【数学】2020届一轮复习苏教版幂函数与二次函数学案
§2.4 幂函数与二次函数
考情考向分析 以幂函数的图象与性质的应用为主，常与指数函数、对数函数交汇命题；以二次函数的图象与性质的应用为主，常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程、转化与化归及数形结合思想，题型一般为填空题，中档难度．
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较
函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x－1
图象
性质
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在R上单调递增
在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增
在R上单调递增
在[0，＋∞)上单调递增
在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减
公共点
(1,1)
2.二次函数的图象和性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域
R
R
值域
单调性
在x∈上单调递减；
在x∈上单调递增
在x∈上单调递增；
在x∈上单调递减
对称性
函数的图象关于直线x＝－对称
概念方法微思考
1．二次函数的解析式有哪些常用形式？
提示 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2)顶点式：y＝a(x－m)2＋n(a≠0)；
(3)零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
2．已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，写出f(x)≥0恒成立的条件．
提示 a>0且Δ≤0.
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，x∈[a，b]的最值一定是.( × )
(2)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( √ )
(3)函数是幂函数．( × )
(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( √ )
(5)当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．( × )
题组二 教材改编
2．[P89练习T3]已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝________.
答案
解析 由幂函数的定义，知
∴k＝1，α＝.∴k＋α＝.
3．[P40练习T3]已知函数f(x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是
________．
答案 (－∞，－3]
解析 函数f(x)＝x2＋4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x＝－2a的左侧，
∴－2a≥6，解得a≤－3.
题组三 易错自纠
4．幂函数(a∈Z)为偶函数，且f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则a＝________.
答案 5
解析 因为a2－10a＋23＝(a－5)2－2，
(a∈Z)为偶函数，
且在区间(0，＋∞)上是减函数，
所以(a－5)2－2<0，从而a＝4,5,6，
又(a－5)2－2为偶数，所以只能是a＝5.
5．已知函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－1,1]，则y的最小值是______．
答案 －1
解析 函数y＝2x2－6x＋3的图象的对称轴为x＝>1，
∴函数y＝2x2－6x＋3在[－1,1]上单调递减，
∴ymin＝2－6＋3＝－1.
6．设二次函数f(x)＝x2－x＋a(a>0)，若f(m)<0，则f(m－1)________0.(填“>”“<”或“＝”)
答案 >
解析 f(x)＝x2－x＋a图象的对称轴为直线x＝，且f(1)>0，f(0)>0，而f(m)<0，∴m∈(0,1)，∴m－1<0，∴f(m－1)>0.
题型一 幂函数的图象和性质
1．已知幂函数(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为________．
答案 1
解析 由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1符合题意．
2．若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是________．(用“>”连接)
答案 a>b>c>d
解析 由幂函数的图象可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，由题图知a>b>c>d.
3．若，则实数a的取值范围是____________．
答案 (－∞，－1)∪
解析 不等式等价于a＋1>3－2a>0或3－2a
0.
所以函数的图象开口向上，且在[1,2]上单调递增，f(0)＝f(2)，
则当f(m)≤f(0)时，有0≤m≤2.
命题点2 二次函数的单调性
例3 函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是________．
答案 [－3,0]
解析 当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意．
当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝，
由f(x)在[－1，＋∞)上单调递减，知
解得－3≤a<0.综上，a的取值范围为[－3,0]．
引申探究
若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a＝________.
答案 －3
解析 由题意知f(x)必为二次函数且a<0，
又＝－1，∴a＝－3.
命题点3 二次函数的最值
例4 已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a的值．
解 f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.
(1)当a＝0时，函数f(x)在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；
(2)当a>0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝；
(3)当a<0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.
综上可知，a的值为或－3.
引申探究
将本例改为：求函数f(x)＝x2＋2ax＋1在区间[－1,2]上的最大值．
解 f(x)＝(x＋a)2＋1－a2，
∴f(x)的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝－a.
(1)当－a<即a>－时，f(x)max＝f(2)＝4a＋5，
(2)当－a≥即a≤－时，f(x)max＝f(－1)＝2－2a，
综上，f(x)max＝
命题点4 二次函数中的恒成立问题
例5 (1)已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1，若不等式f(x)>2x＋m在区间[－1,1]上恒成立，则实数m的取值范围为____________．
答案 (－∞，－1)
解析 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1，得c＝1，又f(x＋1)－f(x)＝2x，得2ax＋a＋b＝2x，所以a＝1，b＝－1，所以f(x)＝x2－x＋1.f(x)>2x＋m在区间[－1,1]上恒成立，即x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立，令g(x)＝x2－3x＋1－m＝2－－m，x∈[－1,1]，g(x)在[－1,1]上单调递减，所以g(x)min＝g(1)＝1－3＋1－m>0，所以m<－1.
(2)函数f(x)＝a2x＋3ax－2(a>1)，若在区间[－1,1]上f(x)≤8恒成立，则a的最大值为________．
答案 2
解析 令ax＝t，因为a>1，x∈[－1,1]，所以≤t≤a，原函数化为g(t)＝t2＋3t－2，t∈，显然g(t)在上单调递增，所以f(x)≤8恒成立，即g(t)max＝g(a)≤8恒成立，所以有a2＋3a－2≤8，解得－5≤a≤2，又a>1，所以10，则实数a的取值范围为________．
答案
解析 由题意得a>－对1.
数形结合思想和分类讨论思想
在二次函数中的应用
研究二次函数的性质，可以结合图象进行；对于含参数的二次函数问题，要明确参数对图象的影响，进行分类讨论．
例 设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．
解 f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为x＝1.
当t＋1≤1，即t≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，
所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；
当t<10，
解得m＝1.
3．(2019·江苏省扬州中学月考)若函数f(x)＝x2－2ax－1在(－∞，5]上单调递减，则实数a的取值范围是________．
答案 [5，＋∞)
解析 由题意可得－≥5，解得a≥5.
4．函数f(x)＝(x－2)(ax＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f(2－x)>0的解集为________________．
答案 {x|x>4或x<0}
解析 函数f(x)＝ax2＋(b－2a)x－2b为偶函数，则b－2a＝0，故f(x)＝ax2－4a＝a(x－2)(x＋2)，因为函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以a>0.根据二次函数的性质可知，不等式f(2－x)>0的解集为{x|2－x>2或2－x<－2}＝{x|x<0或x>4}．
5．已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a，x∈[0,1]有最大值2，则a＝________.
答案 2或－1
解析 函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，其图象的对称轴方程为x＝a.当a<0时，f(x)max＝f(0)＝1－a，所以1－a＝2，所以a＝－1；当0≤a≤1时，f(x)max＝f(a)＝a2－a＋1，所以a2－a＋1＝2，所以a2－a－1＝0，所以a＝(舍去)；当a>1时，f(x)max＝f(1)＝a，所以a＝2.综上可知，a＝－1或a＝2.
6．若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，－2)
解析 不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2－4x－2)max，
令f(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，
所以f(x)g(x)>f(x)
解析 分别作出f(x)，g(x)，h(x)的图象如图所示，
可知h(x)>g(x)>f(x)．
8．已知二次函数y＝f(x)的顶点坐标为，且方程f(x)＝0的两个实根之差的绝对值等于7，则此二次函数的解析式是________________．
答案 f(x)＝－4x2－12x＋40
解析 设f(x)＝a2＋49(a≠0)，
方程a2＋49＝0的两个实根分别为x1，x2，
则|x1－x2|＝2 ＝7，
所以a＝－4，所以f(x)＝－4x2－12x＋40.
9．已知函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间上为增函数，那么f(2)的取值范围是______．
答案 [7，＋∞)
解析 函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间上为增函数，由于其图象(抛物线)开口向上，所以其对称轴x＝或与直线x＝重合或位于直线x＝的左侧，即应有≤，解得a≤2，所以f(2)＝4－(a－1)×2＋5≥7，即f(2)≥7.
10．已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是____________．
答案
解析 因为函数图象开口向上，
所以根据题意只需满足
解得－0，使函数g(x)＝1－qf(x)＋(2q－1)x在区间[－1,2]上的值域为？若存在，求出q的值；若不存在，请说明理由．
解 (1)∵f(2)0，解得－10满足题设，由(1)知
g(x)＝－qx2＋(2q－1)x＋1，x∈[－1,2]．
∵g(2)＝－1，∴两个最值点只能在端点(－1，g(－1))和顶点处取得．
而－g(－1)＝－(2－3q)＝≥0，
∴g(x)max＝＝，
g(x)min＝g(－1)＝2－3q＝－4.
解得q＝2.∴存在q＝2满足题意．
12．(2018·江苏省如皋中学考试)已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象与y轴的交点坐标为(0,1)，且满足f(1－x)＝f(1＋x)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)设g(x)＝x，m>0，求函数g(x)在[0，m]上的最大值．
解 (1)因为图象与y轴的交点坐标为(0,1)，所以c＝1，
因为f(1－x)＝f(1＋x)，
所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以b＝－2，
所以f(x)＝x2－2x＋1.
(2)因为f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，
所以g(x)＝x|x－1|＝
作出函数g(x)的图象如图所示．
当0时，g(x)max＝g(m)＝m2－m，
综上，g(x)max＝
13.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：
①b2>4ac； ②2a－b＝1；
③a－b＋c＝0； ④5a0，即b2>4ac，①正确；
对称轴为x＝－1，即－＝－1,2a－b＝0，②错误；
结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；
由对称轴为x＝－1知，b＝2a.
又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a
查看更多
