【数学】2021届一轮复习人教版(文理通用)第8章第9讲圆锥曲线的综合问题(理)第3课时定点、定值、探索性问题作业

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【数学】2021届一轮复习人教版(文理通用)第8章第9讲圆锥曲线的综合问题(理)第3课时定点、定值、探索性问题作业

对应学生用书[练案64理][练案59文]‎ 第三课时 定点、定值、探索性问题 A组基础巩固 一、选择题 ‎1.(2020·湖北宜昌部分示范高中协作体联考)椭圆+=1(a>b>0)的离心率,则双曲线-=1的离心率为( D )‎ A.2  B. ‎ C.  D. ‎[解析] 椭圆离心率e1==,‎ ‎∴e=1-=,即=,‎ ‎∴双曲线的离心率e===.故选D.‎ ‎2.已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1,F2,P是它们的一个交点,且∠F1PF2=,记椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2,则+=( A )‎ A.4  B.‎2‎ ‎ C.2  D.3‎ ‎[解析] 设椭圆的长半轴长为a1,双曲线的实半轴长为a2,不妨设点P在第一象限,根据椭圆和双曲线的定义,得|PF1|+|PF2|=‎2a1,|PF1|-|PF2|=‎2a2,所以|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2.又|F‎1F2|=‎2c,∠F1PF2=,所以在△F1PF2中,|F‎1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2,即‎4c2=(a1+a2)2+(a1-a2)2-2(a1+a2)(a1-a2)cos,化简得‎3a+a=‎4c2,两边同除以c2,得+=4.故选A.‎ ‎3.直线l与抛物线C:y2=2x交于A,B两点,O为坐标原点,若直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,且满足k1k2=,则直线l过定点( A )‎ A.(-3,0)  B.(0,-3) ‎ C.(3,0)  D.(0,3)‎ ‎[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),因为k1k2=,所以·=.又y=2x1,y=2x2,所以y1y2=6.将直线l:x=my+b代入抛物线C:y2=2x得y2-2my-2b=0,所以y1y2=-2b=6,得b=-3,即直线l的方程为x=my-3,所以直线l过定点(-3,0).‎ ‎4.(2019·长春监测)已知O为坐标原点,设F1,F2分别是双曲线x2-y2=1的左、右焦点,P为双曲线左支上任一点,过点F1作∠F1PF2的角平分线的垂线,垂足为H,则|OH|=( A )‎ A.1  B.2 ‎ C.4  D. ‎[解析] 如图所示,延长F1H交PF2于点Q,由PH为∠F1PF2的平分线及PH⊥F1Q,可知|PF1|=|PQ|,根据双曲线的定义,得|PF2|-|PF1|=2,从而|QF2|=2,在△F1QF2中,易知OH为中位线,故|OH|=1.故选A.‎ ‎5.(2020·安徽1号卷A10联盟联考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)上存在两点M、N关于直线2x-3y-1=0对称,且线段MN中点的纵坐标为,则椭圆C的离心率是( B )‎ A.  B. ‎ C.  D. ‎[解析] 设M(x1,y1),N(x2,y2),则+=1,‎ +=1,两式相减可得 +=0,‎ 即=-·.‎ ‎∵线段MN中点的纵坐标为,∴2x-3×-1=0,‎ 解得x=,于是-=-·,解得=,‎ ‎∴椭圆C的离心率e==,故选B.‎ ‎(或直接利用性质kMN·kOP)=-,其中P为线段MN的中点).‎ ‎6.(2020·福建莆田质检)已知直线l过抛物线C:x2=6y的焦点F,交C于A,B两点,交C的准线于点P,若=,则|AB|=( A )‎ A.8  B.9 ‎ C.11  D.16‎ ‎[解析] 过A作准线的垂线,垂足为H,则|AF|=|AH|,‎ 又=,∴|AH|=|AP|,‎ ‎∴kAP=,又F(0,),‎ ‎∴AB的方程为y=x+,‎ 由,得y2-5y+=0,∴yA+yB=5,‎ ‎∴|AB|=yA+yB+p=5+3=8,故选A.‎ ‎7.(2020·广东惠州调研)已知椭圆+=1(a>b>0)的短轴长为2,上顶点为A,左顶点为B,左、右焦点分别是F1,F2,且△F1AB的面积为,点P为椭圆上的任意一点,则+的取值范围是( D )‎ A.[1,2]  B.[,]‎ C.[,4]  D.[1,4]‎ ‎[解析] 由已知得2b=2,故b=1,‎ ‎∵△F1AB的面积为,‎ ‎∴(a-c)b=,∴a-c=2-,‎ 又a2-c2=(a-c)(a+c)=b2=1,∴a=2,c=,‎ ‎∴+===,‎ 又2-≤|PF1|≤2+,∴1≤-|PF1|2+4|PF1|≤4,‎ ‎∴1≤+≤4.‎ 即+的取值范围为[1,4].故选D.‎ 二、填空题 ‎8.(2019·山西重点中学联考)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率e=2,过双曲线上一点M作直线MA,MB交双曲线于A,B两点,且斜率分别为k1,k2,若直线AB过原点,则k1·k2的值为3 .‎ ‎[解析] 由题意知,e===2⇒b2=‎3a2,‎ 则双曲线方程可化为3x2-y2=‎3a2,‎ 设A(m,n),M(x,y)(x≠±m),则B(-m,-n),‎ k1·k2=·===3.‎ ‎9.直线m与椭圆+y2=1交于P1、P2两点,线段P1P2的中点为P,设直线m的斜率为k1(k1≠0),直线OP的斜率为k2,则k1k2的值为- .‎ ‎[解析] 由点差法可求出k1=-·,‎ ‎∴k1·=-,即k1k2=-.‎ ‎10.(2017·全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=6 .‎ ‎[解析] 依题意知抛物线C:y2=8x的焦点为F(2,0),因为M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N,M为FN的中点,设M(a,b)位于第一象限,所以a=1,b=2,所以N(0,4),|FN|==6.‎ 三、解答题 ‎11.(2019·安徽模拟)设椭圆E:+=1的焦点在x轴上.‎ ‎(1)若椭圆E的焦距为1,求椭圆E的方程;‎ ‎(2)设F1,F2分别是椭圆E的左、右焦点,P为椭圆E上第一象限内的点,直线F2P交y轴于点Q,并且F1P⊥F1Q.证明:当a变化时,点P在某定直线上.‎ ‎[解析] (1)因为焦距为1,所以‎2a2-1=,解得a2=.‎ 故椭圆E的方程为+=1.‎ ‎(2)设P(x0,y0),F1(-c,0),F2(c,0),其中c=.‎ 由题设知x0≠c,则直线F1P的斜率kF1P=,‎ 直线F2P的斜率kF2P=.‎ 故直线F2P的方程为y=(x-c).‎ 当x=0时,y=,即点Q坐标为(0,).‎ 因此,直线F1Q的斜率为kF1Q=.‎ 由于F1P⊥F1Q,所以kF1P·kF1Q=·=-1.‎ 化简得y=x-(‎2a2-1).①‎ 将①代入椭圆E的方程,由于点P(x0,y0)在第一象限,解得x0=a2,y0=1-a2,即点P在定直线x+y=1上.‎ ‎12.(2019·山东滨州市期末)已知椭圆C:+=1(a>b>0),点M(-1,)在椭圆C上,椭圆C的离心率是.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)设点A为椭圆长轴的左端点,P,Q为椭圆上异于椭圆C长轴端点的两点,记直线AP,AQ斜率分别为k1,k2,若k1k2=-,请判断直线PQ是否过定点?若过定点,求该定点坐标,若不过定点,请说明理由.‎ ‎[解析] (1)由点M(-1,)在椭圆C上,且椭圆C的离心率是,‎ 可得,解得:,‎ 故椭圆C的标准方程为+=1.‎ ‎(2)设点P,Q的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),‎ ‎(ⅰ)当直线PQ斜率不存在时,由题意知,直线方程和曲线方程联立得:P(1,),Q(1,-),‎ ‎(ⅱ)当直线PQ的斜率存在时,设直线PQ的方程为y=kx+m,‎ 联立消去y得:‎ ‎(4k2+3)x2+8kmx+(‎4m2‎-12)=0,‎ 由Δ=64k‎2m2‎-4(4k2+3)(‎4m2‎-12)=48(4k2-m2+3)>0,‎ 有4k2+3>m2,‎ 由韦达定理得:x1+x2=-,x1x2=,‎ 故k1k2==-,可得:‎ ‎4y1y2+(x1+2)(x2+2)=0,‎ 可得:4(kx1+m)(kx2+m)+(x1+2)(x2+2)=0,‎ 整理为:(4k2+1)x1x2+(‎4km+2)(x1+x2)+‎4m2‎+4=0,‎ 故有(4k2+1)-(‎4km+2)+‎4m2‎+4=0,‎ 化简整理得:m2-km-2k2=0,解得:m=2k或m=-k,‎ 当m=2k时直线PQ的方程为y=kx+2k,‎ 即y=k(x+2),过定点(-2,0)不合题意,‎ 当m=-k时直线PQ的方程为y=kx-k,即y=k(x-1),过定点(1,0),‎ 综上,由(ⅰ)(ⅱ)如,直线PQ过定点(1,0).‎ B组能力提升 ‎1.(2019·大连模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则的值一定等于( A )‎ A.-4  B.4 ‎ C.p2  D.-p2‎ ‎[解析] ①若焦点弦AB⊥x轴,则x1=x2=,则x1x2=;②若焦点弦AB不垂直于x轴,可设直线AB:y=k(x-),联立y2=2px得k2x2-(k2p+2p)x+=0,则x1x2=.∵y=2px1,y=2px2,∴yy=4p2x1x2=p4.又∵y1y2<0,∴y1y2=-p2.故=-4.‎ ‎2.如图所示,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,当⊥时,其离心率为,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于( A )‎ A.  B. C.-1  D.+1‎ ‎[解析] 椭圆中“和”对应双曲线中“差”,故选A.事实上,设“黄金双曲线”‎ 方程为-=1,‎ 则B(0,b),F(-c,0),A(a,0).‎ 在“黄金双曲线”中,‎ 因为⊥,所以·=0.‎ 又=(c,b),=(-a,b).‎ 所以b2=ac.而b2=c2-a2,所以c2-a2=ac.‎ 在等号两边同除以a2,解得e=.‎ ‎3.(2019·陕西省渭南市模拟)抛物线y2=4x的焦点为F,点P(x,y)为该抛物线上的动点,又点A(-1,0),则的最小值是( B )‎ A.  B. ‎ C.  D. ‎[解析] 由题意可知,抛物线的准线方程为x=-1,‎ A(-1,0),过P作PN垂直直线x=-1于N,‎ 由抛物线的定义可知PF=PN,连结PA,‎ =最小⇔∠NAP最小⇔∠PAF最大⇔PA与抛物线y2=4x相切.‎ 设PA的方程为:y=k(x+1),所以,‎ 解得:k2x2+(2k2-4)x+k2=0,‎ 所以Δ=(2k2-4)2-4k4=0,解得k=±1,‎ 所以∠NPA=45°,‎ =cos∠NPA=,故选B.‎ ‎4.(2019·河南中原名校联考)直线l与抛物线y2=4x交于两不同点A,B,其中A(x1,y1),B(x2,y2),若y1y2=-36,则直线l恒过点的坐标是(9,0) .‎ ‎[解析] 设直线l的方程为x=my+n,则由得y2-4my-4n=0,∴又y1y2=-36,∴-4n ‎=-36,∴n=9,∴直线l方程为x=my+9,恒过(9,0).‎ ‎5.(2020·江西临川一中月考)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率,一个长轴顶点在直线y=x+2上,若直线l与椭圆交于P,Q两点,O为坐标原点,直线OP的斜率为k1,直线OQ的斜率为k2.‎ ‎(1)求该椭圆的方程.‎ ‎(2)若k1·k2=-,试问△OPQ的面积是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.‎ ‎[解析] (1)由e==,又由a>b>0,‎ 一个长轴顶点在直线y=x+2上,‎ 可得:a=2,c=,b=1,‎ 故此椭圆的方程为+y2=1.‎ ‎(2)设P(x1,y1),Q(x1,y1),当直线PQ的斜率存在时,设其方程为y=kx+m联立椭圆的方程得:(4k2+1)x2+8kmx+‎4m2‎-4=0,‎ 由Δ=64k‎2m2‎-4(4k2+1)(‎4m2‎-4)>0,‎ 可得m2<4k2+1,‎ 则x1+x2=-,x1·x2=,‎ ‎|PQ|=·|x1-x2|‎ ‎=· ‎=4· 又点O到直线y=kx+m的距离d=,‎ S△OPQ=·d·|PQ|=2|m|·,‎ 由于k1·k2===-,‎ 可得:4k2=‎2m2‎-1,‎ 故S△OPQ=2|m|·=1,‎ 当直线PQ的斜率不存在时,可算得:S△OPQ=1,‎ 故△OPQ的面积为定值1.‎ ‎6.(2020·广、深、珠三校联考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为 ‎,且经过点(-1,).‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)过点(,0)作直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,试问在x轴上是否存在定点Q使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.‎ ‎[解析] (1)由题意可得=,+=1,‎ 又a2-b2=c2,‎ 解得a2=4,b2=1.‎ 所以,椭圆C的方程为+y2=1,‎ ‎(2)存在定点Q(,0),满足直线QA与直线QB恰关于x轴对称.‎ 设直线l的方程为x+my-=0,与椭圆C联立,‎ 整理得,(4+m2)y2-2my-1=0.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),定点Q(t,0).(依题意t≠x1,t≠x2)‎ 则由韦达定理可得,y1+y2=,‎ y1y2=.‎ 直线QA与直线QB恰关于x轴对称,等价于AQ,BQ的斜率互为相反数.‎ 所以,+=0,‎ 即得y1(x2-t)+y2(x1-t)=0.‎ 又x1+my1-=0,x2+my2-=0,‎ 所以,y1(-my2-t)+y2(-my1-t)=0,‎ 整理得,(-t)(y1+y2)-2my1y2=0.‎ 从而可得,(-t)·-‎2m·=0,‎ 即‎2m(4-t)=0,‎ 所以,当t=,即Q(,0)时,直线QA与直线QB恰关于x轴对称成立.特别地,当直线l为x轴时,Q(,0)也符合题意.综上所述,存在x轴上的定点Q(,0),满足直线QA与直线QB关于x轴对称.‎
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