【数学】2019届一轮复习北师大版 函数与方程思想学案
模块一 数学思想与解题技法篇
第一讲 函数与方程思想
思想方法诠释
函数的思想：是通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题得到解决的思想．
2．方程的思想：是建立方程或方程组或者构造方程或方程组，通过解方程或方程组或者运用方程的性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想.
要点一 函数与方程思想在函数、方程、不等式中的应用
[解析] (1)当y＝a时，2(x＋1)＝a，所以x＝－1.
设方程x＋lnx＝a的根为t，则t＋lnt＝a，则|AB|＝＝
eq blc|rc|(avs4alco1(t－f(t＋lnt,2)＋1))＝.设g(t)＝－＋1(t>0)，则g′(t)＝－＝，令g′(t)＝0，得t＝1，当t∈(0,1)时，g′(t)<0；当t∈(1，＋∞)时，g′(t)>0，所以g(t)min＝g(1)＝，所以|AB|≥，所以|AB|的最小值为，故选D.
(2)因为函数f(x)＝log3(9x＋t2)是定义域R上的增函数，且为“优美函数”，则f(x)＝x至少有两个不等实根，由log3(9x＋t2)＝x，得9x＋t2＝3x，所以(3x)2－3x＋t2＝0有两个不等实根．令λ＝3x(λ>0)，则λ2－λ＋t2＝0有两个不等正实根，所以解得－
0，所以a－1>0，所以＋＝＋＝＋≥2 ＝2，当且仅当＝和＋＝1同时成立，即a＝b＝3时等号成立，所以＋的最小值为2，故选A.
[答案] A
2．(2017·豫南九校联考)若关于x的方程2－2－|x＋2|＝2＋a有实根，则实数a的取值范围是________．
[解析] 令f(x)＝2－2－|x＋2|，要使方程f(x)＝2＋a有实根，只需2＋a是f(x)值域内的值，又可知f(x)的值域为[1,2)，∴1≤2＋a<2，解得－1≤a<0.
[答案] [－1,0)
要点二 函数与方程思想在数列中的应用
[思维流程] (1)―→―→
(2)―→―→
[解析] (1)∵an＋1－an＝2n，∴当n≥2时，an－an－1＝2(n－1)，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(2n－2)＋(2n－4)＋…＋2＋33＝n2－n＋33(n≥2)．
又a1＝33＝1－1＋33，故a1满足上式，
∴an＝n2－n＋33(n∈N*)，∴＝n＋－1，
令f(x)＝x＋－1(x>0)，则f′(x)＝1－.
令f′(x)＝0，得x＝，
易知当x∈(0，)时，f ′(x)<0，当x∈(，＋∞)时，f ′(x)>0，
∴f(x)在区间(0，)上递减，在区间(，＋∞)上递增，
又5<<6，且f(5)＝5＋－1＝，f(6)＝6＋－1＝，f(5)>f(6)，
∴当n＝6时，有最小值.
(2)构造函数f(x)＝x5＋2016x，
则f(x)是奇函数，且在R上递增，
依题意得， f(1－a1008)＝－f(1－a1009)，
又－f(1－a1009)＝f(a1009－1)，
则f(1－a1008)＝f(a1009－1)，
所以1－a1008＝a1009－1，即a1008＋a1009＝2，
所以S2016＝×2016＝×2016＝2016，排除B，D；
由f(1－a1008)>f(1－a1009)，得1－a1008>1－a1009，所以a10080，S16<0，则，，，…，中最大的项为( )
A. B. C. D.
[解析] 由S15＝>0，得a1＋a15>0，
则a8>0，
由S16＝<0，得a1＋a16<0，则a8＋a9<0，
∴a9<0，∴公差d<0，所以{an}单调递减，
易知>0，>0，…，>0，<0，<0，…，<0，
且S1a2>…>a8，
所以在，，…，中最大的是.故选A.
[答案] A
4．(2017·西安一模)设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________．
[解析] 设等比数列{an}的公比为q，则由a1＋a3＝10，a2＋a4＝q(a1＋a3)＝5，知q＝.又a1＋a1q2＝10，∴a1＝8.
故a1a2…aa＝aq1＋2＋…＋(n－1)＝23n·
＝2＝2.
记t＝－＋＝－(n2－7n)，
结合n∈N*可知n＝3或4时，t有最大值6.
又y＝2t为增函数，从而a1a2…an的最大值为26＝64.
[答案] 64
要点三 函数与方程思想在解析几何中的应用
[解] (1)设直线AP的斜率为k，
k＝＝x－，
因为－0)与直线l1：x－y＋4＝0相切，设点A为圆上一动点，AB⊥x轴于B，且动点N满足＝2，设动点N的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)直线l与直线l1垂直且与曲线C交于P，Q两点，求△OPQ(O为坐标原点)面积的最大值．
[解] (1)设动点N(x，y)，A(x0，y0)，因为AB⊥x轴于B，所以B(x0,0)，
由题意得，r＝＝2，
所以圆M的方程为M：x2＋y2＝4.
因为＝2，所以(0，－y0)＝2(x0－x，－y)，
即
将A(x,2y)代入圆M：x2＋y2＝4中，得动点N的轨迹方程为＋y2＝1.
(2)由题意，设直线l：x＋y＋m＝0，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立直线l与椭圆C的方程得消去y，得13x2＋8mx＋4m2－4＝0，
Δ＝192m2－4×13(4m2－4)＝16(－m2＋13)>0，解得m2<13，x1＋x2＝－，x1·x2＝.
又点O到直线l的距离d＝，|PQ|＝2|x1－x2|＝，
所以S△OPQ＝··＝≤1，当且仅当m2＝13－m2，即m＝±时，等号成立．
故△OPQ面积的最大值为1.
—————————————————————
1．函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点，再如方程f(x)＝g(x)的解的问题可以转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)的交点问题，也可以转化为函数y＝f(x)－g(x)与x轴的交点问题，方程f(x)＝a有解，当且仅当a属于函数f(x)的值域．
2．当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想．
3．借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题，二是在问题的研究中，可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解．
