【数学】2019届一轮复习北师大版三角函数的图象与性质学案

【数学】2019届一轮复习北师大版三角函数的图象与性质学案

‎ ‎ 高考考点 命题分析 三年高考探 ‎ 考查频率 三角函数的定义、同角三角函数的基本关系式和诱导公式 三角函数的考查重点是三角函数的定义、图象与性质，考查中以图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值作为热点，并常与三角恒等变换交汇命题，难度为中档偏下.‎ ‎2016课标全国Ⅲ5 ‎ ‎★★★ ‎ 三角函数的图象 ‎ ‎2017课标全国Ⅰ9‎ ‎2016课标全国Ⅱ7‎ ‎2015课标全国Ⅰ8‎ ‎★★★★★‎ 三角函数的性质 ‎2017课标全国Ⅲ6‎ ‎2016课标全国Ⅰ12‎ ‎★★★★★‎ 考点1 三角函数的定义、同角三角函数的基本关系式和诱导公式 题组一 利用三角函数的定义求三角函数的值 调研1 已知角的终边经过点,则 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为角的终边经过点,所以,则,‎ 即.故选D．‎ ‎☆技巧点拨☆‎ 任意角的三角函数值的求解策略 ‎（1）确定三个量 角的终边上异于原点的点的横、纵坐标及该点到原点的距离；‎ ‎（2）若已知角的大小，只需确定出角的终边与以坐标原点为圆心的单位圆的交点的坐标，即可求出该角的三角函数值；‎ ‎（3）检验时，注意各象限三角函数值的正号规律 一全二正弦，三切四余弦.‎ 题组二 利用同角三角函数的基本关系式和诱导公式化简求值 调研2 已知,且=,则的值为            .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为,所以，‎ 又，所以,则.‎ 因为,所以=.‎ 调研3 若=,则的值等于 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为,所以.所以=.故选C．‎ ‎☆技巧点拨☆‎ ‎1．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值．‎ ‎2．巧用相关角的关系能简化解题的过程．‎ 常见的互余关系有与，与，与等；‎ 常见的互补关系有与，与等.‎ 考点2 三角函数的图象 题组一 已知三角函数的图象求函数的解析式 调研1 某函数的部分图象如图所示,则它的函数解析式可能是 A．y=sin(-x+) B．y=sin(x-)‎ C．y=sin(x+) D．y=-cos(x+)‎ ‎【答案】C ‎【解析】方法一 不妨令该函数解析式为y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),‎ 由题图知A=1,-,于是,即ω=,‎ 又是函数的图象递减时经过的零点,于是+φ=2 π+π, ∈ ,所以φ可以是.‎ 方法二 由图象知过点，代入选项可排除A、D．又过点，代入B，C知C正确．学 ‎ 题组二 三角函数的图象变换 调研2 函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的图象如图所示,为了得到g(x)=-Acos ωx的图象,可以将f(x)的图象 A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 ‎【答案】B ‎【解析】由题图知A=1,-,所以T==π,所以ω=2.故f(x)=sin(2x+φ).‎ 因为f()=0,0<φ<π,所以2×+φ=π,解得φ=,‎ 所以f(x)=sin(2x+).‎ 又g(x)=-cos 2x=sin(2x-)=sin[ 2(x-,所以要想得到g(x)的图象,只需将函数f(x)的图象向右平移个单位长度.故选B.‎ 调研3 若将函数y=3sin(2x+)+的图象向右平移个单位长度,则平移后图象的对称中心为 A．(+,)( ∈ ) B．(+,0)( ∈ )‎ C．(,)( ∈ ) D．(,0)( ∈ )‎ ‎【答案】C ‎【解析】y=3sin(2x+)+的图象向右平移个单位长度得到y=3sin[2(x-)+]+=3sin 2x+的图象,‎ 由2x= π, ∈ 得x=, ∈ ,所以对称中心为(,)( ∈ ),故选C．学 ‎ ‎☆技巧点拨☆‎ 作三角函数图象左右平移变换时，平移的单位数是指单个变量x的变化量，因此由y＝sin ωx(ω＞0)的图象得到y＝sin(ωx＋φ)的图象时，应将图象上所有点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移个单位，而非|φ|个单位．‎ 考点3 三角函数的性质 题组一 三角函数的单调性 调研1 已知函数()的图象中相邻两条对称轴间的距离为，且点是它的一个对称中心.‎ ‎(1)求的表达式；‎ ‎(2)求的单调递增区间；‎ ‎(3)若在上是单调递减函数，求的最大值.‎ ‎【解析】(1)由题意得的最小正周期为，‎ ‎∴∴∴.‎ 又是它的一个对称中心，∴，，‎ ‎∴，，‎ ‎∵, ∴.‎ ‎∴.‎ ‎(2)由,得,‎ ‎∴的单调递增区间为 ‎(3)∵又在上是减函数, 学 ‎ ‎∴ ，又，∴ ，即的最大值为.‎ ‎☆技巧点拨☆‎ ‎1．求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性“同增异减”的规律.‎ ‎2．对于三角函数的定义域有范围限制时，在求单调区间时应给予关注，一定要在定义域范围内研究其单调区间．‎ ‎3．已知三角函数的单调区间求参数的问题，一般先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.‎ 题组二 三角函数的值域与最值 调研2 求函数f(x)=2sin2x+2sin -,x∈[,]的值域.‎ ‎【解析】令t=sin ,因为x∈[,],所以≤sin ≤1,即≤t≤1.‎ 则g(t) =2t2+2t-=2(t+)2-1,t∈[,1],且该函数在[,1]上是增加的,所以g(t)的最小值为g()=1,最大值为g(1)=.‎ 即函数f(x)的值域为[1,]. 学 ‎ ‎☆技巧点拨☆‎ 求解三角函数的值域（最值）的类型与方法 ‎ ‎（1）形如的三角函数，可先化为的形式，再求解；‎ ‎（2）形如的三角函数，可先设sin =t，转化为关于t的二次函数求解.‎ ‎（3）形如的三角函数,可先设得,把原解析式化为关于t的二次函数，再求解. ‎ 题组三 三角函数的奇偶性、周期性、对称性 调研3 已知函数f(x)=sin(ωx+)(x∈R,ω>0)的最小正周期为π,将的图象向左平移|φ|个单位长度,所得图象关于y轴对称,则φ的一个值是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由最小正周期为π得ω=2,于是f(x)=sin(2x+),其图象向左平移|φ|个单位长度后所对应的函数的解析式为y=sin(2x++2|φ|),由于该函数的图象关于y轴对称,所以它是偶函数,所以+2|φ|= π+, ∈ ,所以|φ|=+, ∈ ,故选D．学 ‎ 调研4 已知函数f(x)＝2sin2 ＋bsin cos 满足f＝2.‎ ‎(1)求实数b的值以及函数f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)记g(x)＝f(x＋t)，若函数g(x)是偶函数，求实数t的值．‎ ‎【解析】(1)由f＝2，得2×＋b××＝2，‎ 解得b＝2.‎ 则f(x)＝2sin2 ＋2sin cos ＝1－cos 2x＋sin 2x＝1＋2sin，‎ 所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)由(1)得，所以g(x)＝2sin＋1，‎ 又函数g(x)是偶函数，则对于任意的实数x，均有g(－x)＝g(x)成立．‎ 所以sin＝sin，整理得cossin 2x＝0.‎ 则cos＝0，解得2t－＝ π＋， ∈ ，‎ 所以t＝＋， ∈ .‎ ‎☆技巧点拨☆‎ ‎1．整体思想在三角函数性质中的应用 在求解y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性、单调性、对称性及已知区间上的最值问题时往往将ωx＋φ看作整体，利用y＝Asin 的图象与性质进行求解．‎ ‎2．三角函数最小正周期的变化仅与自变量x的系数有关，与其他因素无关.‎ ‎3．研究三角函数性质时注意数形结合思想的运用．‎ ‎1．（2017-2018学年安徽省六安市第一中学高三上学期第二次月考）若，且，则角的终边位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】B ‎2．（2017-2018学年福建省德化一中、永安一中、漳平一中高三上学期三校联考）已知,则=‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为,所以.学 ‎ ‎3．（2017-2018学年广东省广州市华南师范大学附属中学高三综合测试）为了得到函数的图象,只要把图象上所有的点 A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 ‎【答案】C ‎4．（2017-2018学年广西柳州市高三毕业班上学期摸底联考）同时具有以下性质 “①最小正周期是;②图象关于直线对称;③在上是增函数;④一个对称中心为”的一个函数是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由最小正周期可排除A;把代入,函数值为0的只有C,排除B,D．故选C．‎ ‎5．(2017河西五市联考)将函数y＝cos ＋sin (x∈R)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是 A． B． C． D． ‎【答案】B ‎【解析】y＝sin ＋cos ＝2sin(x＋)，将其图象向左平移m 个单位后，得到的图象对应的函数解析式为y＝2sin(x＋m＋)，由题意得m＋＝＋ π， ∈ ，则m＝＋ π， ∈ ，故取 ＝0时，mmin＝，‎ 故选B．学 ‎ ‎6．（2017-2018学年辽宁省大连市旅顺中学、旅顺第二高级中学、大连市第三中学高三第二次联考）若函数的部分图象如图所示,则关于的描述中正确的是 A．在上是减函数 B．在上是减函数 C．在上是增函数 D．在上是增函数 ‎【答案】C ‎7．（2018届江苏省泰州中学高三10月月考）已知角的终边过点且则的值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依题意,，得.学 ‎ ‎8．（2017-2018学年上海市师范大学附属中学高三上学期期中考试）化简 __________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】.‎ ‎9．（2017-2018学年江苏省苏州市高三上学期期中调研）函数图象的一条对称轴是,则的值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎10．（2017-2018学年河北省衡水中学高三上学期二调考试）已知,则 __________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵,∴,‎ ‎∴.学 ‎ ‎11．（2017-2018学年天津市南开中学高三上学期第一次月考）已知函数与,它们的图象有一个横坐标为的交点,则的值是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题可得，所以,所以,解得的值是.‎ ‎12．（2017-2018学年江苏省南京市多校高三上学期第一次段考）函数(是常数,)的部分图象如图所示,则 __________．‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎13．（2017-2018学年河北省邢台市高三上学期第二次月考）设函数的部分图象如图所示.‎ ‎(1)求函数的解析式;‎ ‎(2)当时,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ；(2) .‎ ‎ ‎ ‎14．（2017-2018学年天津市南开中学高三上学期第一次月考）已知函数.‎ ‎(1)求函数的最小正周期和函数的单调递增区间;‎ ‎(2)若函数的对称中心为,求的所有的和.‎ ‎【答案】(1) 最小正周期为，单调递增区间为. (2).‎ ‎ ‎ ‎15．（2017-2018学年黑龙江省佳木斯市第一中学高三上学期第五次调研）已知函数).‎ ‎(1)若,求函数图象的对称轴方程;‎ ‎(2)若的最小值是2,最大值是4,求实数的值.‎ ‎【答案】(1)；(2)或 ‎ ‎ ‎16．（2017-2018学年广东省中山市第一中学高三第二次统测）已知函数.‎ ‎(1)当时,求函数的取值范围;‎ ‎(2)将的图象向左平移个单位得到函数的图象,求的单调递增区间.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】(1),‎ 因为时,,‎ 所以,‎ 所以函数的取值范围为.‎ ‎(2)因为,‎ 所以令,得，‎ 故的单调递增区间为.‎ ‎17．（2017-2018学年江苏省苏州市高三上学期期中调研）已知函数的图象与x轴相切,且图象上相邻两个最高点之间的距离为．‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求在上的最大值和最小值．‎ ‎【答案】(1)，；(2) 最大值为，最小值为0．‎ ‎∵,∴,‎ ‎∴当,即时,取得最大值，为;‎ 当,即时,取得最小值，为0．‎ ‎1．（2017新课标全国Ⅰ理 ）已知曲线C1 y=cos ，C2 y=sin (2x+)，则下面结论正确的是 A．把C1上各点的横坐标伸长到原 的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ B．把C1上各点的横坐标伸长到原 的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ C．把C1上各点的横坐标缩短到原 的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ D．把C1上各点的横坐标缩短到原 的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ ‎【答案】D ‎2．（2016新课标全国Ⅲ理 ）若，则 A． B． ‎ C．1 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】.故选A．‎ ‎3．（2016新课标全国Ⅱ理 ）若将函数y=2sin 2x的图像向左平移个单位长度，则平移后图像的对称轴为 A．x=( ∈ ) B．x=( ∈ )‎ C．x=( ∈ ) D．x=( ∈ )‎ ‎【答案】B ‎ ‎ ‎4．（2015新课标全国Ⅰ理 ）函数=的部分图象如图所示，则的单调递减区间为 A． B．‎ C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由图象可知，，解得，，所以，‎ 令，解得<<，，故单调减区间为(，)，，故选D．‎ ‎【名师点睛】本题考查函数的图象与性质，先列出关于的方程，求出，或利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，再利用复合函数单调性求其单调递减区间，是中档题，正确求出是解题的关键.‎ ‎5．（2016新课标全国I理 ）已知函数为的零点，为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为 A．11          B．9‎ C．7          D．5‎ ‎【答案】B