【数学】2021届一轮复习人教A版（文）第十章第一讲 椭圆作业
第十章 圆锥曲线与方程
第一讲 椭 圆
1.[2020湖南岳阳入学调研考试]已知定点M(1,0)和椭圆x29+y23=1上两个动点P,Q满足MP⊥MQ,则MP·QP取得最小值时点P的横坐标为( )
A.12 B.1 C.32 D.52
2.[2020安徽省示范高中名校联考]已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F2分别为其左、右焦点,|F1F2|=22,B为短轴的一个端点,三角形BF1O(O为坐标原点)的面积为7,则椭圆的长轴长为( )
A.4 B.8 C.1+332 D.1+33
3.[2020陕西省部分学校摸底检测]已知F1,F2分别为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,点P是椭圆上位于第一象限的点,延长PF2交椭圆于点Q,若PF1⊥PQ,且|PF1|=|PQ|,则椭圆的离心率为( )
A.2 - 2 B.3-2 C.2 - 1 D.6-3
4.[2020福建省三明市模拟]已知P是椭圆x225+y29=1上一点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,且∠F1PF2=60°,则△F1PF2面积为( )
A.33 B.23 C.3 D.33
5.[2019唐山市高三摸底考试]已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)和双曲线E:x2 - y2=1有相同的焦点F1,F2,且椭圆C与双曲线E的离心率之积为1,P为两曲线的一个交点,则△F1PF2为( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定
6.[2020洛阳市第一次联考]已知椭圆C1:x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)与双曲线C2:x2a22-y2b22=1(a2>0,b2>0)有相同的焦点F1,F2,点P是曲线C1与C2的一个公共点,e1,e2分别是C1和C2的离心率,若PF1⊥PF2,则4e12+e22的最小值为 .
7.[2020惠州市二调]已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为2,上顶点为A,左顶点为B,左、右焦点分别是F1,F2,且△F1AB的面积为2 - 32,点P为椭圆上的任意一点,则1|PF1|+1|PF2|的取值范围是 .
8.[2020陕西省百校第一次联考]已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,椭圆上一动点M到点F的最远距离和最近距离分别为3+1和3 - 1.
(1)求椭圆的方程;
(2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点,若AC·DB+AD·CB=10,求k的值.
9.[2019湖北十堰调研]已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,F是椭圆C的一个焦点,点M(0,2),直线MF的斜率为63.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若过点M的直线l与椭圆C交于A,B两点,线段AB的中点为N,且|AB|=|MN|,求直线l的方程.
10.[2020四川五校联考]设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为53,以F1F2为直径的圆与椭圆C在第一象限的交点为P,则直线PF1的斜率为( )
A.13 B.12 C.33 D.32
11.[2019江西南昌模拟]已知F1,F2为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,过原点O且倾斜角为30°的直线l与椭圆C的一个交点为A,若AF1⊥AF2,S△F1AF2=2,则椭圆C的方程为( )
A.x26+y22=1 B.x28+y24=1 C.x28+y22=1 D.x220+y216=1
12.[2019蓉城名校高三第一次联考]已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1( - c,0),F2(c,0),P是椭圆上一点,|PF2|=|F1F2|=2c,若∠PF2F1∈(π3,π),则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A.(0,12) B.(0,13) C.(12,1) D.(13,12)
13.[2019江西名校高三质检]如图10 - 1 - 1所示,A1,A2是椭圆C:x218+y29=1的短轴端点,点M在椭圆上运动,且点M不与A1,A2重合,点N满足NA1⊥MA1,NA2⊥MA2,则S△MA1A2S△NA1A2=( )
图10 - 1 - 1
A.2 B.3 C.4 D.52
14.[2020广东七校联考]已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),焦距为2c,直线l:y=24x与椭圆C相交于A,B两点,若|AB|=2c,则椭圆C的离心率为 .
15.[2020四省八校联考]设点P是椭圆C:x28+y24=1上的动点,F为椭圆C的右焦点,定点A(2,1),则|PA|+|PF|的取值范围是 .
16.[2020南昌市测试]已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的四个顶点中的三个是边长为23的等边三角形的三个顶点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设直线y=kx+m与圆O:x2+y2=2b23相切且交椭圆E于M,N两点,求|MN|的最大值.
17.[新情境题]有一个高为12 cm,底面圆半径为3 cm的圆柱形玻璃杯,杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半(玻璃杯厚度忽略不计),当玻璃杯倾斜时,杯中水面的形状为椭圆,则在杯
中的水不溢出的前提下,该椭圆的离心率的取值范围是( )
A.(0,55] B.[55,1) C.(0,255] D.[255,1)
18.[交汇题]2019年1月3日10点26分(北京时间),“嫦娥四号”探测器成功着陆在月球背面东经177.6度、南纬45.5度附近的预选着陆区,并通过“鹊桥”中继星传回了月背影像图,揭开了古老月背的神秘面纱.如图10 - 1 - 2所示,
图10 - 1 - 2
假设“嫦娥四号”卫星沿地月转移轨道飞向月球后,在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,若用e1和e2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的离心率,则( )
A.e1>e2 B.e1
0),则|PF2|=2a - m,|QF2|=2m - 2a,|QF1|=4a - 2m.由题意知△PQF1为等腰直角三角形,所以|QF1|=2|PF1|,故m=4a - 22a.因为|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,所以(4a - 22a)2+[2a - (4a - 22a)]2=4c2,整理得4×(ca)2=36 - 242,即ca=9 - 62=6 - 3,故选D.
【解题关键】 求解本题的关键是利用题设条件构建关于a,c的一个方程.
4.A 解法一 由椭圆标准方程,得a=5,b=3,所以c=a2 - b2=4.设|PF1|=t1,|PF2|=t2,由椭圆的定义可得t1+t2=10 ①.在△F1PF2中,∠F1PF2=60°,根据余弦定理可得|PF1|2+|PF2|2 - 2|PF1|·|PF2|cos 60°=|F1F2|2=(2c)2=64,整理可得t12+t22 - t1t2=64 ②.把①两边平方得t12+t22+2t1t2=100 ③.由③ - ②可得t1t2=12,所以S△F1PF2=12t1t2sin∠F1PF2=33.故选A.
解法二 由椭圆焦点三角形的面积公式,得S△F1PF2=b2tanθ2=9tan60°2=33.故选A.
5.B 由题意可知,ca×2=1,即c=22a.因为c=2,所以a=2,b2=a2 - c2=2.不妨设点P与点F2在y轴右侧,则|PF1|+|PF2|=4,|PF1| - |PF2|=2,解得|PF1|=3,|PF2|=1,即|PF1|2=|F1F2|2+|PF2|2,所以△F1PF2为直角三角形,故选B.
6.92 设点P在双曲线的右支上,F2为两曲线的右焦点,由椭圆及双曲线的定义可得|PF1|+|PF2|=2a1,|PF1| - |PF2|=2a2,解得|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1 - a2.设|F1F2|=2c,因为PF1⊥PF2,所以(a1+a2)2+(a1 -
a2)2=4c2,整理得a12+a22=2c2,两边同时除以c2,得1e12+1e22=2.所以4e12+e22=12(4e12+e22)(1e12+1e22)=12(5+4e12e22+e22e12)≥12×(5+2×2)=92,当且仅当4e12e22=e22e12,且1e12+1e22=2时取“=”,即当e1=32,e2=62时取“=”,故4e12+e22的最小值为92.
7.[1,4] 由已知得2b=2,故b=1,∴a2 - c2=b2=1 ①.∵△F1AB的面积为2 – 32,∴12(a - c)b=2 – 32,∴a - c=2 – 3 ②.由①②联立解得,a=2,c=3.由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a=4,∴1|PF1|+1|PF2|=|PF1|+|PF2||PF1||PF2|=4|PF1|(4 - |PF1|)=4 - |PF1|2+4|PF1|,又2 – 3≤|PF1|≤2+3,∴1≤ - |PF1|2+4|PF1|≤4,
∴1≤1|PF1|+1|PF2|≤4,即1|PF1|+1|PF2|的取值范围是[1,4].
8.(1)由题意知,a+c=3+1,a - c=3 - 1.
又a2=b2+c2,所以可得b=2,c=1,a=3,
所以椭圆的方程为x23+y22=1.
(2)由(1)可知F( - 1,0),则直线CD的方程为y=k(x+1),
由y=k(x+1),x23+y22=1,
消去y得(2+3k2)x2+6k2x+3k2 - 6=0.
Δ=36k4 - 4(2+3k2)(3k2 - 6)=48k2+48>0.
设C(x1,y1),D(x2,y2),
则x1+x2= - 6k22+3k2,x1x2=3k2 - 62+3k2.
又A( - 3,0),B(3,0),
所以AC·DB+AD·CB
=(x1+3,y1)·(3 - x2, - y2)+(x2+3,y2)·(3 - x1, - y1)
=6 - 2x1x2 - 2y1y2
=6 - 2x1x2 - 2k2(x1+1)(x2+1)
=6 - (2+2k2)x1x2 - 2k2(x1+x2) - 2k2
=6+2k2+122+3k2
=10,
解得k=±105.
9.(1)由题意可得ca=32,2c=63,解得a=22,c=6,
则b2=a2 - c2=2.
所以椭圆C的方程为x28+y22=1.
(2)当直线l的斜率不存在时,|AB|=22,|MN|=2,|AB|≠|MN|,不合题意,所以直线l的斜率存在.
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+2,
由y=kx+2,x28+y22=1消去y并整理,得(1+4k2)x2+16kx+8=0.
Δ=(16k)2 - 32(1+4k2)=128k2 - 32>0,即k2>14.
设A(x1,y1),B(x2,y2),N(x0,y0),则x1+x2= - 16k1+4k2,x1x2=81+4k2,则x0=x1+x22= - 8k1+4k2.
因为|AB|=|MN|,
所以1+k2|x1 - x2|=1+k2|x0 - 0|,
则(x1+x2)2 - 4x1x2=|x0|,即424k2 - 11+4k2=|8k1+4k2|.
整理得k2=12>14,解得k=±22.
于是直线l的方程为y=±22x+2.
10.B 解法一 由题意可知,|F1F2|=2c,又由e=ca=53得c=53a,所以|F1F2|=253a.因为点P是以F1F2为直径的圆与椭圆C在第一象限的交点,故PF1⊥PF2且|PF1|>|PF2|,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2.又|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF1|·|PF2|=89a2,所以|PF1|=43a,|PF2|=23a,所以直线PF1的斜率kPF1=tan∠PF1F2=|PF2||PF1|=12.故选B.
解法二 因为e=ca=53,故可设a=3,c=5,则b=2,S△PF1F2=b2tan∠F1PF22=b2tan 45°=12|PF1|·|PF2|=4.因为点P在第一象限,所以|PF1|>|PF2|,又|PF1|+|PF2|=2a=6,故|PF1|=4,|PF2|=2,所以直线PF1的斜率kPF1=tan∠PF1F2=|PF2||PF1|=12.故选B.
11.A 因为点A在椭圆上,所以|AF1|+|AF2|=2a,把该等式两边同时平方,得|AF1|2+|AF2|2+2|AF1||AF2|=4a2.又AF1⊥AF2,所以|AF1|2+|AF2|2=4c2,则2|AF1||AF2|=4a2 - 4c2=4b2,即|AF1||AF2|=2b2,所以S△AF1F2=12|AF1||AF2|=b2=2.因为△AF1F2是直角三角形,∠F1AF2=90°,且O为F1F2的中点,所以|OA|=12|F1F2|=c.不妨设点A在第一象限,则∠AOF2=30°,所以A(32c,12c),所以S△AF1F2=12|F1F2|·12c=12c2=2,即c2=4,故a2=b2+c2=6,所以椭圆C的方程为x26+y22=1,故选A.
12.D 根据题意知,|PF2|=|F1F2|=2c,则|PF1|=2a - 2c.在△PF1F2中,cos∠PF2F1=4c2+4c2 - (2a - 2c)22×4c2=c2 - a2+2ac2c2=12+2ac - a22c2=12+1e - 12(1e)2.因为∠PF2F1∈(π3,π),所以cos∠PF2F1∈( - 1,12),所以 - 1<12+1e - 12(1e)2<12.
所以3+2e - (1e)2>0,1e - 12(1e)2<0,即(1e)2 - 2e - 3<0,(1e)2 - 2e>0,
即(1e - 3)(1e+1)<0,(1e - 2)1e>0,又e>0,解得2<1e<3,130.
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2= - 6km1+3k2,x1·x2=3(m2 - 3)1+3k2.
由弦长公式得|MN|=1+k2·|x1 - x2|=1+k2·(x1+x2)2 - 4x1x2=1+k2·12(9k2+3 - m2)1+3k2,
将m2=2(1+k2)代入上式得,
|MN|=1+k2·12(9k2+3 - 2k2 - 2)1+3k2
=6·(2+2k2)(7k2+1)1+3k2
≤6·(2+2k2)+(7k2+1)21+3k2
=362,
当且仅当2+2k2=7k2+1,即k2=15时等号成立,故|MN|的最大值为362.
17.C 由题意知,当玻璃杯倾斜至杯中的水刚好不溢出时,杯中水面所形成的椭圆的离心率最大,易知此时椭圆的长轴长为122+62=65,短轴长为6,所以椭圆的离心率e=1 - (335)2=255,所以e∈(0,255].
18.A 设椭圆轨道Ⅰ和椭圆轨道Ⅱ的长轴长分别为2a1,2a2,焦距分别为2c1,2c2,由题意知a1>a2>0,c1>c2>0,且a1 - c1=a2 - c2.令a1 - c1=a2 - c2=t,t>0,∴a1=t+c1,a2=t+c2.
∴1e1=a1c1=c1+tc1=1+tc1,1e2=a2c2=c2+tc2=1+tc2.
∵c1>c2>0,t>0,∴tc1<tc2,∴1e1<1e2,∴e1>e2.故选A.
19.A 由题意易知曲线为椭圆,故①正确.
画出轴截面的示意图如图D 10 - 1 - 5所示,
图D 10 - 1 - 5
A,B为截面与圆锥的两条母线的交点.
因为∠AMO=∠BMO=30°,MA⊥AB,MO=1,
所以AO=12MO=12,∠OMB=∠OBM=30°,
所以BO=MO=1,所以AOBO=12.
因为曲线上任意两点之间的线段中最长的线段为AB,
所以点O为该曲线上任意两点之间的线段中最长的线段的三等分点,所以②正确.
因为曲线是一个封闭的曲线,所以该曲线上任意两点间的距离中没有最短的距离,故③错误.
易知cos∠AOM=cos 60°=12,cos∠AMO=cos 30°=32,则椭圆的离心率e=cos∠AOMcos∠AMO=1232=33,故④正确.故选A.
