《同步导学案》人教七年级数学（下册）第九章9.3 一元一次不等式组
9.3 一元一次不等式组
1.了解一元一次不等式组的概念，理解一元一次不等式组解集的意义；
2.掌握一元一次不等式组的解法,会用一元一次不等式组解决有关的实际问题.
3.重难点: 一元一次不等式组的解法及用一元一次不等式组解决有关的实际问题是重点；正确分析实际问题中的不等关系是难点.
知识导入
现有两根木条a和b，a长10 cm，b长3 cm.如果再找一根木条c，用这三根木条钉成一个三角形木框，那么对木条c的长度有什么要求？
根据“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”可知：
c＞10-3且c＜10+3
这就是说，第三边c要满足两个不等关系。那么c的长度究竟在什么范围呢？今天我们就来解决这个问题.
知识讲解
知识点一：解一元一次不等式组
例1 解下列不等式组：
（1） （2）
分析
把几个一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组.把几个不等式组的解集的公共部分，叫做不等式组的解集.解不等式就是求它的解集.
解不等式组步骤:①求出各个不等式的解集；②找出各个不等式的解集的公共部分（利用数轴）即解集．
解析 （1）解不等式①得x＞2
解不等式②得x＞3
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如图9.3-1
所以不等式组的解集为x＞3
（2）解不等式①得x≥8
解不等式②得2x+5-3＜6-3x
x＜
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如图9.3-2
所以不等式组无解.
点拨 由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：最好根据数轴来理解.（已知）的解集是，即“小小取小”；的解集是，即“大大取大”； 的解集是，即“大小小大中间找”；的解集是空集，即“大大小小无解了”.
不等式的解集用数轴来表示时，注意“空心圆圈”和“实心点”的不同含义.
知识点二：实际问题与一元一次不等式组
例2 3 个小组计划在10天内生产500件产品（每天产量相同），按原先的生产速度，不能完成任务；如果每个小组每天比原先多生产1件产品，就能提前完成任务。每个小组原先每天生产多少件产品？
分析 “不能完成任务”的数量含义是产量小于500.“提前完成任务”的数量含义是产量大于500.
解析 设每个小组原先每天生产件x产品.由题意，得
由不等式①得x＜
由不等式②得x＞
所以不等式的解集为
b）
不等式组
图示
解集
（同大取大）
（同小取小）
（大小交叉取中间）
无解（大小分离解为空）
例 解下列不等式组,并把解集在数轴上表示出来.
(1) (2)
(3) (4)
分析 解一元一次不等式组的步骤:(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集；(2)利用数轴求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集．
解析 (1)由①得x>5,由②得x>-2.在数轴上表示为如图9.3-3.
它们的公共部分为x>5,故不等式组的解集为x>5.
(2)由不等式①得x<6,由不等式②得x≥1,在数轴上表示为如图9.3-4.
它们的公共部分为1≤x<6,即为不等式组的解集.
(3)由不等式①得x<1,由不等式②得x≥2,在数轴上表示为如图9.3-5.
它们没有公共部分,故此不等式组无解.
(4)由不等式①得x<-3,由不等式②得x<,在数轴上表示为.如图9.3-6
它们的公共部分是x<-3,即为不等式组的解集.
2.求不等式(组)的特殊解
不等式(组)的解往往是有无数多个,但其特殊解在某些范围内是有限的,如整数解、非负整数解,要求这些特殊解,首先是确定不等式(组)的解集, 然后再找到相应的答案.注意应用数形结合思想.
例 不等式组的整数解的和是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
分析 先解不等式组，在解集中找出整数解.分别求出两个不等式的解集，用数轴描述出它们的解集，再找整数解.
解析
解不等式①，得
解不等式②，得
在数轴上表示①、②的解集，
所以
所以满足条件的整数解为0，1，2.所以和为0+1+2=3
故选C.
例 求不等式的整数解的和.
分析 此题以不等式的连写形式，可将它拆成两个不等式，即与的形式，分别求解，再在区间内找出整数解.
解析 由，写成
解①，得x≤5
解②，得x>-1
-12，则m的取值范围是（ ）
A. m<2 B. m≥2 C. m≤1 D. m>1
错解
解不等式①，得x>2
解不等式②，得
由题目中给出的不等式组的解集为x>2
所以 m+1>2 所以选D. m>1
辨析 此题中的不等式组中，除了含有x外，还多出一个m。可以先按一般的方法求出不等式组的解集，再由x>2，求出m的取值范围.所以m+1≤2，
所以m≤1.
正解
解不等式①，得x>2
解不等式②，得 x>m+1
由题目中给出的不等式组的解集为x>2，可知x>m+1中的m+1不能大于2，
故m+1≤2，所以m≤1.故选C.
题2 关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是（ ）
错解 由（1）得x＞7；
由（2）得x＜2-4a；
其解集为7＜x＜2-4a，
因不等式组有四个整数解，为8,9，10，11，则，
解得≤a＜．
辨析 解不等式过程中没注意符号问题,造成解不等式的错误.
正解 由（1）得x＞7；
由（2）得x＜2-4a；
其解集为7＜x＜2-4a，
因不等式组有四个整数解，为8,9，10，11，则，
解得≤a＜．所以a的取值范围是: ≤a＜
1. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是 （ ）
2.不等式的解集是（ ）
A．－＜x≤2 B．－3＜x≤2 C．x≥2 D．x＜－3
3.解不等式组:
4. 解不等式组:
5 . 某同学在A、B两家超市发现他看中的MP4的单价相同，手机单价也相同，MP4和手机单价之和是452元，且MP4的单价比手机单价的4倍少8元。
（1）求该同学看中的MP4和手机单价各是多少元？
（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八折销售，超市B全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？
某园林部门决定利用现有的349盆甲种花卉和295盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个，摆放在迎宾大道两侧．已知搭配一个A种造型需甲种花卉8盆，乙种花卉4盆；搭配一个B种造型需甲种花卉5盆，乙种花卉9盆．
(l）某校九年级某班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来；
(2）若搭配一个A种造型的成本是200元，搭配一个B种造型的成本是360元，试说明（1）中哪种方案成本最低，最低成本是多少元？
分析 ⑴设搭建A种园艺造型x个，则搭建B种园艺造型（50-x）个.又甲种花卉不能超过349盆和乙种花卉不能超过295盆，可建立不等式.(2)根据第一问所求数据分别代入即可发现答案.
解析 ⑴设搭建A种园艺造型x个，则搭建B种园艺造型（50-x）个.
根据题意得解得，
所以共有三种方案①A :31 B:19
②A :32 B:18
③A :33 B:17
⑵由于搭配一个A种造型的成本是200元，搭配一个B种造型的成本是360元，所以搭配同样多的园艺造型A种比B种成本低，则应该搭配A种33个，B种17个.
成本：33×200+17×360=12720（元）
点拨 利用不等式解决实际问题是中考中常考的知识点.解决此类问题的关键是利用题目中的不等量关系把实际问题转化成数学问题,建立数学模型. 有时题目中含有 “大于”、“不小于”、“超过”、“不足”、“至少”等等表示不等关系的词语，有时却没有这样的词语.这时，我们就要抓住具有不等意义的句子加以分析，要细心地体会.
练习 为了保护环境，某化工厂一期工程完成后购买了3台甲型和2台乙型污水处理设备，共花费资金54万元，且每台乙型设备的价格是每台甲型设备价格的75%，实际运行中发现，每台甲型设备每月能处理污水200吨，每台乙型设备每月能处理污水160吨，且每年用于每台甲型设备的各种维护费和电费为1万元，每年用于每台乙型设备的各种维护费和电费为1.5万元.今年该厂二期工程即将完成，产生的污水将大大增加，于是该厂决定再购买甲、乙两型设备共8台用于二期工程的污水处理，预算本次购买资金不超过84万元，预计二期工程完成后每月将产生不少于1300吨污水.
（1）请你计算每台甲型设备和每台乙型设备的价格各是多少元？
（2）请你求出用于二期工程的污水处理设备的所有购买方案；
（3）若两种设备的使用年限都为10年，请你说明在（2）的所有方案中，哪种购买方案的总费用最少？（总费用＝设备购买费＋各种维护费和电费）
参考答案
课时检测
1.A 2.B
3.解：解不等式①，得x<解不等式②，得x<
由题目中给出的不等式组的解集为x<.
4.解：解不等式①，得x>解不等式②，得x≥2
由题目中给出的不等式组的解集为x≥2.
5.解：（1）解法一：设手机的单价为元，则MP4的单价为元
根据题意，得4x-8+x=452 解这个方程，得x=92,4x-8=360
答：该同学看中的MP4单价为360元，手机单价为92元.
解法二：设手机的单价为元，MP4的单价为元,根据题意，得解这个方程组，得
答：该同学看中的MP4单价为360元，手机单价为92元.
（2）在超市A购买MP4与手机各一件需花费现金：452×80%=361.6（元）
因为361.6＜400，所以可以选择超市A购买。
在超市B可先花费现金360元购买MP4，再利用得到的90元返券，加上2元现金购买手机，总计共需花费现金：360＋2＝362（元）
因为362＜400，所以也可以选择在超市B购买. 因为362＞361.6，所以在超市A购买更省钱.
拓展提升
解：（1）设一台甲型设备的价格为x万元，由题，解得x＝12，因为 12×75%＝9 ，所以 一台甲型设备的价格为12万元，一台乙型设备的价格是9万元
(2)设二期工程中,购买甲型设备a台,由题意有，解得：由题意a为正整数,所以a＝1,2,3,4 所以所有购买方案有四种,分别为
方案一:甲型1台,乙型7台； 方案二:甲型2台,乙型6台
方案三:甲型3台,乙型5台； 方案四:甲型4台,乙型4台
(3)设二期工程10年用于治理污水的总费用为W万元
化简得: －2a＋192,
把a＝1,2,3,4分别带入发现当a＝4时, W最小
所以按方案四甲型购买4台,乙型购买4台的总费用最少.
