705639‎ ‎4.5‎ ‎-4.495922603‎ ‎(步长为0.5)‎ x y ‎1‎ ‎1‎ ‎1.25‎ ‎0.723143551‎ ‎1.5‎ ‎0.405465108‎ ‎1.75‎ ‎0.059615787‎ ‎2‎ ‎-0.306852819‎ ‎2.25‎ ‎-0.689069783‎ ‎2.5‎ ‎-1.083709268‎ ‎2.75‎ ‎-1.488399088‎ ‎(步长为0.25)‎ x y ‎1‎ ‎1‎ ‎1.125‎ ‎0.867783035‎ ‎1.25‎ ‎0.723143551‎ ‎1.375‎ ‎0.568453731‎ ‎1.5‎ ‎0.405465108‎ ‎1.625‎ ‎0.235507815‎ ‎1.75‎ ‎0.059615787‎ ‎1.875‎ ‎-0.12139134‎ ‎(步长为0.125)‎ x y ‎1.5‎ ‎0.405465108‎ ‎1.5625‎ ‎0.3-2-1-287102‎ ‎1.625‎ ‎0.235507815‎ ‎1.6875‎ ‎0.148248143‎ ‎1.75‎ ‎0.059615787‎ ‎1.8125‎ ‎-0.030292892‎ ‎1.875‎ ‎-0.12139134‎ ‎1.9375‎ ‎-0.213601 517‎ ‎(步长为0.062 5)‎ 由上述表格可以得到下表与图象3-1-2-5:‎ 区间 中点的值 中点函数近似值 ‎(1,2)‎ ‎1.5‎ ‎0.405465108‎ ‎(1.5,2)‎ ‎1.75‎ ‎0.059615787‎ ‎(1.75,2)‎ ‎1.875‎ ‎-0.12139134‎ ‎(1.75,1.875)‎ ‎1.8125‎ ‎-0.030292892‎ 图3-1-2-5‎ 因为f(1.75)=0.059 615 787>0,f(1.812 5)=-0.030 292 892<0,‎ 所以x1∈(1.75,1.812 5).‎ 由于|1.812 5-1.75|=0.062 5<0.1,‎ 所以区间(1.75,1.812 5)内的每一个实数都可以作为方程lnx-2x+3=0在区间［1,2］内的根.‎ 点评：①先设出方程对应的函数，画出函数的图象，初步确定解所在的区间,再用二分法求方程近似解.‎ ‎②二分法,即逐渐逼近的方法.‎ ‎③计算量较大，而且是重复相同的步骤，借助计算器或计算机完成计算比较容易.‎ 知能训练 ‎1.根据下表中的数据，可以断定方程ex-x-2=0的一个根所在的区间为( )‎ x ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ex ‎0.37‎ ‎1‎ ‎2.27‎ ‎7.39‎ ‎20.0‎ x+2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)‎ ‎2.用二分法判断方程2x=x2的根的个数为( )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 答案:1.C.设f(x)=ex-x-2,f(1)<0,f(2)>0,即f(1)f(2)<0,∴x∈(1,2).‎ ‎2.C.设f(x)=2x-x2(下表),画出函数y=2x与y=x2的图象(图3-1-2-6).‎ x ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ f(x)‎ ‎-0.5‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎7‎ 图3-1-2-6‎ 由图与表,知有三个根.‎ 拓展提升 从上海到美国旧金山的海底电缆有15‎ 个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查接点的个数为多少？‎ ‎(此例既体现了二分法的应用价值，也有利于发展学生的应用意识)‎ 答案:至少需要检查接点的个数为4.‎ 课堂小结 活动：学生先思考或讨论，再回答.教师提示、点拨，及时评价.‎ 引导方法：从基本知识基本技能和思想方法两方面来总结.‎ ‎①掌握用二分法求方程的近似解，及二分法的其他应用.‎ ‎②思想方法：函数方程思想、数形结合思想.‎ 作业 课本P92习题3.1A组 1、3.‎ 设计感想 ‎“猜价格”的游戏深受人们的喜欢,它是二分法的具体应用,用它引入拉近了数学与生活的距离.二分法是科学的数学方法，它在求方程的近似解和现实生活中都有着广泛的应用.本节设计紧紧围绕这两个中心展开，充分借助现代教学手段，用多种角度处理问题，使学生充分体会数学思想方法的科学性与完美性.‎ 习题详解 ‎(课本第88页练习)‎ ‎1.(1)令f(x)=-x2+3x+5,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(1))，它与x轴有两个交点，所以方程-x2+3x+5=0有两个不相等的实数根.‎ ‎(2)2x(x-2)=-3可化为2x2-4x+3=0，令f(x)=2x2-4x+3,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(2))，它与x轴没有交点，所以方程2x(x-2)=-3无实数根.‎ ‎(3)x2=4x-4可化为x2-4x+4=0,令f(x)=x2-4x+4,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(3))，它与x轴只有一个交点(相切)，所以方程x2=4x-4有两个相等的实数根.‎ ‎(4)5x2+2x=3x2+5可化为2x2+2x-5=0,令f(x)=2x2+2x-5,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(4))，它与x轴有两个交点，所以方程5x2+2x=3x2+5有两个不相等的实数根.‎ 图3-1-2-7‎ ‎2.(1)作出函数图象(图3-1-2-8(1)),因为f(1)=1>0,f(1.5)=-2.875<0,所以f(x)=-x3-3x+5在区间(1,1.5)上有一个零点.‎ 又因为f(x)是(-∞,+∞)上的减函数，所以f(x)=-x3-3x+5在区间(1,1.5)上有且只有一个零点.‎ ‎(2)作出函数图象(图3-1-2-8(2)),因为f(3)<0,f(4)>0,所以f(x)=2x·ln(x-2)-3在区间(3,4)上有一个零点.‎ 又因为f(x)=2x·ln(x-2)-3在(2,+∞)上是增函数,所以f(x)在(3,4)上有且仅有一个零点.‎ ‎(3)作出函数图象(图3-1-2-8(3)),因为f(0)<0,f(1)>0,所以f(x)=ex-1+4x-4在区间(0,1)上有一个零点.‎ 又因为f(x)=ex-1+4x-4在(-∞,+∞)上是增函数,所以f(x)在(0,1)上有且仅有一个零点.‎ ‎(4)作出函数图象(图3-1-2-8(4)),因为f(-4)<0,f(-3)>0,f(-2)<0,f(2)<0,f(3)>0,所以f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x在(-4,-3),(-3,-2),(2,3)上各有一个零点.‎ 图3-1-2-8‎ ‎(课本第91页练习)‎ ‎1.由题设可知f(0)=-1.4<0,f(1)=1.6>0,‎ 于是f(0)·f(1)<0,‎ 所以函数f(x)在区间(0，1)内有一个零点x0.‎ 下面用二分法求函数f(x)=x3+1.1x2+0.9x-1.4在区间(0，1)内的零点.‎ 取区间(0，1)的中点x1=0.5,用计算器可算得f(0.5)=-0.55.‎ 因为f(0.5)·f(1)<0,所以x0∈(0.5,1).‎ 再取区间(0.5，1)的中点x2=0.75,用计算器可算得f(0.75)≈0.32.‎ 因为f(0.5)·f(0.75)<0,所以x0∈(0.5,0.75).‎ 同理,可得x0∈(0.625,0.75)，x0∈(0.625,0.687 5)，x0∈(0.656 25,0.687 5).‎ 由于|0.687 5-0.656 25|=0.031 25<0.1,‎ 所以原方程的近似解可取为0.656 25.‎ ‎2.原方程可化为x+lgx-3=0,令f(x)=x+lgx-3,用计算器可算得f(2)≈-0.70,f(3)≈0.48.于是f(2)·f(3)<0,‎ 所以这个方程在区间(2,3)内有一个解x0.‎ 下面用二分法求方程x=3-lgx在区间(2,3)的近似解.‎ 取区间(2,3)的中点x1=2.5,用计算器可算得f(2.5)≈-0.10.因为f(2.5)·f(3)<0,所以x0∈(2.5,3).‎ 再取区间(2.5,3)的中点x2=2.75,用计算器可算得f(2.75)≈0.19.因为f(2.5)·f(2.75)<0,所以 x0∈(2.5,2.75).‎ 同理,可得x0∈(2.5,2.625),x0∈(2.562 5,2.625),x0∈(2.562 5,2.593 75),x0∈(2.578 125,2.593 75),x0∈(2.585 937 5,2.59 375).‎ 由于|2.585 937 5-2.593 75|=0.007 812 5<0.01,‎ 所以原方程的近似解可取为2.593 75.‎ ‎(课本第92页习题3.1)‎ A组 ‎1.A,C 点评：需了解二分法求函数的近似零点的条件.‎ ‎2.由x,f(x)的对应值表可得f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0,‎ 又根据“如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.”可知函数f(x)分别在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)内有零点.‎ ‎3.原方程即(x+1)(x-2)(x-3)-1=0,令f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)-1,可算得f(-1)=-1,f(0)=5.‎ 于是f(-1)·f(0)<0,‎ 所以这个方程在区间(-1,0)内有一个解.‎ 下面用二分法求方程(x+1)(x-2)(x-3)=1在区间(-1，0)内的近似解.‎ 取区间(-1，0)的中点x1=-0.5,用计算器可算得f(-0.5)=3.375.‎ 因为f(-1)·f(-0.5)<0,所以x0∈(-1,-0.5).‎ 再取(-1，-0.5)的中点x2=-0.75,用计算器可算得f(-0.75)≈1.58.‎ 因为f(-1)·f(-0.75)<0,所以x0∈(-1,-0.75).‎ 同理,可得x0∈(-1,-0.875)，x0∈(-0.937 5,-0.875).‎ 由于|(-0.875)-(-0.937 5)|=0.062 5<0.1,‎ 所以原方程的近似解可取为-0.937 5.‎ ‎4.原方程即0.8x-1-lnx=0,令f(x)=0.8x-1-lnx,f(0)没有意义，用计算器算得f(0.5)≈0.59,f(1)=-0.2.‎ 于是f(0.5)·f(1)<0,‎ 所以这个方程在区间(0.5,1)内有一个解.‎ 下面用二分法求方程0.8x-1=lnx在区间(0，1)内的近似解.‎ 取区间(0.5，1)的中点x1=0.75,用计算器可算得f(0.75)≈0.13.‎ 因为f(0.75)·f(1)<0,所以x0∈(0.75,1).‎ 再取(0.75,1)的中点x2=0.875,用计算器可算得f(0.875)≈-0.04.‎ 因为f(0.875)·f(0.75)<0,所以x0∈(0.75,0.875).‎ 同理,可得x0∈(0.812 5,0.875)，x0∈(0.812 5,0.843 75).‎ 由于|0.812 5-0.843 75|=0.031 25<0.1,‎ 所以原方程的近似解可取为0.843 75.‎ ‎5.由题设有f(2)≈-0.31<0,f(3)≈0.43>0,‎ 于是f(2)·f(3)<0,‎ 所以函数f(x)在区间(2，3)内有一个零点.‎ 下面用二分法求函数f(x)=lnx在区间(2，3)内的近似解.‎ 取区间(2，3)的中点x1=2.5,用计算器可算得f(2.5)≈0.12.‎ 因为f(2)·f(2.5)<0,所以x0∈(2,2.5).‎ 再取(2，2.5)的中点x2=2.25,用计算器可算得f(2.25)≈-0.08.‎ 因为f(2.25)·f(2.5)<0,所以x0∈(2.25,2.5).‎ 同理,可得x0∈(2.25,2.375)，x0∈(2.312 5,2.375),x0∈(2.343 75,2.375),x0∈(2.343 75,2.359 375),x0∈(2.343 75,2.351 562 5),x0∈(2.343 75,2.347 656 25).‎ 由于|2.343 75-2.347 656 25|=0.003 906 25<0.01,‎ 所以原方程的近似解可取为2.347 656 25.‎ B组 ‎1.将系数代入求根公式x=,得x==,‎ 所以方程的两个解分别为x1=,x2=.‎ 下面用二分法求方程的近似解.‎ 取区间(1.775,1.8)和(-0.3,-0.275),令f(x)=2x2-3x-1.‎ 在区间(1.775,1.8)内用计算器可算得f(1.775)=-0.023 75,f(1.8)=0.08.‎ 于是f(1.775)·f(1.8)<0.‎ 所以这个方程在区间(1.775,1.8)内有一个解.‎ 由于|1.8-1.775|=0.025<0.1,‎ 所以原方程在区间(1.775,1.8)内的近似解可取为1.8.‎ 同理,可得方程在区间(-0.3,-0.275)内的近似解可取为-0.275.‎ 所以方程精确到0.1的近似解分别是1.8和-0.3.‎ ‎2.原方程即x3-6x2-3x+5=0,令f(x)=x3-6x2-3x+5,函数图象如下图所示.‎ 图3-1-2-9‎ 所以这个方程在区间(-2,0),(0,1),(6,7)内各有一个解.‎ 取区间(-2，0)的中点x1=-1,用计算器可算得f(-1)=1.‎ 因为f(-2)·f(-1)<0,所以x0∈(-2,-1).‎ 再取(-2，-1)的中点x2=-1.5,用计算器可算得f(-1.5)=-7.375.‎ 因为f(-1.5)·f(-1)<0,所以x0∈(-1.5,-1).‎ 同理,可得x0∈(-1.25,-1)，x0∈(-1.125,-1),x0∈(-1.125,-1.062 5).‎ 由于|(-1.062 5)-(-1.125)|=0.062 5<0.1,‎ 所以原方程在区间(-2，0)内的近似解可取为-1.062 5.‎ 同理,可得原方程在区间(0，1)内的近似解可取为0.7,在区间(6，7)内的近似解可取为6.3.‎ ‎3.(1)由题设有g(x)=2-［f(x)］2=2-(x2+3x+2)2=-x4-6x3-13x2-12x-2.‎ ‎(2)函数图象如下图所示.‎ 图3-1-2-10‎ ‎(3)由图象可知，函数g(x)分别在区间(-3，-2)和区间(-1，0)内各有一个零点.‎ 取区间(-3，-2)的中点x1=-2.5,用计算器可算得g(-2.5)=0.187 5.‎ 因为g(-3)·g(-2.5)<0,所以x0∈(-3,-2.5).‎ 再取(-3，-2.5)的中点x2=-2.75,用计算器可算得g(-2.75)≈0.28.‎ 因为g(-3)·g(-2.75)<0,所以x0∈(-3,-2.75).‎ 同理,可得x0∈(-2.875,-2.75)，x0∈(-2.812 5,-2.75).‎ 由于|-2.75-(-2.812 5)|=0.062 5<0.1,‎ 所以原方程在区间(-3，-2)内的近似解可取为-2.812 5.‎ 同样可求得函数在区间(-1,0)内的零点约为-0.2.‎ 所以函数g(x)精确到0.1的零点约为-2.8或-0.2.‎ 点评：第2、3题采用信息技术画出函数图象,并据此明确函数零点所在的区间.在教学中,如果没有信息技术条件,建议教师直接给出函数图象或零点所在区间.‎