江苏省泰州市高考数学一模试卷

江苏省泰州市高考数学一模试卷

‎2015年江苏省泰州市高考数学一模试卷 ‎　‎ 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）‎ ‎1．（5分）（2015•泰州一模）已知A={1，3，4}，B={3，4，5}，则A∩B=　{3，4}　．‎ ‎【考点】： 交集及其运算．‎ ‎【专题】： 集合．‎ ‎【分析】： 由A与B，求出两集合的交集即可．‎ ‎【解析】： 解：∵A={1，3，4}，B={3，4，5}，‎ ‎∴A∩B={3，4}．‎ 故答案为：{3，4}‎ ‎【点评】： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2015•泰州一模）函数f（x）=2sin（3x+）的最小正周期T=　　．‎ ‎【考点】： 三角函数的周期性及其求法．‎ ‎【专题】： 计算题．‎ ‎【分析】： 由函数解析式找出ω的值，代入周期公式T=，即可求出函数的最小正周期．‎ ‎【解析】： 解：函数f（x）=2sin（3x+），‎ ‎∵ω=3，∴T=．‎ 故答案为：‎ ‎【点评】： 此题考查了三角函数的周期性及其求法，熟练掌握周期公式是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2015•泰州一模）复数z满足iz=3+4i（i是虚数单位），则z=　4﹣3i　．‎ ‎【考点】： 复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【专题】： 数系的扩充和复数．‎ ‎【分析】： 利用复数的运算法则即可得出．‎ ‎【解析】： 解：∵iz=3+4i，‎ ‎∴﹣i•iz=﹣i（3+4i），‎ ‎∴z=4﹣3i，‎ 故答案为：4﹣3i．‎ ‎【点评】： 本题考查了复数的运算法则，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2015•泰州一模）函数y=的定义域为　[2，+∞）　．‎ ‎【考点】： 函数的定义域及其求法．‎ ‎【专题】： 计算题；函数的性质及应用．‎ ‎【分析】： 由根式内部的代数式大于等于0，然后求解指数不等式．‎ ‎【解析】： 解：由2x﹣4≥0，得2x≥4，则x≥2．‎ ‎∴函数y=的定义域为[2，+∞）．‎ 故答案为：[2，+∞）．‎ ‎【点评】： 本题考查了函数的定义域及其求法，考查了指数不等式的解法，是基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2015•泰州一模）执行如图所示的流程图，则输出的n为　4　．‎ ‎【考点】： 程序框图．‎ ‎【专题】： 图表型；算法和程序框图．‎ ‎【分析】： 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当S=63时，不满足条件S＞63，退出循环，输出n的值为4．‎ ‎【解析】： 解：模拟执行程序框图，可得 S=511，n=1‎ 满足条件S＞63，S=255，n=2‎ 满足条件S＞63，S=127，n=3‎ 满足条件S＞63，S=63，n=4‎ 不满足条件S＞63，退出循环，输出n的值为4．‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】： 本题主要考查了程序框图和算法，正确得到每次循环的S，n的值是解题的关键，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2015•泰州一模）若数据2，x，2，2的方差为0，则x　=2　．‎ ‎【考点】： 极差、方差与标准差．‎ ‎【专题】： 概率与统计．‎ ‎【分析】： 由已知利用方差公式得到关于x的方程解之．‎ ‎【解析】： 解：因为数据2，x，2，2的方差为0，由其平均数为，得到=0，解得x=2；‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】： 本题考查了调查数据的方差的计算公式的运用，熟记公式是关键，属于基础题 ‎　‎ ‎7．（5分）（2015•泰州一模）袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为　　．‎ ‎【考点】： 古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【专题】： 排列组合．‎ ‎【分析】： 从中任取两个球共有红1红2，红1白1，红1白2，红2白1，红2白2，白1白2，共6种取法，其中颜色相同只有2种，根据概率公式计算即可 ‎【解析】： 解：从中任取两个球共有红1红2，红1白1，红1白2，红2白1，红2白2，白1白2，共6种取法，其中颜色相同只有2种，‎ 故从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率P==；‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】： 本题考查了古典概型概率的问题，属于基础题 ‎　‎ ‎8．（5分）（2015•泰州一模）等比数列an中，a1+‎32a6=0，a‎3a4a5=1，则数列前6项和为　﹣　．‎ ‎【考点】： 等比数列的通项公式．‎ ‎【专题】： 等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】： 根据a1+‎32a6=0，求出公比q的值，再根据a‎3a4a5=1，求出a4与a1，即可计算数列的前6项和S6．‎ ‎【解析】： 解：∵等比数列{an}中，a1+‎32a6=0，‎ ‎∴q5==﹣，‎ 即公比q=﹣；‎ 又∵a‎3a4a5=1，‎ ‎∴a4=1，‎ ‎∴a1===﹣8；‎ ‎∴该数列的前6项和为 S6===﹣．‎ 故答案为：﹣．‎ ‎【点评】： 本题考查了等比数列的通项公式与前n项和的计算问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2015•泰州一模）已知函数f（x）=是奇函数，则sinα=　﹣1　．‎ ‎【考点】： 函数奇偶性的性质．‎ ‎【专题】： 函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．‎ ‎【分析】： 由已知中函数f（x）=是奇函数，可得cos（x+α）=sinx恒成立，进而α=﹣+2kπ，k∈Z，进而可得sinα的值．‎ ‎【解析】： 解：当x＜0时，﹣x＞0，‎ 则f（x）=﹣x2+cos（x+α），f（﹣x）=（﹣x）2+sin（﹣x）=x2﹣sinx，‎ ‎∵函数f（x）是奇函数，‎ ‎∴f（﹣x）=﹣f（﹣x），‎ ‎∴cos（x+α）=sinx恒成立，‎ ‎∴α=﹣+2kπ，k∈Z，‎ ‎∴sinα=﹣1，‎ 故答案为：﹣1‎ ‎【点评】： 本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，诱导公式，特殊角的三角函数值，是三角函数与函数图象和性质的综合应用，难度中档．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2015•泰州一模）双曲线﹣=1的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e=　　．‎ ‎【考点】： 双曲线的简单性质．‎ ‎【专题】： 计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】： 求出双曲线的左顶点以及右焦点，以及渐近线方程，运用两点的距离公式和点到直线的距离公式，列出a、b、c关系式，然后由离心率公式即可计算得到．‎ ‎【解析】： 解：双曲线﹣=1的右焦点为（c，0），左顶点为（﹣a，0），‎ 右焦点到双曲线渐近线bx﹣ay=0的距离为：==b，‎ 右焦点（c，0）到左顶点为（﹣a，0）的距离为：a+c，‎ 由题意可得，b=（a+c），‎ 即有4b2=a2+c2+‎2ac，即4（c2﹣a2）=a2+c2+‎2ac，‎ 即‎3c2﹣‎5a2﹣‎2ac=0，‎ 由e=，则有3e2﹣2e﹣5=0，‎ 解得，e=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】： 本题考查双曲线的离心率的求法，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）（2015•泰州一模）若α、β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为　②④　．（写出所有真命题的序号）‎ ‎①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线．‎ ‎②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直．‎ ‎③若直线m⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线．‎ ‎④若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．‎ ‎【考点】： 空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【专题】： 空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】： 利用线面垂直的性质定理对四个命题分别分析解答．‎ ‎【解析】： 解：对于①，若直线m⊥α，如果α，β互相垂直，则在平面β内，存在与直线m平行的直线．故①错误；‎ 对于②，若直线m⊥α，则直线m垂直于平面α内的所有直线，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直．故②正确；‎ 对于③，若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．故③错误；‎ 对于④，若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．故④正确；‎ 故答案为：②④．‎ ‎【点评】： 本题考查了线面垂直的性质定理的运用判断直线的位置关系；关键是熟练运用定理，全面考虑．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2015•泰州一模）已知实数a，b，c满足a2+b2=c2，c≠0，则的取值范围为　　．‎ ‎【考点】： 基本不等式．‎ ‎【专题】： 不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】： 实数a，b，c满足a2+b2=c2，c≠0，化为=1，令=cosθ，=sinθ，θ∈[0，2π）．可得k===，表示点P（2，0）与圆x2+y2=1上的点连线的在的斜率．利用直线与圆的位置关系即可得出．‎ ‎【解析】： 解：∵实数a，b，c满足a2+b2=c2，c≠0，‎ ‎∴=1，‎ 令=cosθ，=sinθ，θ∈[0，2π）．‎ ‎∴k===，表示点P（2，0）与圆x2+y2=1上的点连线的直线的斜率．‎ 设直线l：y=k（x﹣2），‎ 则，‎ 化为，‎ 解得．‎ ‎∴的取值范围为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】： 本题考查了三角函数换元法、直线的斜率计算公式、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）（2015•泰州一模）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若∠B=∠C且‎7a2+b2+c2=4，则△ABC的面积的最大值为　　．‎ ‎【考点】： 余弦定理；正弦定理．‎ ‎【专题】： 解三角形．‎ ‎【分析】： 由∠B=∠C得b=c，代入‎7a2+b2+c2=4化简，根据余弦定理求出cosC，由平方关系求出sinC，代入三角形面积公式求出表达式，由基本不等式即可求出三角形ABC面积的最大值．‎ ‎【解析】： 解：由∠B=∠C得b=c，代入‎7a2+b2+c2=4得，‎ ‎7a‎2+2b2=4，即2b2=4﹣‎7a2，‎ 由余弦定理得，cosC==，‎ 所以sinC===，‎ 则△ABC的面积S===a ‎==×≤××‎ ‎==，‎ 当且仅当‎15a2=8﹣‎15a2取等号，此时a2=，‎ 所以△ABC的面积的最大值为，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】： 本题考查余弦定理，平方关系，基本不等式的应用，以及三角形的面积公式，考查变形、化简能力．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2015•泰州一模）在梯形ABCD中，=2，=6，P为梯形ABCD所在平面上一点，且满足++4=，•=•，Q为边AD上的一个动点，则的最小值为　　．‎ ‎【考点】： 向量的加法及其几何意义．‎ ‎【专题】： 平面向量及应用．‎ ‎【分析】： 画图，根据向量的几何意义和++4=，可求出=2，||=4，设∠ADP=θ，根据•=•，求出cosθ，继而求出sinθ，再根据射影定理得到的最小值 ‎【解析】： 解：取AB的中点，连接PE，‎ ‎∵=2，‎ ‎∴=2，‎ ‎∴=，‎ ‎∴四边形DEBC为平行四边形，‎ ‎∴=，‎ ‎∵+=﹣2，++4=，‎ ‎∴=2，‎ ‎∵=6，‎ ‎∴=2，||=4，‎ 设∠ADP=θ，‎ ‎∵•=•，‎ ‎∴•=||||cosθ=•，‎ ‎∴cosθ=，‎ ‎∴sinθ=，‎ 当⊥时，最小，‎ ‎∴=|DP|sinθ|=2×=‎ 故答案为：‎ ‎【点评】： 本题考查了向量的几何意义以及向量的夹角公式，以及射影定理，属于中档题 ‎　‎ 二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎15．（14分）（2015•泰州一模）在平面直角坐标系xOy中，角α的终边经过点P（3，4）．‎ ‎（1）求sin（α+）的值；‎ ‎（2）若P关于x轴的对称点为Q，求•的值．‎ ‎【考点】： 平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数．‎ ‎【专题】： 平面向量及应用．‎ ‎【分析】： （1）由已知的α的三角函数值，然后利用两角和的正弦公式求值；‎ ‎（2）由已知求出Q的坐标，明确，的坐标，利用数量积公式解答．‎ ‎【解析】： 解：（1）∵角α的终边经过点P（3，4），∴，…（4分）‎ ‎∴．…（7分）‎ ‎（2）∵P（3，4）关于x轴的对称点为Q，‎ ‎∴Q（3，﹣4）．…（9分）‎ ‎∴，‎ ‎∴．　 …（14分）‎ ‎【点评】： 本题考查了三角函数的定义以及三角函数公式的运用、向量的数量积的运算．属于基础题．‎ ‎　‎ ‎16．（14分）（2015•泰州一模）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，EF∥AB，AB=2EF，平面BCF⊥平面ABCD，BF=CF，点G为BC的中点．‎ ‎（1）求证：直线OG∥平面EFCD；‎ ‎（2）求证：直线AC⊥平面ODE．‎ ‎【考点】： 直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【专题】： 空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】： （1）根据线线平行推出线面平行；（2）根据线面垂直的判定定理进行证明即可．‎ ‎【解析】： 证明（1）∵四边形ABCD是菱形，AC∩BD=O，∴点O是BD的中点，‎ ‎∵点G为BC的中点∴OG∥CD，…（3分）‎ 又∵OG⊄平面EFCD，CD⊂平面EFCD，∴直线OG∥平面EFCD．…（7分）‎ ‎（2）∵BF=CF，点G为BC的中点，∴FG⊥BC，‎ ‎∵平面BCF⊥平面ABCD，平面BCF∩平面ABCD=BC，FG⊂平面BCF，FG⊥BC∴FG⊥平面ABCD，…（9分）‎ ‎∵AC⊂平面ABCD∴FG⊥AC，‎ ‎∵，，∴OG∥EF，OG=EF，‎ ‎∴四边形EFGO为平行四边形，∴FG∥EO，…（11分）‎ ‎∵FG⊥AC，FG∥EO，∴AC⊥EO，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥DO，‎ ‎∵AC⊥EO，AC⊥DO，EO∩DO=O，EO、DO在平面ODE内，‎ ‎∴AC⊥平面ODE．…（14分）‎ ‎【点评】： 本题考查了线面平行，线面垂直的判定定理，本题属于中档题．‎ ‎　‎ ‎17．（14分）（2015•泰州一模）如图，我市有一个健身公园，由一个直径为‎2km的半圆和一个以PQ为斜边的等腰直角三角形△PRQ构成，其中O为PQ的中点．现准备在公园里建设一条四边形健康跑道ABCD，按实际需要，四边形ABCD的两个顶点C、D分别在线段QR、PR上，另外两个顶点A、B在半圆上，AB∥CD∥PQ，且AB、CD间的距离为‎1km．设四边形ABCD的周长为ckm．‎ ‎（1）若C、D分别为QR、PR的中点，求AB长；‎ ‎（2）求周长c的最大值．‎ ‎【考点】： 三角函数的最值；在实际问题中建立三角函数模型．‎ ‎【专题】： 计算题；应用题；函数的性质及应用；三角函数的求值．‎ ‎【分析】： （1）连结RO并延长分别交AB、CD于M、N，连结OB，运用等腰直角三角形的性质，‎ 结合勾股定理计算即可得到AB的长；‎ ‎（2）设∠BOM=θ，由解直角三角形可得BM，OM，即可得到c=AB+CD+BC+AD=2（sinθ+cosθ+），‎ 再由≤（当且仅当a=b取得等号），计算即可得到最大值．‎ ‎【解析】： （1）解：连结RO并延长分别交AB、CD于M、N，连结OB，‎ ‎∵C、D分别为QR、PR的中点，PQ=2，∴，‎ ‎∵△PRQ为等腰直角三角形，PQ为斜边，∴，．‎ ‎∵MN=1，∴．‎ 在Rt△BMO中，BO=1，∴，‎ ‎∴．　　　　　　　　　　 ‎ ‎（2）设∠BOM=θ，，‎ 在Rt△BMO中，BO=1，∴BM=sinθ，OM=cosθ．‎ ‎∵MN=1，∴CN=RN=1﹣ON=OM=cosθ，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，‎ 当sinθ+cosθ=，即有sin2θ=，‎ 即或时取等号．‎ ‎∴当或时，周长c的最大值为km．‎ ‎【点评】： 本题考查三角函数的最值，考查重要不等式的运用，考查同角的平方关系，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（16分）（2015•泰州一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为的椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．若直线PQ斜率为时，PQ=2．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．‎ ‎【考点】： 直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【专题】： 圆锥曲线中的最值与范围问题．‎ ‎【分析】： ，（1）设，由于直线PQ斜率为时，，可得，解得，代入椭圆方程可得：，又，联立解得即可．‎ ‎（2）设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），代入椭圆方程可得．由直线PA方程为：，可得，同理由直线QA方程可得，可得以MN为直径的圆为，由于，代入整理即可得出．‎ ‎【解析】： 解：（1）设，‎ ‎∵直线PQ斜率为时，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，=1，‎ ‎∴，‎ ‎∵，化为a2=2b2．‎ 联立，‎ ‎∴a2=4，b2=2．‎ ‎∴椭圆C的标准方程为．‎ ‎（2）以MN为直径的圆过定点．下面给出证明：‎ 设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），且，即，‎ ‎∵A（﹣2，0），∴直线PA方程为：，‎ ‎∴，‎ 直线QA方程为：，‎ ‎∴，‎ 以MN为直径的圆为，‎ 即，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 令y=0，x2+y2﹣2=0，解得，‎ ‎∴以MN为直径的圆过定点．‎ ‎【点评】： 本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、点与椭圆的位置关系、点斜式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎　‎ ‎19．（16分）（2015•泰州一模）数列{an}，{bn}，{cn}满足：bn=an﹣2an+1，cn=an+1+2an+2﹣2，n∈N*．‎ ‎（1）若数列{an}是等差数列，求证：数列{bn}是等差数列；‎ ‎（2）若数列{bn}，{cn}都是等差数列，求证：数列{an}从第二项起为等差数列；‎ ‎（3）若数列{bn}是等差数列，试判断当b1+a3=0时，数列{an}是否成等差数列？证明你的结论．‎ ‎【考点】： 数列递推式；等比关系的确定．‎ ‎【专题】： 等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】： （1）利用等差数列的定义只要证明bn+1﹣bn=一个常数即可；‎ ‎（2）当n≥2时，cn﹣1=an+2an+1﹣2，bn=an﹣2an+1，可得，，只要证明an+1﹣an等于一个常数即可；‎ ‎（3）解：数列{an}成等差数列．‎ 解法1　设数列{bn}的公差为d'，由bn=an﹣2an+1，利用“错位相减”可得，设，可得，进而得到，令n=2，得，利用b1+a3=0，可得an+2﹣an+1=﹣（bn+1﹣d'）+（bn﹣d'）=﹣d'，即可证明．‎ 解法2 由bn=an﹣2an+1，b1+a3=0，令n=1，a1﹣‎2a2=﹣a3，即a1﹣‎2a2+a3=0，可得bn+1=an+1﹣2an+2，bn+2=an+2﹣2an+3，2bn+1﹣bn﹣bn+2=（2an+1﹣an﹣an+2）﹣2（2an+2﹣an+1﹣an+3），由于数列{bn}是等差数列，可得2bn+1﹣bn﹣bn+2=0，可得2an+1﹣an﹣an+2=2（2an+2﹣an+1﹣an+3），即可证明．‎ ‎【解析】： 证明：（1）设数列{an}的公差为d，‎ ‎∵bn=an﹣2an+1，‎ ‎∴bn+1﹣bn=（an+1﹣2an+2）﹣（an﹣2an+1）=（an+1﹣an）﹣2（an+2﹣an+1）=d﹣2d=﹣d，‎ ‎∴数列{bn}是公差为﹣d的等差数列．　‎ ‎（2）当n≥2时，cn﹣1=an+2an+1﹣2，‎ ‎∵bn=an﹣2an+1，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵数列{bn}，{cn}都是等差数列，‎ ‎∴为常数，‎ ‎∴数列{an}从第二项起为等差数列．‎ ‎（3）解：数列{an}成等差数列．‎ 解法1　设数列{bn}的公差为d'，‎ ‎∵bn=an﹣2an+1，‎ ‎∴，‎ ‎∴，…，，‎ ‎∴，‎ 设，‎ ‎∴，‎ 两式相减得：，‎ 即，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 令n=2，得，‎ ‎∵b1+a3=0，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎2a1+2b1﹣4d'=0，‎ ‎∴an+1=﹣（bn﹣d'），‎ ‎∴an+2﹣an+1=﹣（bn+1﹣d'）+（bn﹣d'）=﹣d'，‎ ‎∴数列{an}（n≥2）是公差为﹣d'的等差数列，‎ ‎∵bn=an﹣2an+1，令n=1，a1﹣‎2a2=﹣a3，即a1﹣‎2a2+a3=0，‎ ‎∴数列{an}是公差为﹣d'的等差数列．‎ 解法2∵bn=an﹣2an+1，b1+a3=0，‎ 令n=1，a1﹣‎2a2=﹣a3，即a1﹣‎2a2+a3=0，‎ ‎∴bn+1=an+1﹣2an+2，bn+2=an+2﹣2an+3，‎ ‎∴2bn+1﹣bn﹣bn+2=（2an+1﹣an﹣an+2）﹣2（2an+2﹣an+1﹣an+3），‎ ‎∵数列{bn}是等差数列，‎ ‎∴2bn+1﹣bn﹣bn+2=0，‎ ‎∴2an+1﹣an﹣an+2=2（2an+2﹣an+1﹣an+3），‎ ‎∵a1﹣‎2a2+a3=0，‎ ‎∴2an+1﹣an﹣an+2=0，‎ ‎∴数列{an}是等差数列．‎ ‎【点评】： 本题考查了等差数列的定义及其通项公式，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎　‎ ‎20．（16分）（2015•泰州一模）已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=ax+b．‎ ‎（1）若函数h（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若直线g（x）=ax+b是函数f（x）=lnx﹣图象的切线，求a+b的最小值；‎ ‎（3）当b=0时，若f（x）与g（x）的图象有两个交点A（x1，y1），B（x2，y2），求证：x1x2＞2e2．‎ ‎（取e为2.8，取ln2为0.7，取为1.4）‎ ‎【考点】： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【专题】： 导数的综合应用．‎ ‎【分析】： （1）把f（x）和g（x）代入h（x）=f（x）﹣g（x），求其导函数，结合h（x）在（0，+∞）上单调递增，可得对∀x＞0，都有h′（x）≥0，得到，由得到a的取值范围；‎ ‎（2）设切点，写出切线方程，整理得到，令换元，可得a+b=φ（t）=﹣lnt+t2﹣t﹣1，利用导数求其最小值；‎ ‎（3）由题意知，，把a用含有x1，x2的代数式表示，得到，不妨令0＜x1＜x2，记，构造函数，由导数确定其单调性，从而得到，即 ‎，然后利用基本不等式放缩得到，令，再由导数确定G（x）在（0，+∞）上单调递增，然后结合又得到，即．‎ ‎【解析】： （1）解：h（x）=f（x）﹣g（x）=，则，‎ ‎∵h（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上单调递增，∴对∀x＞0，都有，‎ 即对∀x＞0，都有，‎ ‎∵，∴a≤0，‎ 故实数a的取值范围是（﹣∞，0]；‎ ‎（2）解：设切点，则切线方程为，‎ 即，亦即，‎ 令，由题意得，‎ 令a+b=φ（t）=﹣lnt+t2﹣t﹣1，则，‎ 当t∈（0，1）时，φ'（t）＜0，φ（t）在（0，1）上单调递减；‎ 当t∈（1，+∞）时，φ'（t）＞0，φ（t）在（1，+∞）上单调递增，‎ ‎∴a+b=φ（t）≥φ（1）=﹣1，故a+b的最小值为﹣1；‎ ‎（3）证明：由题意知，，‎ 两式相加得，‎ 两式相减得，‎ 即，‎ ‎∴，‎ 即，‎ 不妨令0＜x1＜x2，记，‎ 令，则，‎ ‎∴在（1，+∞）上单调递增，则，‎ ‎∴，则，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴，即，‎ 令，则x＞0时，，‎ ‎∴G（x）在（0，+∞）上单调递增，‎ 又，‎ ‎∴，‎ 则，即．‎ ‎【点评】： 本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法和函数构造法，本题综合考查了学生的逻辑思维能力和灵活应变能力，难度较大．‎ ‎　‎ 三、选做题（共4小题，满分20分，<SPAN style="FONT-SIZE: ‎10.5pt; FONT-FAMILY: 宋体; mso-bidi-font-family: 'Times New Roman'; mso-font-kerning: ‎1.0pt; mso-ansi-language: EN-US; mso-fareast-language: ZH-CN; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-font-size: ‎16.0pt; mso-ascii-font-family: 'Times New Roman'; mso-hansi-font-family: 'Times New Roman'"><STRONG>四小题中任选两题作答</STRONG></SPAN>）‎ ‎【几何证明选讲】‎ ‎21．（10分）（2015•泰州一模）如图，EA与圆O相切于点A，D是EA的中点，过点D引圆O的割线，与圆O相交于点B，C，连结EC．‎ 求证：∠DEB=∠DCE．‎ ‎【考点】： 与圆有关的比例线段．‎ ‎【专题】： 立体几何．‎ ‎【分析】： 由切割线定理：DA2=DB•DC，从则DE2=DB•DC，进而△EDB～△CDE，由此能证明∠DEB=∠DCE．‎ ‎【解析】： 证明：∵EA与⊙O相切于点A．‎ ‎∴由切割线定理：DA2=DB•DC．‎ ‎∵D是EA的中点，‎ ‎∴DA=DE．∴DE2=DB•DC．…（5分）‎ ‎∴．∵∠EDB=∠CDE，‎ ‎∴△EDB～△CDE，∴∠DEB=∠DCE…（10分）‎ ‎【点评】： 本题考查两角相等的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．‎ ‎　‎ ‎【矩阵与变换】‎ ‎22．（10分）（2015•泰州一模）已知矩阵A=，B=，若矩阵AB﹣1对应的变换把直线l变为直线l′：x+y﹣2=0，求直线l的方程．‎ ‎【考点】： 几种特殊的矩阵变换．‎ ‎【专题】： 矩阵和变换．‎ ‎【分析】： 计算出AB﹣1的值，设出变换，计算即可．‎ ‎【解析】： 解：∵，∴，‎ ‎∴，‎ 设直线l上任意一点（x，y）在矩阵AB﹣1对应的变换下为点（x'，y'），‎ ‎∴．‎ 代入l'，‎ l'：（x﹣2y）+（2y）﹣2=0，化简后得：l：x=2．‎ ‎【点评】： 本题考查了矩阵的变换，属基础题．‎ ‎　‎ ‎【坐标系与参数方程选讲】‎ ‎23．（2015•泰州一模）己知在平面直角坐标系xOy中，圆O的参数方程为（α为参数）．以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρ（sinθ﹣cosθ）=1，直线l与圆M相交于A，B两点，求弦AB的长．‎ ‎【考点】： 简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【专题】： 坐标系和参数方程．‎ ‎【分析】： 利用sin2α+cos2α=1可得圆O的普通方程，把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式可得圆心O（0，0）到直线l的距离d，再利用弦长公式可得|AB|=．‎ ‎【解析】： 解：由圆O的参数方程（α为参数），利用sin2α+cos2α=1可得圆O：x2+y2=4，‎ 又直线l的极坐标方程为ρ（sinθ﹣cosθ）=1可得直线l：x﹣y+1=0，‎ 圆心O（0，0）到直线l的距离，‎ 弦长．‎ ‎【点评】： 本题考查了圆的参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎【不等式选讲】‎ ‎24．（2015•泰州一模）已知正实数a，b，c满足a+b+c=3，求证：++≥3．‎ ‎【考点】： 不等式的基本性质．‎ ‎【专题】： 不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】： 利用基本不等式的性质即可得出．‎ ‎【解析】： 证明：∵正实数a，b，c满足a+b+c=3，‎ ‎∴，‎ ‎∴abc≤1，‎ ‎∴．‎ ‎【点评】： 本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．‎ ‎　‎ 四、解答题（共2小题，满分20分）‎ ‎25．（10分）（2015•泰州一模）如图，在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，DA=DC=2，DD′=1，A′C′与B′D′相交于点O′，点P在线段BD上（点P与点B不重合）．‎ ‎（1）若异面直线O′P与BC′所成角的余弦值为，求DP的长度；‎ ‎（2）若DP=，求平面PA′C′与平面DC′B所成角的正弦值．‎ ‎【考点】： 二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．‎ ‎【专题】： 空间位置关系与距离；空间角．‎ ‎【分析】： （1）以为一组正交基底，建立空间直角坐标系D﹣xyz，由此利用向量法能求出DP的长度．（2）求出平面DC'B的法向量和平面PA'C'的法向量，利用向量法求出设平面PA'C'与平面DC'B所成角的余弦值，由此能求出平面PA′C′与平面DC′B所成角的正弦值．‎ ‎【解析】： 解：（1）以为一组正交基底，‎ 建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，‎ 由题意，知D（0，0，0），A'（2，0，1），B（2，2，0），C'（0，2，1），O'（1，1，1）．设P（t，t，0），‎ ‎∴，．‎ 设异面直线O'P与BC'所成角为θ，‎ 则，‎ 化简得：21t2﹣20t+4=0，‎ 解得：或，或．…（5分）‎ ‎（2）∵，∴，‎ ‎，，，，‎ 设平面DC'B的一个法向量为，‎ ‎∴，∴，‎ 即，取y1=﹣1，，‎ 设平面PA'C'的一个法向量为，‎ ‎∴，∴，‎ 即，取y2=1，，‎ 设平面PA'C'与平面DC'B所成角为φ，‎ ‎∴，‎ ‎∴．…（10分）‎ ‎【点评】： 本题考查线段长的求法，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．‎ ‎　‎ ‎26．（10分）（2015•泰州一模）记Cir为从i个不同的元素中取出r个元素的所有组合的个数．随机变量ξ表示满足Cir≤i2的二元数组（r，i）中的r，其中i∈{2，3，4，5，6，7，8，9，10}，每一个Cir（r=0，1，2，…，i）都等可能出现．求Eξ．‎ ‎【考点】： 离散型随机变量的期望与方差．‎ ‎【专题】： 概率与统计．‎ ‎【分析】： 由已知得当r=0，1，2，i﹣2，i﹣1，i时，成立，当r=3，…，i﹣3时，，由此能求出Eξ．‎ ‎【解析】： 解：∵，‎ 当i≥2时，，‎ ‎，，，‎ ‎∴当2≤i≤5，i∈N*时，的解为r=0，1，…，i．…（3分）‎ 当6≤i≤10，i∈N*，，‎ 由⇔i=3，4，5可知：‎ 当r=0，1，2，i﹣2，i﹣1，i时，成立，‎ 当r=3，…，i﹣3时，（等号不同时成立），即．…（6分）‎ ‎∴ξ的分布列为：‎ ξ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10‎ P（ξ） ‎ ‎…（8分）‎ ‎∴．…（10分）‎ ‎【点评】： 本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．‎