中考数学专题几何三大变换之旋转探讨

中考数学专题几何三大变换之旋转探讨

‎【2013年中考攻略】专题11：几何三大变换之旋转探讨 轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。旋转变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体绕一固定点旋转一个定角，这样的图形变换叫做图形的旋转变换，简称旋转。旋转由旋转中心、旋转的方向和角度决定。经过旋转，旋转前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变；旋转前、后图形的对应点到旋转中心的距离相等，即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上； 旋转前、后的图形对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。‎ 把一个图形绕着某一定点旋转一个角度360°/n(n为大于1的正整数)后，与初始的图形重合，这种图形就叫做旋转对称图形，这个定点就叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角。 ‎ 特别地，中心对称也是旋转对称的一种的特别形式。把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形。‎ 在初中数学以及日常生活中有着大量的旋转变换的知识，是中考数学的必考内容。‎ 结合2011和2012年全国各地中考的实例，我们从下面九方面探讨旋转变换：（1）中心对称和中心对称图形；（2）构造旋转图形；（3）有关点的旋转；（4）有关直线（线段）的旋转；（5）有关等腰（边）三角形的旋转；（6）有关直角三角形的旋转；（7）有关平行四边形、矩形、菱形的旋转；（8）有关正方形的旋转；（9）有关其它图形的旋转。‎ 一、中心对称和中心对称图形：‎ 典型例题：例1. （2012天津市3分）下列标志中，可以看作是中心对称图形的是【 】‎ ‎（A）‎ ‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎‎（D）‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】中心对称图形。‎ ‎【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此结合各图形的特点求解：A、C、D都不符合中心对称的定义。故选B。‎ 例2. （2012上海市4分）在下列图形中，为中心对称图形的是【 】‎ ‎　 A． 等腰梯形 B． 平行四边形 C． 正五边形 D． 等腰三角形 ‎【答案】B。‎ ‎【考点】中心对称图形。‎ ‎【分析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。因此，等腰梯形、正五边形、等腰三角形都不符合；是中心对称图形的只有平行四边形．故选B。‎ 例3. （2012广东深圳3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是【 】‎ ‎ ‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】中心对称和轴对称图形。‎ ‎【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。因此，‎ A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，选项正确；‎ B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，选项错误；‎ C.是轴对称图形，不是中心对称图形，选项错误；‎ D.不是轴对称图形，是中心对称图形，选项错误。‎ 故选A。‎ 例4. （2012福建宁德4分）下列两个电子数字成中心对称的是【 】‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】中心对称图形。‎ ‎【分析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。因此，符合条件的只有A。故选A。‎ 例5. （2012湖北随州4分）下列图形：①等腰梯形，②菱形，③函数的图象，④函数y=kx+b(k≠0)的图象，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有【 】‎ ‎ A．①② B.①③ C.①②③ D.②③④‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】轴对称图形和中心对称图形。‎ ‎【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。因此，‎ ‎①等腰梯形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故本小题错误；‎ ‎②菱形，既是轴对称图形又是中心对称图形，故本小题正确；‎ ‎③函数图象是双曲线，既是轴对称图形又是中心对称图形，故本小题正确；‎ ‎④函数y=kx+b（k≠0）图象是直线，既是轴对称图形又是中心对称图形，故本小题正确。‎ 综上所述，既是轴对称图形又是中心对称图形有②③④。故选D。‎ 例6. （2012山东德州4分）在四边形ABCD中，AB=CD，要使四边形ABCD是中心对称图形，只需添加一个条件，这个条件可以是　 ▲ 　．（只要填写一种情况）‎ ‎【答案】AD=BC（答案不唯一）。‎ ‎【考点】中心对称图形，平行四边形的判定。‎ ‎【分析】根据平行四边形是中心对称图形，可以针对平行四边形的各种判定方法，给出相应的条件，得出此四边形是中心对称图形：‎ ‎∵AB=CD，∴当AD=BC时，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形。‎ 当AB∥CD时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。‎ ‎ 当∠B+∠C=180°或∠A+∠D=180°时，四边形ABCD是平行四边形。‎ 故此时是中心对称图形。‎ 故答案为：AD=BC或AB∥CD或∠B+∠C=180°或∠A+∠D=180°等（答案不唯一）。‎ 例7. （2012四川宜宾3分）如图，在平面直角坐标系中，将△ABC绕点P旋转180°得到△DEF，则点P的坐标为 ▲ ．‎ ‎【答案】（﹣1，﹣1）。‎ ‎【考点】坐标与图形的旋转变化，中心对称的性质。‎ ‎【分析】∵将△ABC绕点P旋转180°得到△DEF，‎ ‎ ∴△ABC和△DEF关于点P中心对称。‎ ‎ ∴连接AD，CF，二者交点即为点P。‎ ‎ 由图知，P（﹣1，﹣1）。‎ ‎ 或由A（0，1），D（﹣2，﹣3），根据对应点到旋转中心的距离相等的性质得点P的坐标为 ‎（），即（﹣1，﹣1）。‎ 练习题：‎ ‎1. （2012重庆市4分）下列图形中，是轴对称图形的是【 】‎ ‎　　A．　　B．　　C．　　D．‎ ‎2.（2012广东珠海3分）下列图形中不是中心对称图形的是【 】 ‎ A.矩形 B.菱形 C.平行四边形 D.正五边形 ‎3. （2012江苏盐城3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是【 】‎ ‎4.（2012四川达州3分）下列几何图形中，对称性与其它图形不同的是【 】‎ ‎5.（2012河南省3分）如下是一种电子记分牌呈现的数字图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是【 】‎ A． B． C． D．‎ ‎6.（2012黑龙江大庆3分）下列哪个函数的图象不是中心对称图形【 】‎ A. B. C． D.‎ ‎7.（2011云南曲靖3分）小明、小辉两家所在位置关于学校中心对称。如果小明家距学校‎2公里，那么他们两家相距 ▲ 公里；‎ 二、构造旋转图形：‎ 典型例题：例1. （2012浙江丽水、金华3分）在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是【 】‎ ‎　　A．①　　B．②　　C．③　　D．④‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】中心对称图形。‎ ‎【分析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。因此，通过观察发现，当涂黑②时，所形成的图形关于点A中心对称。故选B。‎ 例2. （2012福建三明8分）如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（－2，－1），B（－3，－3），‎ C（－1，－3）.‎ ‎①画出△ABC关于x轴对称的△A1B‎1C1，并写出点A1的坐标；（4分）‎ ‎②画出△ABC关于原点O对称的△A2B‎2C2，并写出点A2的坐标.（4分）‎ ‎【答案】解：①如图所示，A1（－2，1）。‎ ‎②如图所示，A2（2，1）。 ‎ ‎【考点】轴对称和中心对称作图。‎ ‎【分析】根据轴对称和中心对称的性质作图，写出A1、A2的坐标。‎ 例3.（2012海南省8分）如图，在正方形网络中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别为（－2，4）、（－2，0）、（－4，1），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：‎ ‎（1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B‎1C1.‎ ‎（2）平移△ABC，使点A移动到点A2（0，2），画出平移后的△A2B‎2C2并写出点B2、C2的坐标.‎ ‎（3）在△ABC、△A1B‎1C1、△A2B‎2C2中，△A2B‎2C2与 成中心对称，其对称中心的坐标为 .‎ ‎【答案】解：（1）△ABC关于原点O对称的△A1B‎1C1如图所示：‎ ‎（2）平移后的△A2B‎2C2如图所示：‎ ‎ 点B2、C2的坐标分别为（0，－2），（－2，－1）。‎ ‎（3）△A1B‎1C1；（1，－1）。‎ ‎【考点】网格问题，作图（中心对称变换和平移变换），中心对称和平移的性质。‎ ‎【分析】（1）根据中心对称的性质，作出A、B、C三点关于原点的对称点A1、B1、C1，连接即可。‎ ‎ （2）根据平移的性质，点A（－2，4）→A2（0，2），横坐标加2，纵坐标减2，所以将B（－2，0）、C（－4，1）横坐标加2，纵坐标减2得到B2（0，－2）、C2（－2，－1），连接即可。‎ ‎ （3）如图所示。‎ 例4. （2012江苏泰州10分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A、B、C在小正方形的顶点上，将△ABC向下平移4个单位、再向右平移3个单位得到△A1B‎1C1，然后将△A1B‎1C1绕点A1顺时针旋转90°得到△A1B‎2C2．‎ ‎（1）在网格中画出△A1B‎1C1和△A1B‎2C2；‎ ‎（2）计算线段AC在变换到A‎1C2的过程中扫过区域的面积（重叠部分不重复计算）‎ ‎【答案】解：（1）如图所示：‎ ‎（2）∵图中是边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，‎ ‎∴。‎ ‎∵将△ABC向下平移4个单位AC所扫过的面积是以4为底，以2为高的平行四边形的面积：4×2=8。‎ 再向右平移3个单位AC所扫过的面积是以3为底，以2为高的平行四边形的面积：4×2=6。‎ 当△A1B‎1C1绕点A1顺时针旋转90°到△A1B‎2C2时，A‎1C1所扫过的面积是以A1为圆心以以为半径，圆心角为90°的扇形的面积，重叠部分是以A1为圆心，以为半径，圆心角为45°的扇形的面积，去掉重叠部分，面积为：‎ ‎ ∴线段AC在变换到A‎1C2的过程中扫过区域的面积=8＋6＋π×=14+π。‎ ‎【考点】作图（平移和旋转变换），平移和旋转的性质，网格问题，勾股定理，平行四边形面积和扇形面积的计算。‎ ‎【分析】（1）根据图形平移及旋转的性质画出△A1B‎1C1及△A1B‎2C2即可。‎ ‎ （2）画出图形，根据图形平移及旋转的性质分三部分求取面积。 ‎ 例5.（2012江苏常州6分）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC和△DEF的顶点坐标分别为A（1，0）、B（3，0）、C（2，1）、D（4，3）、E（6，5）、F（4，7）。按下列要求画图：以点O为位似中心，将△ABC向y轴左侧按比例尺2：1放大得△ABC的位似图形△A1B‎1C1，并解决下列问题：‎ ‎（1）顶点A1的坐标为 ▲ ，B1的坐标为 ▲ ，C1的坐标为 ▲ ；‎ ‎（2）请你利用旋转、平移两种变换，使△A1B‎1C1通过变换后得到△A2B‎2C2，且△A2B‎2C2恰与△DEF拼接成一个平行四边形（非正方形）。写出符合要求的变换过程。‎ ‎【答案】解：作图如下： ‎ ‎ （1）（－2，0），（－6，0），（－4，－2）。‎ ‎ （2）符合要求的变换有两种情况：‎ ‎ 情况1：如图1，变换过程如下： ‎ ‎ 将△A2B‎2C2向右平移12个单位，再向上平移5个单位；再以B1为中心顺时针旋转900。‎ 情况2：如图2，变换过程如下： ‎ ‎ 将△A2B‎2C2向右平移8个单位，再向上平移5个单位；再以A1为中心顺时针旋转900。‎ ‎【考点】作图（位似、平移和旋转）网格问题，位似的性质，平移的性质，旋转的性质。‎ ‎【分析】（1）作位似变换的图形的依据是相似的性质，基本作法是：①先确定图形的位似中心；②利用相似图形的比例关系作出关键点的对应点；③按原图形中的方式顺次连接对应点．要注意有两种情况，图形在位似中心的同侧或在位似中心的两侧。‎ ‎ （2）作平移变换时，找关键点的对应点也是关键的一步．平移作图的一般步骤为：①确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；②确定图形中的关键点；③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形。‎ 作旋转变换时，找准旋转中心和旋转角度。‎ 例6. （2012福建漳州8分）利用对称性可设计出美丽的图案．在边长为1的方格纸中,有如图所示的四边 形(顶点都在格点上)． ‎ ‎(1)先作出该四边形关于直线成轴对称的图形，再作出你所作的图形连同原四边形绕O点按顺时针方向旋转90o后的图形；‎ ‎(2)完成上述设计后，整个图案的面积等于_________．‎ ‎【答案】解：（1）作图如图所示：‎ 先作出关于直线l的对称图形；再作出所作的图形连同原四边形绕O点按顺时针方向 旋转90°后的图形。‎ ‎（2）20。‎ ‎【考点】利用旋转设计图案，利用轴对称设计图案。‎ ‎【分析】（1）根据图形对称的性质先作出关于直线l的对称图形，再作出所作的图形连同原四边形绕0点按顺时针方向旋转90°后的图形即可。‎ ‎（2）先利用割补法求出原图形的面积，由图形旋转及对称的性质可知经过旋转与轴对称所得图形与原图形全等即可得出结论。‎ ‎∵边长为1的方格纸中一个方格的面积是1，∴原图形的面积为5。‎ ‎∴整个图案的面积=4×5=20。‎ 例7. （2012福建福州7分）如图，方格纸中的每个小方格是边长为1个单位长度的正方形．‎ ‎ ① 画出将Rt△ABC向右平移5个单位长度后的Rt△A1B‎1C1；‎ ‎ ② 再将Rt△A1B‎1C1绕点C1顺时针旋转90°，画出旋转后的Rt△A2B‎2C1，并求出旋转过程中线段 A‎1C1所扫过的面积(结果保留π)．‎ ‎【答案】解：① 如图所示；‎ ‎② 如图所示；‎ 在旋转过程中，线段A‎1C1所扫过的面积等于＝4π。‎ ‎【考点】平移变换和旋转变换作图，扇形面积的计算。‎ ‎【分析】根据图形平移的性质画出平移后的图形，再根据在旋转过程中，线段A‎1C1所扫过的面积等于以点C1为圆心，以A‎1C1为半径，圆心角为90度的扇形的面积，再根据扇形的面积公式进行解答即可。‎ 例8. （2012四川南充3分）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=900,AB=AD,若四边形ABCD的面积是‎24cm2.则AC长是 ▲ cm. ‎ ‎【答案】4。‎ ‎【考点】等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理。‎ ‎【分析】如图，将△ADC旋转至△ABE处，则△AEC的面积和四边形ABCD的面积一样多为‎24cm2，,这时三角形△AEC为等腰直角三角形，作边EC上的高AF，则AF=EC=FC, ‎ ‎∴ S△AEC= AF·EC=AF2=24 。∴AF2=24。‎ ‎∴AC2=2AF2=‎48 AC=4。‎ 练习题：‎ ‎1. （2012湖南张家界6分）如图，在方格纸中，以格点连线为边的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列操作：先将格点△ABC向右平移4个单位得到△A1B‎1C1，再将△A1B‎1C1绕点C1点旋转180°得到△A2B‎2C2．‎ ‎2.（2012贵州六盘水10分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形．Rt△ABC的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点A的坐标为（﹣4，1），点B的坐标为（﹣1，1）．‎ ‎（1）先将Rt△ABC向右平移5个单位，再向下平移1个单位后得到Rt△A1B‎1C1．试在图中画出图形Rt△A1B‎1C1，并写出A1的坐标；‎ ‎（2）将Rt△A1B‎1C1绕点A1顺时针旋转90°后得到Rt△A2B‎2C2，试在图中画出图形Rt△A2B‎2C2．并计算Rt△A1B‎1C1在上述旋转过程中C1所经过的路程．‎ ‎3.（吉林省6分）如图所示，在7×6的正方形网格中，选取14个格点，以其中三个格点为顶点一画出ABC,‎ 请你以选取的格点为顶点再画出一个三角形，且分别满足下列条件：‎ （1） 图①中所画的三角形与ABC组成的图形是轴对称图形。‎ （2） 图②中所画的三角形与ABC组成的图形是中心对称图形。‎ （3） 图③中所画的三角形与ABC的面积相等，但不全等。‎ ‎ 图① 图② 图③‎ ‎4.（2011浙江绍兴8分）分别按下列要求解答：‎ ‎（1）在图1中．作出⊙O关于直线l成轴对称的图形；‎ ‎（2）在图2中．作出△ABC关于点P成中心对称的图形．‎ ‎5.（2011辽宁抚顺10分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC与△DEF关于点O成中心对称，△ABC与△DEF的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题．‎ ‎(1)在图中画出点O的位置．‎ ‎(2)将△ABC先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△A1B‎1C1，请画出△A1B‎1C1；‎ ‎(3)在网格中画出格点M，使A‎1M平分∠B‎1A1C1.‎ ‎6.（2011辽宁阜新10分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格，直角梯形ABEF的顶点均在格点上，‎ 请按要求完成下列各题：‎ ‎（1）请在图中拼上一个直角梯形，使它与梯形ABEF构成一个等腰梯形ABCD；‎ ‎（2）将等腰梯形ABCD绕点C按顺时针方向旋转90°，画出相应的图形A1B1CD1；‎ ‎（3）求点A旋转到点A1时，点A所经过的路线长．（结果保留π）‎ ‎7. （2011黑龙江省绥化、齐齐哈尔、黑河、大兴安岭、鸡西6分）如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形．‎ ‎（1）将△ABC向右平移3个单位长度，画出平移后的△A1B‎1C1．‎ ‎（2）将△ABC绕点O旋转180°，画出旋转后的△A2B‎2C2．‎ ‎（3）画出一条直线将△AC‎1A2的面积分成相等的两部分．‎ ‎8.（2011广东台山10分）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在所给网格中按下 列要求画出图形。‎ （1） 从点A出发的一条线段AB，使它的另一个端点落在格点（即小方形的顶点）上，且长度为；‎ ‎ （2）以（1）中的AB为边的一个等腰三角形ABC，使点C在格点上，且另两边的长都是无理数；‎ ‎ （3）以（1）中的AB为边的两个凸多边形，使它们都是中心对称图形且不全等，其顶点都在格点 上，各边长都是无理数。‎ ‎9.（2011湖北孝感8分）如图所示，网格中每个小正方形的边长为1，请你认真观察图（1）中的三个网格 中阴影部分构成的图案，解答下列问题：‎ ‎ 图（1） 图（2）‎ ‎（1）这三个图案都具有以下共同特征：都是______对称图形，都不是____对称图形. （4分）‎ ‎（2）请在图（2）中设计出一个面积为4，且具备上述特征的图案，要求所画图案不能与图（1）中所 给出的图案相同. （4分）‎ ‎10. （2011四川巴中8分） 在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长都是l，△ABC与△成中心对称。‎ ‎(1)画出对称中心O；‎ ‎(2)画出将△沿直线MN向上平移5格得到的△：‎ ‎(3)要使△与△重合，则△绕点沿顺时针方向旋转，至少旋转多少度?(直接写出答案)‎ ‎11.（2011山东烟台4分）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 ▲ .‎ 三、有关点的旋转：‎ 典型例题：例1. （2012广东梅州7分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．（直接填写答案）‎ ‎（1）点A关于点O中心对称的点的坐标为　 　；‎ ‎（2）点A1的坐标为　 　；‎ ‎（3）在旋转过程中，点B经过的路径为弧BB1，那么弧BB1的长为　 　．‎ ‎【答案】解：（1）（﹣3，﹣2）。‎ ‎ （2） （﹣2，3）。‎ ‎ （3）。‎ ‎【考点】坐标与图形的旋转变化，关于原点对称的点的坐标特征，弧长的计算。‎ ‎【分析】（1）根据关于坐标原点成中心对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数的性质即可得。‎ ‎（2）根据平面直角坐标系写出即可。‎ ‎（3）先利用勾股定理求出OB的长度，然后根据弧长公式列式进行计算即可得解：‎ 根据勾股定理，得，∴弧BB1的长=。‎ 例2. （2012黑龙江大庆9分）在直角坐标系中，C(2，3)，C′(－4，3)， C″(2,1)，D(－4，1)，A(0，)，B(，O)( 0).‎ ‎ （1）结合坐标系用坐标填空． ‎ ‎ 点C与C′关于点 对称; 点C与C″关于点 对称; 点C与D关于点 对称 ‎ （2）设点C关于点(4，2)的对称点是点P，若△PAB的面积等于5，求值．‎ 例3. （2012黑龙江牡丹江3分）如图，A(，1)，B(1，)．将△AOB绕点O旋转l500得到△A′OB′，，则此时点A的对应点A′的坐标为【 】．‎ A．(－，－l) B．(－2，0) C．(－l，－)或（－2，0) D．(－，－1)或(－2，0)‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】坐标和图形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，关于原点对称的点的坐标特征。‎ ‎【分析】如图，过点A作AC⊥ｘ轴于点C, 过点B作BD⊥ｙ轴于点D。‎ ‎ 由锐角三角函数定义，,∴。‎ ‎ 同理，。∴。‎ ‎ 若将△AOB绕点O顺时针旋转l500，则点A′与点B关于坐标原点对称， ‎ ‎ ∴A′(－l，－)。‎ ‎ 若将△AOB绕点O逆时针旋转l500，则点A′在ｘ轴反方向上， ∴A′(－2，0)。‎ ‎ 综上所述，点A的对应点A′的坐标为(－l，－)或(－2，0)。故选C。‎ 练习题：‎ ‎1. （2011河南省3分）如图，将一朵小花放置在平面直角坐标系中第三象限内的甲位置，先将它绕原点O旋转180°到乙位置，再将它向下平移2个单位长到丙位置，则小花顶点A在丙位置中的对应点A′的坐标为 【 】‎ ‎ A、（3，1） B、（1，3） C、（3，﹣1） D、（1，1）‎ ‎2.（2011山东泰安3分）若点A的坐标为（6，3）O为坐标原点，将OA绕点O按顺时针方向旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是【 】‎ ‎ A、（3，﹣6） B、（﹣3，6） ‎ ‎ C、（﹣3，﹣6） D、（3，6）‎ ‎3. （2011辽宁盘锦10分）如图，风车的支杆OE垂直于桌面，风车中心O到桌面的距离OE为‎25cm，小小风车在风吹动下绕着中心O不停地转动，转动过程中，叶片端点A、B、C、D在同一圆O上，已知⊙O的半径为‎10cm.‎ ‎(1)风车在转动过程中，当∠AOE＝45°时，求点A到桌面的距离(结果保留根号)．‎ ‎(2)在风车转动一周的过程中，求点A相对于桌面的高度不超过‎20cm所经过的路径长(结果保留π)．‎ ‎　备用图1　备用图2‎ ‎4.（2011四川眉山11分）如图，在直角坐标系中，已知点A（0，1），B（－4，4），将点B绕点A顺时针方向旋转90°得到点C；顶点在坐标原点的拋物线经过点B．‎ ‎（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；‎ ‎（2）抛物线上一动点P，设点P到x轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，试说明d2=d1＋1；‎ ‎（3）在（2）的条件下，请探究当点P位于何处时，△PAC的周长有最小值，并求出△PAC的周长的最小值．‎ ‎5.（2011辽宁葫芦岛10分）如图，有一直径MN＝4的半圆形纸片，其圆心为点P，从初始位置Ⅰ开始，在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置Ⅴ，其中，位置Ⅰ中的MN平行于数轴，且半⊙P与数轴相切于原点O；位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于数轴；位置Ⅲ中的MN在数轴上；位置Ⅴ中的点N到数轴的距离为3，且半⊙P与数轴相切于点A.‎ 解答下列问题：‎ ‎(1)位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为________；‎ 位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是________；‎ ‎(2)求位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数；‎ ‎(3)纸片半⊙P从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时，求点N所经过路径长及该纸片所扫过图形的面积；‎ ‎(4)求OA的长．‎ ‎[(2)，(3)，(4)中的结果保留π]‎ 四、有关直线（线段）的旋转：‎ 典型例题：例1. （2012安徽省8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）和点A1.‎ ‎（1）画出一个格点△A1B‎1C1，并使它与△ABC全等且A与A1是对应点；‎ ‎（2）画出点B关于直线AC的对称点D，并指出AD可以看作由AB绕A点经过怎样的旋转而得到的.‎ ‎【答案】解：（1）答案不唯一，如图，平移即可：‎ ‎(2)作图如上，‎ ‎∵AB=，AD=，BD=，∴AB2+AD2=BD2。‎ ‎∴△ABD是直角三角形。‎ ‎∴AD可以看作由AB绕A点逆时针旋转90°得到的。‎ ‎【考点】作图（平移变换、轴对称变换），全等图形，旋转和轴对称的性质，勾股定理和逆定理。‎ ‎【分析】（1）利用△ABC三边长度，画出以A1为顶点的三角形三边长度即可，利用图象平移，可得出 ‎△A1B‎1C1。‎ ‎（2）利用点B关于直线AC的对称点D，得出D点坐标，根据勾股定理和逆定理可得出AD与AB的位置关系。‎ 例2.（2012湖北武汉7分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(－1，3)、(－4，1)，先 将线段AB沿一确定方向平移得到线段A1B1，点A的对应点为A1，点B1的坐标为(0，2)，在将线段A1B1‎ 绕远点O顺时针旋转90°得到线段A2B2，点A1的对应点为点A2．‎ ‎(1)画出线段A1B1、A2B2；‎ ‎(2)直接写出在这两次变换过程中，点A经过A1到达A2的路径长．‎ ‎【答案】解：（1）画出线段A1B1、A2B2如图：‎ ‎ （2）在这两次变换过程中，点A经过A1到达A2的路径长为。‎ ‎【考点】网格问题，图形的平移和旋转变换，勾股定理，扇形弧长公式。‎ ‎【分析】（1）根据图形的平移和旋转变换性质作出图形。‎ ‎ （2）如图，点A到点A1的平移变换中，‎ ‎ ，‎ ‎ 点A2到点A3的平移变换中，‎ ‎ ∵，‎ ‎∴。‎ ‎∴在这两次变换过程中，点A经过A1到达A2的路径长为。‎ 例3. （2012四川泸州2分）将如图所示的直角梯形绕直线l 旋转一周，得到的立体图形是【 】‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】点、线、面的关系，旋转的性质。‎ ‎【分析】将如图所示的直角梯形绕直线l 旋转一周得到圆台。故选D。‎ ‎【注：本题已不是平面内的旋转，是空间内的旋转】‎ 例4. （2012黑龙江大庆3分）平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(，1)，将OA绕原点按逆时针方向旋转30°得OB，则点B的坐标为【 】‎ ‎ A.(1，) B.( －1，) C.(0，2) D.(2，0)‎ ‎【答案】 A。‎ ‎【考点】坐标与图形的旋转变换，勾股定理，特殊角的三角函数值，全等三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】如图，作AC⊥x轴于C点，BD⊥y轴于D点，‎ ‎∵点A的坐标为（，1），∴AC=1，OC=。‎ ‎∴OA=。∴∠AOC=30°。‎ ‎∵OA绕原点按逆时针方向旋转30°得OB，‎ ‎∴∠AOB=30°，OA=OB。∴∠BOD=30°。‎ ‎∴Rt△OAC≌Rt△OBD（AAS）。‎ ‎∴DB=AC=1，OD=OC=。∴B点坐标为（1，）。故选A。‎ 例5. （2012陕西省3分）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分．‎ A．在平面内，将长度为4的线段AB绕它的中点M，按逆时针方向旋转30°，则线段AB扫过的面积为 ‎ ▲ ．‎ B．用科学计算器计算： ▲ （精确到0.01）．‎ ‎【答案】；2.47。‎ ‎【考点】扇形面积的计算，计算器的应用。‎ ‎【分析】A、画出示意图，根据扇形的面积公式求解即可：‎ ‎ 由题意可得，AM=MB=AB=2。‎ ‎∵线段AB扫过的面积为扇形MCB和扇形MAB的面积和，‎ ‎∴线段AB扫过的面积=。‎ B、用计算器计算即可：。‎ 例6. （2012江苏镇江6分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，2），直线OP经过原点，且位于一、三象限，∠AOP=450（如图1）。设点A关于直线OP的对称点为B。‎ ‎（1）写出点B的坐标 ▲ ；‎ ‎（2）过原点O的直线l从直线OP的位置开始，绕原点O顺时针旋转。‎ ①当直线l顺时针旋转100到直线l1的位置时（如图1），点A关于直线l1的对称点为C，则∠BOC的度数是 ▲ ，线段OC的长为 ▲ ；‎ ②当直线l顺时针旋转550到直线l2的位置时（如图2），点A关于直线l2的对称点为D，则∠BOD的度数是 ▲ ； ‎ ③直线l顺时针旋转n0（0＜n≤900），在这个运动过程中，点A关于直线l的对称点所经过的路径长为 ‎ ▲ （用含n的代数式表示）。‎ ‎【答案】解：（1）（2，0）。‎ ‎ （2）①200，2；②1100；③。‎ 例7. （2012四川泸州7分）“五一”节期间，小明和同学一起到游乐场游玩。如图为某游乐场大型摩天轮 的示意图，其半径是‎20m，它匀速旋转一周需要24分钟，最底部点B离地面‎1m。小明乘坐的车厢经过点 B时开始计时。‎ ‎(1)计时4分钟后小明离地面的高度是多少？‎ ‎(2)的旋转一周的过程中，小明将有多长时间连续保持在离地面‎31m以上的空中？‎ ‎【答案】解：（1）设4分钟后小明到达点C，过点C作CD⊥OB于点D，DA即为小明离地的高度，‎ ‎∵∠COD=，∴OD=OC=×20=10。‎ ‎∴DA=20－10＋1=11（m）。‎ 答：计时4分钟后小明离地面的高度是‎11m。‎ ‎（2）设当旋转到E处时，小明离地面高度为‎31m。‎ 作弦EF⊥AO交AO的延长线于点H，连接OE，OF，此时EF离地面高度为HA。‎ ‎∵HA=31，∴OH=31－1－20=10。∴OH=OE。∴∠HOE=60°。∴∠FOE=120°。‎ ‎∵每分钟旋转的角度为：，∴由点E旋转到F所用的时间为：（分钟）。‎ 答：在旋转一周的过程中，小明将有8分钟的时间连续保持在离地面‎31m以上的空中。‎ ‎【考点】圆的综合题，垂径定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】（1）设4分钟后小明到达点C，过点C作CD⊥OB于点D，根据旋转的时间可以求得旋转角∠COD，利用三角函数即可求得OD的长，从而求解。‎ ‎（2）设当旋转到E处时，小明离地面高度为‎31m。作弦EF⊥AO交AO的延长线于点H，连接OE，OF，此时EF离地面高度为HA，在直角△OEH中，利用三角函数求得∠HOE的度数，则∠EOF的度数即可求得，则旋转的时间即可求得。‎ 例8. （2012辽宁营口14分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点A，0)、B(0，3)、C（1，0）三点．‎ ‎(1) 求抛物线的解析式和顶点D的坐标；‎ ‎(2) 如图1，将抛物线的对称轴绕抛物线的顶点D顺时针旋转,与直线交于点N．在直线 DN上是否存在点M，使得∠MON=．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎(3) 点P、Q分别是抛物线和直线上的点，当四边形OBPQ是直角梯形时，‎ 求出点Q的坐标．‎ ‎【答案】解：（1）由题意把A(－3，0)、B(0，3)、C(1，0)代入得，‎ ‎，解得 。‎ ‎∴抛物线的解析式是。‎ ‎∵，‎ ‎∴抛物线的顶点D的坐标为（－1，4）。‎ ‎（2）存在。理由如下： ‎ 由旋转得∠EDF=60°。‎ 在Rt△DEF中，∵∠EDF=60°，DE=4，‎ ‎ ∴EF=DE×tan60°=4。‎ ‎∴OF=OE+EF=1+4。‎ ‎∴F点的坐标为（，0）。‎ 设过点D、F的直线解析式是，‎ 把D（－1，4），F（，0）代入求得 。‎ 分两种情况：‎ ‎①当点M在射线ND上时，∵∠MON=75°，∠BON=45°，‎ ‎∴∠MOB=∠MON﹣∠BON=30°。∴∠MOC=60°。‎ ‎∴直线OM的解析式为。‎ ‎∴点M的坐标为方程组．的解，解方程组得，。‎ ‎∴点M的坐标为（，）。‎ ‎ ②当点M在射线NF上时，不存在点M使得∠MON=75°。‎ ‎∵∠MON=75°，∠FON=45°， ∴∠FOM=∠MON－∠FON=30°。‎ ‎∵∠DFE=30°。∴∠FOM=∠DFE。∴OM∥FN。∴不存在点M使得∠MON=75°。‎ 综上所述，存在点M ，且点M的坐标为（，）。‎ ‎（3）有两种情况：‎ ‎①如图，直角梯形OBPQ中，PQ∥OB，∠OBP=90°。‎ ‎∵∠OBP=∠AOB=90°，∴PB∥OA。‎ ‎∴点P、B的纵坐标相同都是3。‎ ‎∵点P在抛物线上，‎ ‎∴把3代入抛物线的解析式，‎ 解得＝﹣2，＝0（舍去）。‎ 由PQ∥OB得到点P、Q的横坐标相同，都等于－2，‎ 把＝﹣2代入﹣得2。‎ 所以Q点的坐标为（－2，2）。‎ ‎②如图，在直角梯形OBPQ中，PB∥OQ，∠BPQ=90°。‎ ‎∵D(－1，4)，B(0，3) ，∴DB∥OQ。‎ ‎∵PB∥OQ，点P在抛物线上，∴点P、D重合。‎ ‎∴∠EDF=∠EFD=45°。∴EF=ED=4。∴OF=OE+EF=5。‎ 作QH⊥轴于H，‎ ‎∵∠QOF=∠QFO=45°，∴OQ=FQ。∴OH=OF=。‎ ‎∴Q点的横坐标﹣。‎ ‎∵Q点在﹣上，∴把＝﹣代入﹣得。‎ ‎∴Q点的坐标为（﹣，）。‎ 综上所述，符合条件的点Q有两个,坐标分别为：（－2，2），（﹣，）。‎ ‎【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，旋转的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，直角梯形的判定。‎ ‎【分析】（1）用待定系数法，将A、B、C的坐标代入即可求得抛物线的解析式，化为顶点式即可求得顶点坐标。‎ ‎ （2）分点M在射线ND上和点M在射线NF上两种情况讨论即可。‎ ‎ （3）分PQ∥OB，∠OBP=90°和PB∥OQ，∠BPQ=90°两种情况讨论即可。‎ 例9. （2012辽宁阜新10分）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，三角形ABC的顶点均落在格点上．‎ ‎（1）将△ABC绕点O顺时针旋转90°后，得到△A1B‎1C1．在网格中画出△A1B‎1C1；‎ ‎（2）求线段OA在旋转过程中扫过的图形面积；（结果保留π）‎ ‎（3）求∠BCC1的正切值．‎ ‎【答案】解：（1）画图如下：‎ ‎（2）由勾股定理得，，‎ ‎ 线段OA在旋转过程中扫过的图形为以OA为半径，为圆心角的扇形，‎ ‎　　　　　　 ∴。‎ ‎ 答：线段OA在旋转过程中扫过的图形面积为．‎ ‎　 （3）在Rt中，。 ‎ ‎ 答：∠BCC1的正切值是。‎ ‎【考点】网格问题，旋转变换作图，勾股定理，扇形面积，锐角三角函数的定义。‎ ‎【分析】（1）根据图形旋转的性质画出旋转后的图形即可。‎ ‎（2）先根据勾股定理求出OA的长，再根据线段OA在旋转过程中扫过的图形为以OA为半径，∠AOA1为圆心角的扇形，利用扇形的面积公式得出结论即可。‎ ‎（3）直接根据锐角三角函数的定义即可得出结论。‎ 例10. （2012山东临沂13分）如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．‎ ‎（1）求点B的坐标；‎ ‎（2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式；‎ ‎（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°。‎ ‎∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°。‎ 又∵OA=OB=4，‎ ‎∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=。‎ ‎∴点B的坐标为（﹣2，﹣）。‎ ‎（2）∵抛物线过原点O和点A．B，‎ ‎ ∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A（4，0），B（﹣2，﹣）代入，得 ‎，解得。‎ ‎∴此抛物线的解析式为。‎ ‎（3）存在。‎ 如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y）。‎ ‎①若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y=±，‎ 当y=时，‎ 在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD=，‎ ‎∴∠POD=60°‎ ‎∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三点在同一直线上。‎ ‎∴y=不符合题意，舍去。‎ ‎∴点P的坐标为（2，﹣）。‎ ‎②若OB=PB，则42+|y+|2=42，解得y=﹣。‎ ‎∴点P的坐标为（2，﹣）。‎ ‎③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+|2，解得y=﹣。‎ ‎∴点P的坐标为（2，﹣）。‎ 综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣）。‎ ‎【考点】‎ 二次函数综合题，旋转的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨论。‎ ‎【分析】（1）首先根据OA的旋转条件确定B点位置，然后过B做x轴的垂线，通过构建直角三角形和OB的长（即OA长）确定B点的坐标。‎ ‎（2）已知O、A、B三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式。‎ ‎（3）根据（2）的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出P点的坐标，而O、B坐标已知，可先表示出△OPB三边的边长表达式，然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的P点。‎ 练习题：‎ ‎1. （2011浙江宁波3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=，若把Rt△绕边AB所在直线 旋转一周，则所得几何体的表面积为【 】‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎2.（2011广西北海3分）如图，直线l：＝＋2与轴交于点A，将直线l绕点A旋转90º后，所得直 线的解析式为【 】‎ A．＝－2 B．＝－＋2 ‎ ‎ C．＝－－2 D．＝－2－1‎ ‎3.(2011四川德阳3分)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(，0)，B(0，)，如果将线段AB绕点B顺时针旋转90°至CB，那么点C的坐标是【 】 ‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎4.（2011广西百色8分）直线与反比例函数y=的图像交于Ａ、Ｂ两点，且与轴交于C、D两点，A点的坐标为（－3，＋4）.‎ ‎（1）求反比例函数的解析式 ‎（2）把直线AB绕着点M（―1，―1）顺时针旋转到MN，使直线MN⊥轴，且与反比例函数的图像交于点N，求旋转角大小及线段MN的长。‎ ‎5. （2011广东台山12分）如图，点A在轴上，点B在轴上，且OA=OB=1，经过原点O的直线L交线段AB于点C，过C作OC的垂线，与直线=1相交于点P，现将直线L绕O点旋转，使交点C从A向B运动，但C点必须在第一象限内，并记AC的长为，分析此图后，对下列问题作出探究：‎ ‎（1）当△AOC和△BCP全等时，求出t的值。‎ ‎（2）通过动手测量线段OC和CP的长来判断它们之间的大小关系？并 证明你得到的结论。‎ ‎（3）①设点P的坐标为（1, ）,试写出b关于的函数关系式和变量的取值范围。②求出当△PBC 为等腰三角形时点P的坐标。‎ 五、有关等腰（边）三角形的旋转：‎ 典型例题：例1. （2012湖北十堰3分）如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④；⑤．其中正确的结论是【 】‎ A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③ ‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理。‎ ‎【分析】∵正△ABC，∴AB=CB，∠ABC=600。‎ ‎∵线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，∴BO=BO′，∠O′AO=600。‎ ‎∴∠O′BA=600－∠ABO=∠OBA。∴△BO′A≌△BOC。‎ ‎∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到。故结论①正确。 ‎ 连接OO′，‎ ‎∵BO=BO′，∠O′AO=600，∴△OBO′是等边三角形。∴OO′=OB=4。故结论②正确。‎ ‎∵在△AOO′中，三边长为O′A=OC=5，OO′=OB=4，OA=3，是一组勾股数，‎ ‎∴△AOO′是直角三角形。‎ ‎∴∠AOB=∠AOO′＋∠O′OB =900＋600=150°。故结论③正确。‎ ‎。故结论④错误。‎ 如图所示，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，‎ 点O旋转至O″点．‎ 易知△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3、4、5的 直角三角形。‎ 则。‎ 故结论⑤正确。‎ 综上所述，正确的结论为：①②③⑤。故选A。‎ 例2. （2012广东广州3分）如图，在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，△ABD绕点A旋转后得到△ACE，则CE的长度为　 ▲ 　．‎ ‎【答案】2。‎ ‎【考点】等边三角形的性质，旋转的性质。‎ ‎【分析】由在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，根据等边三角形三边相等的性质，即可求得 BD=BC= AB =2。由旋转的性质，即可求得CE=BD=2。‎ 例3. （2012福建厦门4分）如图，点D是等边△ABC内一点，如果△ABD绕点A 逆时针旋转后能与△ACE 重合，那么旋转了 ▲ 度.‎ ‎【答案】60。‎ ‎【考点】旋转的性质，等边三角形的性质。‎ ‎【分析】∵△ABC为等边三角形，∴AC=AB，∠CAB=60°。‎ 又∵△ABD绕点A逆时针旋转后能与△ACE重合，‎ ‎∴AB绕点A逆时针旋转了∠BAC到AC的位置。∴旋转角为60°。‎ 例4. （2012山东青岛3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，∠ABC＝30º，AC＝1．现在将△ABC绕 点C逆时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，连接BB′，则BB′的长度为 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理。‎ ‎【分析】∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，‎ ‎∴A′C=AC=1，AB=2，BC=。‎ ‎∵∠A=60°，∴△AA′C是等边三角形。∴AA′=AB=1。‎ ‎∴A′C=A′B。∴∠A′CB=∠A′BC=30°。‎ ‎∵△A′B′C是△ABC旋转而成，∴∠A′CB′=90°，BC=B′C。‎ ‎∴∠B′CB=90°－30°=60°。∴△BCB′是等边三角形。‎ ‎∴BB′=BC= 。‎ 例5. （2012江西南昌3分）如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小可以是　 ▲ 　．‎ ‎【答案】15°或165°。‎ ‎【考点】正方形和正三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】正三角形AEF可以在正方形的内部也可以在正方形的外部，所以要分两种情况分别求解：‎ ‎ ①当正三角形AEF在正方形ABCD的内部时，如图1，‎ ‎∵正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，‎ ‎∴AB=AD，AE=AF。‎ ‎∵当BE=DF时，在△ABE和△ADF中，AB=AD，BE=DF，AE=AF，‎ ‎∴△ABE≌△ADF（SSS）。∴∠BAE=∠FAD。‎ ‎∵∠EAF=60°，∴∠BAE+∠FAD=30°。∴∠BAE=∠FAD=15°。‎ ‎②当正三角形AEF在正方形ABCD的外部，顺时针旋转小于1800时，如图2，‎ 同上可得△ABE≌△ADF（SSS）。∴∠BAE=∠FAD。‎ ‎∵∠EAF=60°，∴∠BAF=∠DAE。‎ ‎∵900＋600＋∠BAF＋∠DAE=3600，∴∠BAF=∠DAE=105°。‎ ‎∴∠BAE=∠FAD=165°。‎ ③当正三角形AEF在正方形ABCD的外部，顺时针旋转大于1800时，如图3，‎ 同上可得△ABE≌△ADF（SSS）。∴∠BAE=∠FAD。‎ ‎∵∠EAF=60°，∠BAE=90°，‎ ‎∴90°＋∠DAE=60°＋∠DAE，这是不可能的。‎ ‎∴此时不存在BE=DF的情况。‎ 综上所述，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小可以是15°或165°。‎ 例6. （2012吉林省3分）如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD．将△BCD绕点B逆时 针旋转60°得到△BAE，连接ED．若BC=10，BD=9，则△AED的周长是_ ▲____.‎ ‎【答案】19。‎ ‎【考点】旋转的性质，等边三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】∵△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE， ‎ ‎ ∴根据旋转前、后的图形全等的旋转性质，得，CD= AE，BD=BE。‎ ‎∵△ABC是等边三角形，BC=10，∴AC= BC=10。∴AE＋AD=AC=10。‎ 又∵旋转角∠DBE=600，∴△DBE是等边三角形。∴DE=BD=9。‎ ‎∴△AED的周长=DE＋AE＋AD=9＋10=19。‎ 例7. （2012北京市7分）在中，，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，‎ 将线段PA绕点P顺时针旋转得到线段PQ。‎ ‎ （1） 若且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，‎ 并写出∠CDB的度数；‎ ‎ （2） 在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想∠CDB的大 小（用含的代数式表示），并加以证明；‎ ‎ （3） 对于适当大小的，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得 线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ=QD，请直接写出的范围。‎ ‎【答案】解：（1）补全图形如下：‎ ‎∠CDB=30°。‎ ‎（2）作线段CQ的延长线交射线BM于点D，连接PC，AD，‎ ‎∵AB=BC，M是AC的中点，∴BM⊥AC。‎ ‎∴AD=CD，AP=PC，PD=PD。‎ 在△APD与△CPD中，∵AD=CD， PD=PD， PA=PC ‎∴△APD≌△CPD（SSS）。‎ ‎∴AP=PC，∠ADB=∠CDB，∠PAD=∠PCD。‎ 又∵PQ=PA，∴PQ=PC，∠ADC=2∠CDB，∠PQC=∠PCD=∠PAD。‎ ‎∴∠PAD+∠PQD=∠PQC+∠PQD=180°。‎ ‎∴∠APQ+∠ADC=360°－（∠PAD+∠PQD）=180°。‎ ‎∴∠ADC=180°－∠APQ=180°－2α，即2∠CDB=180°－2α。‎ ‎∴∠CDB=90°－α。‎ ‎（3）45°＜α＜60°。‎ ‎【考点】旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，。‎ ‎【分析】（1）利用图形旋转的性质以及等边三角形的判定得出△CMQ是等边三角形，即可得出答案：‎ ‎∵BA=BC，∠BAC=60°，M是AC的中点，∴BM⊥AC，AM=AC。‎ ‎∵将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ，∴AM=MQ，∠AMQ=120°。 ‎ ‎∴CM=MQ，∠CMQ=60°。∴△CMQ是等边三角形。‎ ‎∴∠ACQ=60°。∴∠CDB=30°。‎ ‎（2）首先由已知得出△APD≌△CPD，从而得出∠PAD+∠PQD=∠PQC+∠PQD=180°，即可求出。‎ ‎（3）由（2）得出∠CDB=90°－α，且PQ=QD，‎ ‎∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°－2α。‎ ‎∵点P不与点B，M重合，∴∠BAD＞∠PAD＞∠MAD。‎ ‎∴2α＞180°－2α＞α，∴45°＜α＜60°。‎ 例8. （2012江苏宿迁12分）(1)如图1，在△ABC中，BA=BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE=∠ABC(0°＜∠CBE＜∠ABC)。以点B为旋转中心，将△BEC按逆时针方向旋转∠ABC，得到△BE’A（点C与点A重合，点E到点E’处），连接DE’。求证：DE’=DE. ‎ ‎（2）如图2，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，D，E是AC边上的两点，‎ 且满足∠DBE=∠ABC(0°＜∠CBE＜45°).求证：DE2=AD2+EC2.‎ ‎【答案】证明：（1）∵△BE’A是△BEC按逆时针方向旋转∠ABC得到，‎ ‎ ∴BE’=BE，∠E’BA=∠EBC。‎ ‎ ∵∠DBE=∠ABC，∴∠ABD＋∠EBC =∠ABC。‎ ‎ ∴∠ABD＋∠E’BA =∠ABC，即∠E’BD=∠ABC。∴∠E’BD=∠DBE。‎ ‎ 在△E’BD和△EBD中，∵BE’=BE，∠E’BD=∠DBE，BD=BD，‎ ‎ ∴△E’BD≌△EBD（SAS）。∴DE’=DE。‎ ‎（2）以点B为旋转中心，将△BEC按逆时针方向旋转∠ABC=90°，得到△BE’A（点C与点A重合，点E到点E’处），连接DE’。‎ ‎ 由（1）知DE’=DE。‎ ‎ 由旋转的性质，知E’A=EC，∠E’ AB=∠ECB。‎ ‎ 又∵BA=BC，∠ABC=90°，∴∠BAC=∠ACB=45°。‎ ‎ ∴∠E’ AD=∠E’ AB＋∠BAC=90°。‎ ‎ 在Rt△DE’A中，DE’2=AD2+E’A2，∴DE2=AD2+EC2。‎ ‎【考点】旋转的性质，等腰（直角）三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。‎ ‎【分析】（1）由旋转的性质易得BE’=BE，∠E’BA=∠EBC，由已知∠DBE=∠ABC经等量代换可得 ‎∠E’BD=∠DBE，从而可由SAS得△E’BD≌△EBD，得到DE’=DE。‎ ‎（2）由（1）的启示，作如（1）的辅助图形，即可得到直角三角形DE’A，根据勾股定理即可证得结论。‎ 例9. （2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田10分）△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B．‎ ‎（1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形．‎ ‎（2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．‎ ‎（3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC的面积的时，求线段EF的长．‎ ‎【答案】解：（1）图（1）中与△ADE相似的有△ABD，△ACD，△DCE。‎ ‎（2）△BDF∽△CED∽△DEF，证明如下：‎ ‎∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°，∠EDF+∠BDF+∠CDE=180°，‎ 又∵∠EDF=∠B，∴∠BFD=∠CDE。‎ ‎∵AB=AC，∴∠B=∠C。∴△BDF∽△CED。∴。‎ ‎∵BD=CD，∴，即。‎ 又∵∠C=∠EDF，∴△CED∽△DEF。∴△BDF∽△CED∽△DEF。 ‎ ‎（3）连接AD，过D点作DG⊥EF，DH⊥BF，垂足分别为G，H．‎ ‎∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，BD=BC=6。‎ 在Rt△ABD中，AD2=AB2﹣BD2，即AD2=102﹣62，‎ ‎∴AD=8。‎ ‎∴S△ABC=•BC•AD=×12×8=48，‎ S△DEF=S△ABC=×48=12。‎ 又∵•AD•BD=•AB•DH，∴。‎ ‎∵△BDF∽△DEF，∴∠DFB=∠EFD。 ‎ ‎∵DH⊥BF，DG⊥EF，∴∠DHF=∠DGF。‎ 又∵DF=DF，∴△DHF≌△DGF（AAS）。∴DH=DG=。‎ ‎∵S△DEF=·EF·DG=·EF·=12，∴EF=5。‎ 例10. （2012湖北襄阳5分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，将△ADC绕点A顺时针旋转，使AC与AB重合，点D落在点E处，AE的延长线交CB的延长线于点M，EB的延长线交AD的延长线于点N．‎ 求证：AM=AN．‎ ‎【答案】证明：∵△AEB由△ADC旋转而得，∴△AEB≌△ADC。∴∠EAB=∠CAD，∠EBA=∠C。‎ ‎∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD，∠ABC=∠C。‎ ‎∴∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠DBA。‎ ‎∵∠EBM=∠DBN，∴∠MBA=∠NBA。‎ 又∵AB=AB，∴△AMB≌△ANB（ASA）。∴AM=AN。‎ ‎【考点】等腰三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】根据旋转的性质可得△AEB≌△ADC，根据全等三角形对应角相等可得∠EAB=∠CAD，∠EBA=∠C，结合等腰三角形三线合一的性质即可推出∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠DBA，从而推出∠MBA=∠NBA，然后根据“角边角”证明△AMB≌△ANB，根据全等三角形对应边相等即可得证。‎ 练习题：‎ ‎1. （2011浙江湖州3分）如图，△AOB是正三角形，OC⊥OB，OC＝OB，将△AOB绕点O按逆时针方 向旋转，使得OA与OC重合，得到△OCD，则旋转角度是【 】‎ A．150º B．120º C．90º D．60º ‎2. （2011广西玉林、防城港3分）如图，等边△ABC绕点B逆时针旋转30°时，点C转到C′的位置，且BC′与AC交于点D，则的值为 ▲ ．‎ ‎3. （2011湖北恩施3分）如图，△AOB的顶点O在原点，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴上，且AB=6，∠AOB=60°，反比例函数 ‎（k＞0）的图象经过点A，将△AOB绕点O顺时针旋转120°，顶点B恰好落在的图象上，则k的值为　 ▲ ．‎ ‎4. （2011四川南充8分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M是BC的中点．‎ ‎（1）求证：△MDC是等边三角形；‎ ‎（2）将△MDC绕点M旋转，当MD（即MD′）与AB交于一点E，MC（即MC′）同时与AD交于一点F时，点E，F和点A构成△AEF．试探究△AEF的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值．‎ ‎5.（2011云南玉溪11分）将两个等边△ABC和△DEF（DE＞AB）如图所示摆放，点D是BC上的一点（除B、C点外）．把△DEF绕顶点D顺时针旋转一定的角度，使得边DE、DF与△ABC的边（除BC边外）分别相交于点M、N．‎ ‎（1）∠BMD和∠CDN相等吗？‎ ‎（2）画出使∠BMD和∠CDN相等的所有情况的图形；‎ ‎（3）在（2）题中任选一种图形说明∠BMD和∠CDN相等的理由 ‎6.（浙江义乌10分）如图1，在等边△ABC中，点D是边AC的中点，点P是线段DC上的动点(点P 与点C不重合)，连结BP. 将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P,连结 AA1，射线AA1分别交射线PB、射线B1B于点E、F.‎ ‎ （1） 如图1，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△BEF与△AEP始终存在 ▲ 关系（填“相 似”或“全等”），并说明理由；‎ ‎（2）如图2，设∠ABP=β . 当60°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF与△AEP全 等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由； ‎ ‎（3）如图3，当α=60°时，点E、F与点B重合. 已知AB=4，设DP=，△A1BB1的面积为S，求S关于的函数关系式. ‎ ‎7.（2012山东莱芜9分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90º，D、E分别是AB、AC边的 中点．将△ABC绕点A顺时针旋转角(0º＜＜180º)，得到△AB′C′(如图2)．‎ ‎(1)探究DB′与EC′的数量关系，并给予证明；‎ ‎(2)当DB′∥AE时，试求旋转角的度数．‎ 六、有关直角三角形的旋转：‎ 典型例题：例1. （2012广东佛山3分）如图，把一个斜边长为2且含有300角的直角三角板ABC绕直角顶点C顺时针旋转900到△A1B‎1C，则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是【 】‎ ‎ A．π B． C． D．‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质，扇形面积。‎ ‎【分析】因为旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积分为三部分扇形ACA1、 BCD和△ACD 计算即可：‎ 在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，‎ ‎∴BC=AB=1，∠B=90°－∠BAC=60°。∴。‎ ‎∴。‎ 设点B扫过的路线与AB的交点为D，连接CD，‎ ‎∵BC=DC，∴△BCD是等边三角形。∴BD=CD=1。‎ ‎∴点D是AB的中点。‎ ‎∴S。‎ ‎∴‎ 故选D。‎ 例2. （2012四川绵阳3分）如图，P是等腰直角△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B=135°，P′A：P′C=1：3，则P′A：PB=【 】。‎ A．1： B．1：‎2 ‎‎ C．：2 D．1：‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。‎ ‎【分析】如图，连接AP，‎ ‎∵BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，‎ ‎∴BP=BP′，∠ABP+∠ABP′=90°。‎ 又∵△ABC是等腰直角三角形，‎ ‎∴AB=BC，∠CBP′+∠ABP′=90°，∴∠ABP=∠CBP′。‎ 在△ABP和△CBP′中，∵ BP=BP′，∠ABP=∠CBP′，AB=BC ，∴△ABP≌△CBP′（SAS）。‎ ‎∴AP=P′C。‎ ‎∵P′A：P′C=1：3，∴AP=3P′A。‎ 连接PP′，则△PBP′是等腰直角三角形。∴∠BP′P=45°，PP′= 2 PB。‎ ‎∵∠AP′B=135°，∴∠AP′P=135°-45°=90°，∴△APP′是直角三角形。‎ 设P′A=x，则AP=3x，‎ 在Rt△APP′中，。‎ 在Rt△APP′中，。‎ ‎∴，解得PB=2x。∴P′A：PB=x：2x=1：2。 故选B。‎ 例3. （2012山东淄博4分）如图，OA⊥OB，等腰直角三角形CDE的腰CD在OB上，∠ECD=45°，将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，则的值为【 】‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】旋转的性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理。‎ ‎【分析】由旋转的性质，旋转角∠ECN=750，CN=CE。 ∵∠ECD=45°，∴∠OCN=60°。‎ ‎∴在直角三角形OCN中，，即。‎ 又在等腰直角三角形CDE中，，∴，即。故选C。‎ 例4. （2012山东枣庄3分）如图，直角三角板ABC的斜边AB=12㎝，∠A=30°，将三角板ABC绕C顺时针旋转90°至三角板的位置后，再沿CB方向向左平移，使点落在原三角板ABC的斜边AB上，则三角板平移的距离为【 】‎ A. 6㎝ B. 4㎝ C.（6－ ）㎝ D.（）㎝ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，旋转的性质。‎ ‎【分析】如图，过B′作B′D⊥AC，垂足为B′，‎ ‎∵在Rt△ABC中，AB=12，∠A=30°，‎ ‎∴BC=AB=6，AC=AB•sin30°=。‎ 由旋转的性质可知B′C=BC=6，‎ ‎∴AB′=AC－B′C=。‎ 在Rt△AB′D中，∵∠A=30°，∴B′D=AB′•tan30°=（cm）。故选C。‎ 例5. （2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西3分）Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=900，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论 ‎①(BE+CF)=BC，②，③AD·EF，④AD≥EF，⑤AD与EF可能互相平分，‎ 其中正确结论的个数是【 】‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】C。‎ ‎【考点】‎ 等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，完全平方式的非负数性质，矩形的判定和性质，三角形边角关系，三角形中位线定理。‎ ‎【分析】∵Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=900，‎ ‎∴AD =DC，∠EAD=∠C=450，∠EDA=∠MDN－∠ADN =900－∠AND=∠FDC。‎ ‎∴△EDA≌△FDC（ASA）。∴AE=CF。∴BE+CF= BE+ AE=AB。‎ 在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB=BC。∴(BE+CF)= BC。∴结论①正确。‎ 设AB=AC=a，AE=b，则AF=BE= a－b。‎ ‎∴。‎ ‎∴。∴结论②正确。‎ 如图，过点E作EI⊥AD于点I，过点F作FG⊥AD于点G，过点F作FH⊥BC于点H，ADEF相交于点O。‎ ‎∵四边形GDHF是矩形，△AEI和△AGF是等腰直角三角形，‎ ‎∴EO≥EI（EF⊥AD时取等于）=FH=GD，‎ OF≥GH（EF⊥AD时取等于）=AG。‎ ‎∴EF=EO＋OF≥GD＋AG=AD。∴结论④错误。‎ ‎∵△EDA≌△FDC，‎ ‎∴。∴结论③错误。‎ 又当EF是Rt△ABC中位线时，根据三角形中位线定理知AD与EF互相平分。‎ ‎∴结论⑤正确。‎ 综上所述，结论①②⑤正确。故选C。‎ 例6. （2012四川广安3分）如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC=，∠ACB=90°，∠A=30°．若Rt△ABC由现在的位置向右滑动地旋转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为 ‎　 ▲ 　（结果用含有π的式子表示）‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】旋转的性质，含300角直角三角形的性质，弧长的计算。‎ ‎【分析】如图，根据含30度的直角三角形三边的关系得到BC=1，AB=2BC=2，∠ABC=60°；点A先是以B点为旋转中心，顺时针旋转120°到A1，再以点C1为旋转中心，顺时针旋转90°到A2，然后根据弧长公式计算两段弧长，从而得到点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长：‎ ‎∵Rt△ABC中，AC=，∠ACB=90°，∠A=30°，∴BC=1，AB=2BC=2，∠ABC=60°。‎ ‎∵Rt△ABC在直线l上无滑动的翻转，且点A第3次落在直线l上时，有3个的长，2个的长，‎ ‎∴点A经过的路线长=。‎ 例7. （2012贵州六盘水4分）两块大小一样斜边为4且含有30°角的三角板如图水平放置．将△CDE绕C点按逆时针方向旋转，当E点恰好落在AB上时，△CDE旋转了 ▲ 度，线段CE旋转过程中扫过的面积为 ▲ ．‎ 例8. （2012湖北荆门9分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，将△ABC沿AB向下翻折后，再绕点A按顺时针方向旋转α度（α＜∠BAC），得到Rt△ADE，其中斜边AE交BC于点F，直角边DE分别交AB、BC于点G、H．‎ ‎（1）请根据题意用实线补全图形；‎ ‎（2）求证：△AFB≌△AGE．‎ ‎【答案】解：（1）画图，如图：‎ ‎（2）证明：由题意得：△ABC≌△AED。‎ ‎∴AB=AE，∠ABC=∠E。‎ 在△AFB和△AGE中，∵∠ABC=∠E，AB=AE，∠α=∠α，‎ ‎∴△AFB≌△AGE（ASA）。‎ ‎【考点】翻折变换（折叠问题），旋转的性质，全等三角形的判定。‎ ‎【分析】（1）根据题意画出图形，注意折叠与旋转中的对应关系。‎ ‎（2）由题意易得△ABC≌△AED，即可得AB=AE，∠ABC=∠E，然后利用ASA的判定方法，即可证得△AFB≌△AGE。‎ 例9. （2012四川成都10分） 如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．‎ ‎（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；‎ ‎（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=a，CQ=时，P、Q两点间的距离 (用含a的代数式表示)．‎ ‎【答案】解：（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，AB=AC。‎ ‎ ∵AP=AQ，∴BP=CQ。‎ ‎∵E是BC的中点，∴BE=CE。‎ 在△BPE和△CQE中，∵BE=CE，∠B=∠C，BP=CQ，‎ ‎∴△BPE≌△CQE（SAS）。‎ ‎（2）连接PQ。‎ ‎∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，‎ ‎∴∠B=∠C=∠DEF=45°。‎ ‎∵∠BEQ=∠EQC+∠C，即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，‎ ‎∴∠BEP+45°=∠EQC+45°。∴∠BEP=∠EQC。‎ ‎∴△BPE∽△CEQ。∴。‎ ‎∵BP=a，CQ=，BE=CE，‎ ‎∴，即BE=CE=。∴BC=。‎ ‎∴AB=AC=BC•sin45°=‎3a。∴AQ=CQ﹣AC=，PA=AB﹣BP=‎2a。‎ ‎∴在Rt△APQ中，。‎ ‎【考点】等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理。‎ ‎【分析】（1）由△ABC是等腰直角三角形，易得∠B=∠C=45°，AB=AC，又由AP=AQ，E是BC的中点，利用SAS，可证得：△BPE≌△CQE。‎ ‎（2）由△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，易得∠B=∠C=∠DEF=45°，然后利用三角形的外角的性质，即可得∠BEP=∠EQC，则可证得：△BPE∽△CEQ；根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长，即可得BC的长，从而求得AQ与AP的长，利用勾股定理即可求得P、Q两点间的距离。‎ 例10. （2012山东济南9分）如图1，在菱形ABCD中，AC=2，BD=2 3 ，AC，BD相交于点O．‎ ‎（1）求边AB的长；‎ ‎（2）如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC，CD相交于点E，F，连接EF与AC相交于点G．‎ ‎①判断△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由；‎ ‎②旋转过程中，当点E为边BC的四等分点时（BE＞CE），求CG的长．‎ ‎【答案】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴△AOB为直角三角形，且OA=AC=1，OB=BD= 3。‎ 在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=。 （2）①△AEF是等边三角形。理由如下：‎ ‎∵由（1）知，菱形边长为2，AC=2，∴△ABC与△ACD均为等边三角形。‎ ‎∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°。‎ 又∠EAF=∠CAF+∠CAE=60°，∴∠BAE=∠CAF。‎ 在△ABE与△ACF中，∵∠BAE=∠CAF ，AB=AC=2 ，∠EBA=∠FCA=60°，‎ ‎∴△ABE≌△ACF（ASA）。∴AE=AF。∴△AEF是等腰三角形。‎ 又∵∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形。‎ ‎②BC=2，E为四等分点，且BE＞CE，∴CE=，BE=。‎ 由①知△ABE≌△ACF，∴CF=BE=。‎ ‎∵∠EAC+∠AEG+∠EGA=∠GFC+∠FCG+∠CGF=180°（三角形内角和定理），‎ ‎∠AEG=∠FCG=60°（等边三角形内角），∠EGA=∠CGF（对顶角），‎ ‎∴∠EAC=∠GFC。‎ 在△CAE与△CFG中，∵ ∠EAC=∠GFC ，∠ACE=∠FCG=60°，‎ ‎∴△CAE∽△CFG 。∴，即。解得：CG=。‎ ‎【考点】旋转的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理。‎ ‎【分析】（1）根据菱形的性质，确定△AOB为直角三角形，然后利用勾股定理求出边AB的长度。‎ ‎（2）①确定一对全等三角形△ABE≌△ACF，得到AE=AF，再根据已知条件∠EAF=60°，可以判定△AEF是等边三角形。‎ ‎②确定一对相似三角形△CAE∽△CFG，由对应边的比例关系求出CG的长度。‎ 练习题：‎ ‎1. （2012广西玉林、防城港3分）如图，两块相同的三角板完全重合在一起，∠A=30°，AC=10，把上面一块绕直角顶点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，点C′在AC上，A′C ′与AB相交于点D，则C′D=‎ ‎ ▲ .‎ ‎2. （2012广西钦州3分）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是　 ▲ 　．‎ ‎3. （2012广西来宾3分）如图，在直角△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB= ▲ 0．‎ ‎4. （2012河南省5分）如图，在Rt△ABC中，∠C=900，AC=6，BC=8，把△ABC绕AB边上的点D顺时针旋转90°得到△A′B′C′，A′C′交AB于点E，若AD=BE，则△A′DE的面积为 ▲ ‎ ‎5. （2012山东菏泽10分）如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O．‎ ‎（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B的两条性质．‎ ‎6. （2012山东济宁8分）如图，在平面直角坐标系中，有一Rt△ABC，且A（﹣1，3），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，3），已知△A‎1AC1是由△ABC旋转得到的．‎ ‎（1）请写出旋转中心的坐标是　 　，旋转角是　 　度；‎ ‎（2）以（1）中的旋转中心为中心，分别画出△A‎1AC1顺时针旋转90°、180°的三角形；‎ ‎（3）设Rt△ABC两直角边BC=a、AC=b、斜边AB=c，利用变换前后所形成的图案证明勾股定理．‎ ‎7. （2011湖南株洲10分）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线 的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于 A、B两点，请解答以下问题：‎ ‎（1）若测得OA=OB=（如图1），求的值；‎ ‎（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点旋转到如图2所示位置时，过B作轴于点F，测 得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点的横坐标；‎ ‎（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过 一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．‎ ‎8. （2011湖南张家界12分）如图，抛物线经过点A（—4，0）、B（—2，2），连接OB、AB，‎ ‎（1）求该抛物线的解析式.‎ ‎（2）求证：△OAB是等腰直角三角形.‎ ‎（3）将△OAB绕点O按逆时针方向旋转135°，得到△OA′B′，写出A′B′的中点P的坐标，试判断点P是否在此抛物线上.‎ ‎（4）在抛物线上是否存在这样的点M，使得四边形ABOM成直角梯形，若存在，请求出点M坐标及该直角梯形的面积，若不存在，请说明理由.‎ ‎9. （2011福建漳州13分）如图，直线y＝－2x＋2与x轴、y轴分别交于A、B两点，将△OAB绕点O逆时针方向旋转90°后得到△OCD．‎ ‎（1）填空：点C的坐标是(_ ▲ ，_ ▲ )，‎ 点D的坐标是(_ ▲ ，_ ▲ )；‎ ‎（2）设直线CD与AB交于点M，求线段BM的长；‎ ‎（3）在y轴上是否存在点P，使得△BMP是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；‎ 若不存在，请说明理由．‎ ‎10. （福建龙岩12分）一副直角三角板叠放如图所示，现将含45°角的三角板ADE固定不动，把含30°角的三角板ABC绕顶点A顺时针旋转∠α（α=∠BAD且0°<α<180°），使两块三角板至少有一组边平行。‎ ‎（1）如图①，α=______°时，BC∥DE；‎ ‎（2）请你分别在图②、图③的指定框内，各画一种符合要求的图形，标出α，并完成各项填空：‎ 图②中α=______°时，______∥______；图③中α=______°时，______∥______。‎ 七、有关平行四边形、矩形、菱形的旋转：‎ 典型例题：例1. （2012福建龙岩4分）如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，把矩形ABCD 绕AB所在直线旋转一 周所得圆柱的侧面积为【 】‎ ‎ A． B． C． D．2‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】矩形的性质，旋转的性质。‎ ‎【分析】把矩形ABCD 绕AB所在直线旋转一周所得圆柱是以BC=2为底面半径，AB=1为高。所以，它 的侧面积为。故选B。‎ 例2. （2012福建泉州4分）如图，在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，将AD绕点A顺时针旋转，当点D落在BC上点D′时，则AD′= ▲ ，∠A D′B= ▲ °.‎ ‎【答案】2；30。 ‎ ‎【考点】旋转的性质，矩形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】根据旋转图形对应点到旋转中心的距离相等的性质，AD′= AD=2。‎ ‎ 根据矩形的性质，∠B=900，根据锐角三角函数定义，。‎ ‎ ∴∠A D′B=300。‎ 例3. （2012广西河池3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OEFG的顶点F的坐标为(4，2)，将矩形OEFG 绕点O逆时针旋转，使点F落在y轴上，得到矩形OMNP，OM与GF相交于点A．若经过点A的反比例 函数的图象交EF于点B，则点B的坐标为 ▲ .‎ ‎【答案】（4，）。‎ ‎【考点】反比例函数综合题，矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，曲线上点的坐标与方 程的关系。‎ ‎【分析】∵矩形OEFG绕点O逆时针旋转，使点F落在y轴的点N处，得到矩形OMNP，‎ ‎∴∠P=∠POM=∠OGF=90°。∴∠PON+∠PNO=90°，∠GOA+∠PON=90°。∴∠PNO=∠GOA。‎ ‎∴△OGA∽△NPO。‎ ‎∵E点坐标为（4，0），G点坐标为（0，2），∴OE=4，OG=2。∴OP=OG=2，PN=GF=OE=4。‎ ‎∵△OGA∽△NPO，∴OG：NP=GA：OP，即2：4=GA：2。∴GA=1。∴A点坐标为（1，2）。‎ 把A（1，2）代入得k=1×2=2。∴过点A的反比例函数解析式为。‎ 把x=4代入得。∴B点坐标为（4，）。‎ 例4. （2012江苏淮安12分）如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（0，4），C（2，0），将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转1350，得到矩形EFGH（点E与O重合）.‎ ‎（1）若GH交y轴于点M，则∠FOM＝ ，OM= ‎ ‎（2）矩形EFGH沿y轴向上平移t个单位。‎ ‎①直线GH与x轴交于点D，若AD∥BO，求t的值；‎ ‎②若矩形EFHG与矩形OABC重叠部分的面积为S个平方单位，试求当0

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