【数学】2019一轮复习苏教版回归教材纠错例析帮你减少高考失分点3学案

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‎3.三角函数、解三角形、平面向量 ‎1．α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)⇔α＝θ＋2kπ(k∈Z)，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等．‎ 任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P(x，y)是α的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r＝>0，那么sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关．‎ ‎[问题1]　已知角α的终边经过点P(3，－4)，则sin α＋cos α的值为________．‎ 答案　－ ‎2．同角三角函数的基本关系式及诱导公式 ‎(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.‎ ‎(2)商数关系：tan α＝.‎ ‎(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限 角 ‎－α π－α π＋α ‎2π－α －α 正弦 ‎－sin α sin α ‎－sin α ‎－sin α cos α 余弦 cos α ‎－cos α ‎－cos α cos α sin α ‎[问题2]　cos ＋tan＋sin 21π的值为_____________________________________．‎ 答案　－ ‎3．正弦、余弦和正切函数的常用性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R ‎{x|x≠＋kπ，k∈Z}‎ 值域 ‎{y|－1≤y≤1}‎ ‎{y|－1≤y≤1}‎ R 单调性 在k∈Z上递增；在, k∈Z上递减 在[(2k－1)π，2kπ]，k∈Z上递增；‎ 在[2kπ，(2k＋1)π]，‎ k∈Z上递减 在，k∈Z上递增 最值 x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1‎ x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1‎ 无最值 奇偶性 奇 偶 奇 对称性 对称中心：‎ ‎(kπ，0)，k∈Z 对称中心：‎ ，k∈Z 对称中心：‎ ，k∈Z 对称轴：x＝kπ＋，‎ k∈Z 对称轴：x＝kπ，k∈Z 无 周期性 ‎2π ‎2π π ‎[问题3]　函数y＝sin的单调减区间是________________．‎ 答案　(k∈Z)‎ ‎4．三角函数化简与求值的常用技巧 解答三角变换类问题要灵活地正用、逆用，变形运用和、差、倍角公式和诱导公式，进行化简、求值．常用到切割化弦、降幂、拆角拼角等技巧．如：‎ α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，‎ α＝[(α＋β)＋(α－β)]．‎ α＋＝(α＋β)－，α＝－.‎ ‎[问题4]　已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝________.‎ 答案　－ ‎5．解三角形 ‎(1)正弦定理：＝＝＝2R(R为三角形外接圆的半径)．注意：①正弦定理的一些变式：(ⅰ)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(ⅱ)sin A＝，sin B＝，sin C＝；(ⅲ)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；(ⅳ)＝2R.‎ ‎②已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍．在△ABC中，A>B⇔sin A>sin B.‎ ‎(2)余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos A，cos A＝等，常选用余弦定理判定三角形的形状．‎ ‎[问题5]　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝，b＝，A＝60°，则B＝________.‎ 答案　45°‎ ‎6．求三角函数最值的常见类型、方法 ‎(1)y＝asin x＋b(或acos x＋b)型，利用三角函数的值域，须注意对字母a的讨论．‎ ‎(2)y＝asin x＋bsin x型，借助辅助角公式化成y＝·sin(x＋φ)的形式，再利用三角函数有界性解决．‎ ‎(3)y＝asin2x＋bsin x＋c型，配方后转化为二次函数求最值，应注意|sin x|≤1的约束．‎ ‎(4)y＝型，反解出sin x，化归为|sin x|≤1解决．‎ ‎(5)y＝型，化归为Asin x＋Bcos x＝C型或用数形结合法(常用到直线斜率的几何意义)求解．‎ ‎(6)y＝a(sin x＋cos x)＋bsin x·cos x＋c型，常令t＝sin x＋cos x，换元后求解(|t|≤)．‎ ‎[问题6]　函数y＝sin2x＋sin x－1的值域为________．‎ 答案　 解析　y＝2－，∵sin x∈[－1,1]，‎ ‎∴当sin x＝－时，ymin＝－；‎ 当sin x＝1时，ymax＝1.‎ ‎∴函数的值域为.‎ ‎7．向量的平行与平面向量的数量积 ‎(1)向量平行(共线)的充要条件：a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔(a·b)2＝(|a||b|)2⇔x1y2－y1x2＝0.‎ ‎(2)a·b＝|a||b|cos θ，‎ 变形：|a|2＝a2＝a·a，‎ cos θ＝.‎ 注意：〈a，b〉为锐角⇔a·b>0且a，b不同向；‎ ‎〈a，b〉为钝角⇔a·b<0且a，b不反向．‎ ‎[问题7]　如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．‎ 答案　22‎ 解析　由题意，＝＋＝＋，‎ ＝＋＝＋＝－，‎ 所以·＝· ‎＝2－·－2，‎ 即2＝25－·－×64，‎ 解得·＝22.‎ ‎8．向量中常用的结论 ‎(1)＝λ＋μ (λ，μ为实数)，若λ＋μ＝1，则三点A，B，C共线．反之也成立．‎ ‎(2)在△ABC中，若D是BC边的中点，则＝(＋)．‎ ‎(3)已知O，N，P在△ABC所在平面内．若||＝||＝||，则O为△ABC的外心；若＋＋＝0，则N为△ABC的重心；若·＝·＝·，则P为△ABC的垂心．‎ ‎[问题8]　在△ABC中，D是边AB的中点，E是边AC的中点，CD与BE交于点F，设＝a ‎，＝b，＝xa＋yb，则x，y的值分别为______________．‎ 答案　， 解析　由题意知，点F为△ABC的重心，‎ 如图，设H为BC的中点，则 ＝＝×(＋)＝a＋b，‎ 所以x＝，y＝.‎ 易错点1　忽视角的范围 例1　已知方程x2＋4ax＋3a＋1＝0(a为大于1的常数)的两根为tan α，tan β，且α，β∈，则tan 的值是________．‎ 易错分析　本题易忽略隐含条件tan α，tan β是方程x2＋4ax＋3a＋1＝0的两个负根，α，β∈，从而导致错误．‎ 解析　∵a>1，∴tan α＋tan β＝－4a<0，‎ tan α·tan β＝3a＋1>0，‎ ‎∴tan α，tan β是方程x2＋4ax＋3a＋1＝0的两个负根．‎ 又α，β∈，‎ ‎∴α，β∈，即∈.‎ 由tan(α＋β)＝ ‎＝＝，‎ 可得tan ＝－2.‎ 答案　－2‎ 易错点2　图象变换方向或变换量把握不准 例2　已知函数f(x)＝sin，为了得到函数g(x)＝cos 2x的图象，只要将y＝f(x)‎ 的图象向__________平移________个单位长度．‎ 易错分析　(1)没有将f(x)，g(x)化为同名函数；(2)平移时看2x变成了什么，而没有认识到平移过程只是对“x”而言．‎ 解析　g(x)＝sin＝sin，‎ ‎∴y＝f(x)的图象向左平移个单位长度即可得到y＝g(x)的图象．‎ 答案　左　 易错点3　三角函数单调性理解不透 例3　求函数y＝3sin的单调区间．‎ 易错分析　对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的函数，如果ω<0，要求其单调区间，必须先提出负号，然后去求解，否则单调区间正好相反．‎ 解　y＝3sin＝－3sin.‎ 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.‎ ‎∴函数的单调减区间为，k∈Z.‎ 同理，函数的单调增区间为，k∈Z.‎ 易错点4　解三角形时漏解或增解 例4　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，c＝.‎ ‎(1)若角C＝，则角A＝________；‎ ‎(2)若角A＝，则b＝________.‎ 易错分析　在用正弦定理解三角形时，易出现漏解或多解的错误，如第(1)问中没有考虑c边比a边大，在求得sin A＝＝后，得出角A＝或；在第(2)问中没有考虑角C有两解，由sin C＝＝，只得出角C＝，所以角B＝，解得b＝2，这样就出现漏解的错误．‎ 解析　(1)由正弦定理＝，‎ 得sin A＝＝，‎ 又a＜c，所以A＜C.所以A＝.‎ ‎(2)由正弦定理＝，‎ 得sin C＝＝，得C＝或，‎ 当C＝时，B＝，可得b＝2；‎ 当C＝时，B＝，此时得b＝1.‎ 答案　(1)　(2)2或1‎ 易错点5　忽视题目中的制约条件 例5　已知函数f(x)＝2cos2x－sin，若在△ABC中，满足f(A)＝，b＋c＝2，求边长a的取值范围．‎ 易错分析　本题中有两点易错：确定角A时忽视范围；求边长a的取值范围时，忽视三角形中两边之和大于第三边的条件．‎ 解　f(x)＝2cos2x－sin ‎＝1＋cos 2x－ ‎＝sin 2x＋cos 2x＋1‎ ‎＝sin＋1.‎ 由题意，f(A)＝sin＋1＝，‎ 化简得sin＝.‎ 因为A∈(0，π)，所以2A＋∈，‎ 所以2A＋＝，所以A＝.‎ 在△ABC中，由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccos ＝(b＋c)2－3bc.‎ 由b＋c＝2知，bc≤2＝1，即a2≥1，‎ 当且仅当b＝c＝1时取等号．‎ 又由b＋c>a，得a<2，‎ 所以a的取值范围是[1,2)．‎ 易错点6　忽视向量共线 例6　已知a＝(2,1)，b＝(λ，1)，λ∈R，a与b的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是________________________________________________________________________．‎ 易错分析　误认为θ为锐角⇔cos θ>0，没有排除θ＝0，即两向量同向的情况．‎ 解析　由θ为锐角，可得∴ ‎∴λ的取值范围是.‎ 答案　 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．已知点P落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为________．‎ 答案　 解析　tan θ＝＝＝－1，‎ 又sin >0，cos <0，‎ 所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，所以θ＝.‎ ‎2．已知sin αcos α＝，则cos2的值为________．‎ 答案　 解析　∵sin αcos α＝，‎ ‎∴sin 2α＝2sin αcos α＝，‎ ‎∴cos2＝ ‎＝＝＝.‎ ‎3．已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan α＝________.‎ 答案　3或－ 解析　因为sin α＋2cos α＝，‎ 所以sin2α＋4sin αcos α＋4cos2α＝，‎ 所以3cos2α＋4sin αcos α＝，‎ 所以＝，‎ 即＝，‎ 即3tan2α－8tan α－3＝0，‎ 解得tan α＝3或tan α＝－.‎ ‎4．已知函数f(x)＝3sin(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x∈，则f(x)的取值范围是________．‎ 答案　 解析　由对称轴完全相同知，两函数周期相同，‎ ‎∴ω＝2，∴f(x)＝3sin.‎ 由x∈，得－≤2x－≤，‎ ‎∴－≤f(x)≤3.‎ ‎5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cos C的最小值为________．‎ 答案　 解析　∵cos C＝＝，‎ 又a2＋b2≥2ab，∴2ab≤2c2.‎ ‎∴cos C≥.∴cos C的最小值为.‎ ‎6．(2017·江苏如皋中学月考)在平面直角坐标系xOy中，已知＝(3，－1)，＝(0,2)，若⊥，＝λ，则实数λ的值为________．‎ 答案　2‎ 解析　∵在平面直角坐标系xOy中，＝(3，－1)，‎ ＝(0,2)，∴＝(－3,3)，‎ 设C(x，y)，则＝(x－3，y＋1)，‎ ‎∵⊥，＝λ，‎ ‎∴－3x＋3y＝0，(x－3，y＋1)＝(0,2λ)，‎ ‎∴解得x＝y＝3，λ＝2.‎ ‎7．已知f1(x)＝sincos x，f2(x)＝sin xsin(π＋x)，若设f(x)＝f1(x)－f2(x)，则f(x)的单调增区间是____________．‎ 答案　(k∈Z)‎ 解析　由题意知，f1(x)＝－cos2x，f2(x)＝－sin2x，‎ f(x)＝sin2x－cos2x＝－cos 2x，‎ 令2x∈[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)，‎ 得x∈(k∈Z)，‎ 故f(x)的单调增区间为(k∈Z)．‎ ‎8．在△ABC中，B＝60°，AC＝，则AB＋2BC的最大值为________．‎ 答案　2 解析　由正弦定理知，＝＝，‎ ‎∴AB＝2sin C，BC＝2sin A.‎ 又A＋C＝120°，‎ ‎∴AB＋2BC＝2sin C＋4sin(120°－C)‎ ‎＝2(sin C＋2sin 120°cos C－2cos 120°sin C)‎ ‎＝2(sin C＋cos C＋sin C)‎ ‎＝2(2sin C＋cos C)＝2sin(C＋α)，‎ 其中tan α＝，α是第一象限角，‎ 由于0°＜C＜120°，且α是第一象限角，‎ 因此AB＋2BC有最大值2.‎ ‎9．已知tan(α＋β)＝1，tan(α－β)＝2，则的值为________．‎ 答案　1‎ 解析　tan(α＋β)＝1，tan(α－β)＝2，‎ ＝ ‎＝，‎ 分式同除以cos(α＋β)cos(α－β)，‎ ＝＝1.‎ ‎10．在平行四边形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝1，AD＝，P为平行四边形内一点，且AP＝，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的最大值为________．‎ 答案　1‎ 解析　∵＝λ＋μ，‎ ‎∴||2＝(λ＋μ)2，‎ 即2＝λ2||2＋μ2||2＋2λμ·.‎ 又AB＝1，AD＝，∠BAD＝60°，‎ ‎∴·＝||||cos 60°＝，‎ ‎∴＝λ2＋3μ2＋λμ，‎ ‎∴(λ＋μ)2＝＋λμ≤＋2，‎ ‎∴(λ＋μ)2≤1，‎ ‎∴λ＋μ的最大值为1，当且仅当λ＝，μ＝时取等号．‎ ‎11．(2017·江苏泰州姜堰区质检)已知函数f(x)＝sin xcos x＋cos2x－.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)当x∈时，求函数f(x)的值域；‎ ‎(3)将函数f(x)的图象向右平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的解析式．‎ 解　f(x)＝sin xcos x＋cos2x－ ‎＝sin 2x＋－＝sin.‎ ‎(1)所以最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)当x∈时，2x＋∈，sin∈，‎ 所以f(x)的值域为.‎ ‎(3)将函数f(x)的图象向右平移个单位，‎ 得到g(x)＝sin＝sin 2x.‎ ‎12．(2017·江苏天一中学月考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin A＝acos B.‎ ‎(1)求角B的值；‎ ‎(2)若cos Asin C＝，求角A的值．‎ 解　(1)因为＝，‎ 所以bsin A＝asin B，‎ 又bsin A＝acos B，‎ 所以acos B＝asin B，即tan B＝，因为B∈(0，π)，所以B＝.‎ ‎(2)因为cos Asin C＝，‎ 所以cos Asin＝，‎ cos A＝cos2A＋sin A·cos A ‎＝·＋sin 2A＝＋cos 2A＋sin 2A＝＋sin＝，‎ 所以sin＝－，‎ 因为B＝，所以0

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